弹性模量的测量实验报告

一、拉伸法测量弹性模量 1、实验目的

(1) 学习用拉伸法测量弹性模量的方法; (2) 掌握螺旋测微计和读数显微镜的使用; (3) 学习用逐差法处理数据。

2、实验原理

（1）、杨氏模量及其测量方法

本实验讨论最简单的形变——拉伸形变,即棒状物体(或金属丝)仅受轴向外力作用而发生伸 长的形变(称拉伸形变)。设有一长度为𝐿,截面积为𝑆的均匀金属丝,沿长度方向受一外力𝐹后金属 丝伸长𝛿𝐿。单位横截面积上的垂直作用力𝐹/𝑆成为正应力,金属丝的相对伸长𝛿𝐿/𝐿称为线应变。实 验结果指出,在弹性形变范围内,正应力与线应变成正比,即

FLE SL这个规律称为胡克定律，其中EF/S称为材料的弹性模量。它表征材料本身的性质,𝐸L/L越大的材料,要使他发生一定的相对形变所需 的单位横截面积上的作用力也越大，𝐸的单位为Pa(1Pa = 1N/m2; 1GPa = 109Pa)。

本实验测量的是钢丝的弹性模量,如果测得钢丝的直径为𝐷,则可以进一步把𝐸写成:

E4FL 2DL测量钢丝的弹性模量的方法是将钢丝悬挂于支架上,上端固定,下端加砝码对钢丝施力𝐹,测出钢丝相应的伸长量𝛿𝐿,即可求出𝐸。钢丝长度𝐿用钢尺测量,钢丝直径𝐷用螺旋测微计测量,力𝐹由砝 码的重力𝐹 = 𝑚𝑔求出。实验的主要问题是测准𝛿𝐿。𝛿𝐿一般很小,约10−1mm数量级,在本实验中用 读数显微镜测量(也可利用光杠杆法或其他方法测量)。为了使测量的𝛿𝐿更准确些,采用测量多个𝛿𝐿的 方法以减少测量的随机误差,即在钢丝下端每加一个砝码测一次伸长位置,逐个累加砝码,逐次记 录伸长位置。通过数据处理求出𝛿𝐿。

（2）、逐差法处理数据
如果用上述方法测量 10 次得到相应的伸长位置𝑦1,𝑦2,...,𝑦10,如何处理数据,算出钢丝的伸长量𝛿𝐿呢?
我们可以由相邻伸长位置的差值求出 9 个𝛿𝐿,然后取平均,则

从上式可以看出中间各𝑦𝑖 都消去了,只剩下𝑦10 − 𝑦1 9,用这样的方法处理数据,中间各次测量 结果均未起作用。为了发挥多次测量的优越性,可以改变一下数据处理的方法,把前后数据分成两组, 𝑦1,𝑦2,𝑦3,𝑦4,𝑦5一组,𝑦6,𝑦7,𝑦8,𝑦9,𝑦10为另一组。讲两组中相应的数据想见得出 5 个𝑙𝑖,𝑙𝑖 = 5𝛿𝐿。 则

这种数据处理的方法称为逐差法,其优点是充分利用的所测数据,可以减小测量的随机误差, 而且也可以减少测量仪器带来的误差。因此是实验中常用的一种数据处理的方法。 3.数据表格

（1）、测钢丝长度Ｌ及其伸长量δＬ

仪器编号 1 ； 钢丝长度Ｌ＝ 998 ㎜ 序号 1 2 3 4 5 6 FiFimg/N 0.200×1×9.80 0.200×2×9.80 0.200×3×9.80 0.200×4×9.80 0.200×5×9.80 0.200×6×9.80 yi/mm 增砝码时 减砝码时 0.539 0.843 1.152 1.481 1.719 2.049 0.542 0.880 1.165 1.435 1.742 2.000 li'li'yi5yi/mm 增砝码时l+ 1.510 1.482 1.467 1.394 1.476 减砝码时l- 1.458 1.441 1.490 1.394 1.433 lllili/mm 21.484 1.462 1.479 1.394 1.455 7 8 9 10 0.200×7×9.80 0.200×8×9.80 0.200×9×9.80 0.200×10×9.80 2.325 2.619 2.875 3.195 2.321 2.655 2.882 3.175 lli15i5 = 1.455 ㎜ （2）、测钢丝直径Ｄ

