高一数学教案：函数的应用举例教案

普通高中课程标准实验教科书—数学第一册[苏教版] 函数的应用举例（一） 教学目标

（1）了解解实际应用题的一般步骤；

（2）初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法；

（3）向学生渗透建模思想，使学生初步具有建模的能力。 三．教学重、难点：

1．根据已知条件建立函数关系式； 2．用数学语言抽象概括实际问题。 教学过程

一、问题情境 1．情境：

写出等腰三角形顶角y（单位：度）与底角x的函数关系。

解：y1802x 0x90o．

2．问题：

分析、说明函数的定义域是函数关系的重要组成部分。实际问题中的函数的定义域，不仅要使函数表达式有意义，而且要使实际问题有意义。归纳上述各个实例的共同特征，归纳出集合的含义．

二、数学运用 1．例题：

例1 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元,生产每台计算机的可变成本为3000元,每台计算机的售价为5000元.分别写出总成本C(万元)、单位成本P（万元）、销售收入R（万元）以及利润L（万元）关于总产量x（台）的函数关系式. 解 总成本与总产量的关系为

C=200+0.3x,xN.

单位成本与总产量的关系为

P2000.3x,xN. x销售收入与总产量的关系为

R0.5x,xN.

利润与总产量的关系为

LRC0.2x200,xN．

例2． 在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x1)f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台(xN)的收入函数R(x)3000x20x(单位:元),其成本函数为C(x)500x4000(单位:元),利润是收入 与成本之差.

(1) 求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);

(2) 利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值? 解 由题意知,x1,100,切xN.

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(1) P(x)=R(x)C(x)3000x20x(500x4000)=20x22500x4000, MP(x)2P(x1)P(x)20(x1)22500(x1)400020x2500x4000

2=

248040x

(2) P(x)=20x22500x4000=20(x1252)74125,当x62或x63时, 2P(x)的最大值为74120(元).

因为MP(x)=248040x是减函数,所以当x1时, MP(x)的最大值为2440(元).

因此,利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值.

例3．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线。（OA为线段，AB为某二次函数图象的一部分，O为原点）。

（1）写出服药后y与t之间的函数关系式yf(x)； （2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于

4微克9时，对治疗有效，求服药一次治疗疾病有效的时间。

0t14t解：（1）由已知得y1 2(t5),1t5441（2）当0t1时，4t，得t1；

9914191111当0t1时，(t5)2， 得t,或t， ∴1t

49333 ∴1

11111132， 因此服药一次治疗疾病有效的时间约为3．5小时。 t， ∴93399

例4．一辆汽车在某段路程中行驶速率与时间的关系如图所示。

（1） 求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

（2） 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立

行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象。

90 80 70

60 50 40 30 20 10

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解：（1）阴影部分的面积为501801901751651360 阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km。

50t20040t180(t1)20541t32t3 （2）根据图有s90(t2)213475(t3)22243t465(t4)22994t5

图象（略）

小结：解决实际问题的一般步骤：

实际问题建立数学模型得到数学结果解决实际问题 其中建立数学模型是关键，同时还要结合实际问题研究函数的定义域。

三．练习：

（1）今有一组实验数据如下： t 1．99 3．0 4．0 5．1 6．12 v 12 1．5 4．04 7．5 18．01 现准备用下列函数中的一个表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是 （ C ）

t21（A）vlog2t （B）vlog1t （C）v （D）v2t2

22（2）大气温度y(C)随着离开地面的高度x(km)增大而降低，到上空11km为止，大约每上升1km，气温降低6oC，而在更高的上空气温却几乎没变（设地面温度为22oC）。

求：（1）y与x的函数关系； （2）x3.5km以及x12km处的气温。

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o

解：（1）由题意，0x11时，y226x，所以当x11时，y2261144，

从而当x11时，y44。综上，所求函数关系为y226x,x0,11；

44,x(11,) （2）由（1）知，x3.5km处的气温为y2263.51oC， x12km处的气温为44oC． 四、课外作业：

课本第84页第1、2、3、4、题、第88页第3、4题．

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