捕食者与被捕食者模型——Logistic-Volterra

捕⾷者与被捕⾷者模型——Logistic-Volterra模型摘要

Logistic模型是最常⽤的模型之⼀，在其基础上⼜可以发展出许多其他数学模型，其重要性不⾔⽽喻，⽽Volterra模型则是经典的被捕⾷者与捕⾷者模型之⼀。本⽂尝试结合两者，建⽴⼀个Logistic-Volterra模型，并做出数值解和分析。关键词：Logistic模型 Volterra模型数值解⼀、问题的提出

Volterra模型显⽰的被捕⾷者与捕⾷者系统存在着显著的周期振荡，⽽实际上，多数的捕⾷者与捕⾷者系统都是观察不到的。尝试建⽴模型，描述这种现象。⼆、符号说明

r：被捕⾷者固有增长率d：捕⾷者固有死亡率a：捕⾷者掠取被捕⾷者的能⼒b：被捕⾷者供养捕⾷者的能⼒N1：被捕⾷者的最⼤环境容纳量N2：捕⾷者的最⼤环境容纳量三、模型假设

1.在没有天敌的情况下，被捕⾷者数量增加的固有速度与被捕⾷者数量x和阻滞作⽤因⼦(1-x/N1)成正⽐，即dxdt =rx(1?xN1)

2.在没有⾷物的情况下，捕⾷者数量减少的固有速度与捕⾷者数量y和阻滞作⽤因⼦(1+y/N2)成正⽐，即dydt =?dy(1+yN2)

3.捕⾷者与被捕⾷者在同⼀环境下⽣存，它们的种群变化速度互相影响，影响因⼦应与它

们相遇的频率成正⽐，即捕⾷导致被捕⾷者数量减少的速度为-axy，捕⾷导致捕⾷者数量增加的速度为bxy四、模型建⽴与求解1.Volterra模型的分析

意⼤利数学家Volterra在上世纪20年代提出的Volterra模型：dxdt=rx?axy

dydt=?dy+bxy

取r=1 d=0.5 a=0.1 b=0.02，运⽤matlab的ode45功能函数，做出数值解，并绘图分析。

图1被捕⾷者与捕⾷者随时间变化图图2捕⾷者与被捕⾷者相图

从图形可以看出，捕⾷者与被捕⾷者共同⽣存，数量随时间作周期变化。2.建⽴Logistic-Volterra模型

在Volterra模型中的物种⾃⾝增长率中，考虑⾃⾝阻滞作⽤，即加⼊Logistic项，得到以下模型：dx dt =rx(1?xN1)?axydy=?dy(1+y2)+bxy

取r=1 d=0.5 a=0.1 b=0.02 N1=100 N2=25，运⽤matlab的ode45功能函数，做出数值解，并绘图分析。

图3被捕⾷者与捕⾷者随时间变化图图4捕⾷者与被捕⾷者相图

此时，捕⾷者与被捕⾷者的种群数量不再作显著的周期变化，⽽是趋向于⼀个稳定的值，在捕⾷者与被捕⾷者相图中，曲线由原来的简单封闭曲线演变为趋向于⼀个点的曲线。五、模型评价

该模型所建⽴的常微分⽅程组具有⼀个渐近稳定的平衡点，⽐较好地描述了实际⽣物种群数量的演化过程。

模型中的⾃⾝阻滞作⽤和固有增长率是⽤同⼀参数来考虑的，考虑到这两种作⽤应该有不同的影响因⼦，应该⽤两个不同的参数来考虑。六、参考⽂献

1.章绍辉.数学建模.北京：科学出版社，2010.

2.钟季康.⼤学物理习题计算机解法.北京：机械⼯业出版社，2008.七、附录

Logistic-Volterra 常微分⽅程组函数function y=catcher(t,x)

r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;N1=100;N2=25;y=zeros(2,1);

y(1)=r*x(1)*(1-x(1)/N1)-a*x(1)*x(2);y(2)=-d*x(2)*(1+x(2)/N2)+b*x(1)*x(2);运⽤ode45求解

x10=25;x20=2; %初值条件

[T,Y]=ode45('catcher',[0 50],[x10 x20]);subplot(121)

plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'--');subplot(122);plot(Y(:,1),Y(:,2))