测定螺旋测微计的零点d（单位㎜）

测量前 -0.015 ， -0.018 ， -0.017 ；

测量后 -0.018 ， -0.020 ， -0.019 。 平均值

序号 Ｄi/mm 1 0.209 2 0.206 3 0.200 d= -0.018 ㎜

4 0.201 5 0.205 6 0.201 钢丝的平均直径D= 0.204 ㎜

二、动力学法测量弹性模量 1、实验目的


(1) 学习一种更实用,更准确的测量弹性模量的方法; (2) 学习用实验方法研究与修正系统误差。 2、实验原理

2EI40 细长棒的振动满足如下动力学方程：2Sx4t棒的轴线沿𝑥方向,式中𝜂为棒上距左端𝑥处截面的𝑧 方向位移,𝐸为该棒的弹性模量,𝜌为材料密度,𝑆为棒的横截面积，𝐼为某一截面的惯性矩IzS2dSd464

该方程的通解为

称为频率公式,它对任意形状截面的试样,不同的边界条件下都是成立的。我们只要根据特定的边 界条件定出常数𝐾,代入特定界面的惯量矩𝐼,就可以得到具体条件下的关系式。

对于用细线悬挂起来的棒,若悬线位于棒作横振动的节点若悬线位于棒作振动的节点𝐽、𝐽1 点附 近,并且棒的两端均处于自由状态,那么在两端面上,横向作用力𝐹与弯矩均为零。 横向作用力

用数值解法可求得满足上式的一系列根𝐾𝑛 𝑙,其值为𝐾𝑛 𝑙 =0,4.730,7.853,10.966,14.137,„其中𝐾0𝑙 = 0的根对应于静止状态。因此将𝐾1𝑙 = 4.730记作第一个根,对应的振动频率称为基振 频率,此时棒的振幅分布如图 3(a)所示,𝐾2𝑙、𝐾3𝑙对应的振形依次为图 3(b)、(c)。从图 3(a)可以看出 试样在作基频振动的时候,存在两个节点,根据计算,它们的位置分别距端面在 0.224l 和 0.776l 处。 对应于 n=2 的振动,其振动频率约为基频的 2.5~2.8 倍,节点位置在 0.132l,0.500l,0.868l处。

𝑇1 可根据𝑑/𝑙的不同数值和材料的泊松比查表得到。

我们试验中用到了四种几何尺寸的黄铜、紫铜圆杆，T1随d、l变化如下 d = 5mm ,l =210 mm, T1=1.0031 d = 5mm ,l =200 mm, T1=1.0035 d = 6mm ,l =210 mm, T1=1.0046 d = 6mm ,l =200 mm, T1=1.0050 3、实验装置

4、实验任务

(1) 连接线路,阅读信号发生器及示波器的有关资料,学习调节和使用方法。


(2) 测量被测样品的长度、直径(在不同部位测 6 次取平均值)及质量。质量测量用数显电子 天平。记录样品是黄铜还是紫铜。 (3) 测样品的弯曲振动基振频率。

理论上样品作基频共振时,悬点应置于节点处,即悬点应置于距棒两端面分别为 0.224l 和 0.776l 处。但是在这种情况下,棒的振动无法被激发。欲激发棒的振动,悬点必须离开节 点位置。这样又与理论条件不一致,势必产生系统误差。故实验上采用下述方法测棒的弯 曲振动基频频率:在基频节点处正负 30mm 范围内同时改变两悬线位置,每隔 5mm~10mm 测一次共振频率。画出共振频率与悬线位置关系曲线。由该图可准确求出悬线在节点位置 的基频共振频率,其值约在几百赫兹量级。 5、数据处理 材料：紫铜

（1）、不同悬点的基振频率 序号 x/㎜ f/Hz 1 ←3cm 449.01 2 ←2cm 446.15 3 ←1cm 444.08 4 →1cm 444.01 5 →2cm’ 445.86 6 →3cm 446.92

画出f-x图线如下：

于是得到基振节点位置x=46.68㎜，基振频率为f=443.2Hz （2）、测量棒的质量、长度、直径 棒的质量 m= 51.66g 棒的长度 l= 208.40mm

定螺旋测微计的零点（单位㎜）

测量前 -0.012， -0.013 ， -0.016 ；

测量后 -0.014 ， -0.012 ， -0.012 。

平均值序号 di/mm

d’= -0.013 ㎜

1 5.868 2 5.932 3 5.935 4 5.918 5 5.910 6 5.921 平均值 5.914