第10章 曲线积分和曲面积分

一、基本内容

（一）第一型曲线积分与曲面积分 1. 第一型曲线积分

（1）第一型曲线积分的定义

nLf(x,y,z)dslim0i1f(i,i,i)si ．

若L是封闭的，则记作Lf(x,y,z)ds(2) 第一型曲线积分的计算

Lf(x,y,z)dsf[(t),(t),(t)][(t)]222[(t)][(t)]dt

2. 第一型曲面积分

（1）第一型曲面积分的定义

nf(x,y,z)dSlim0i1f(i,i,i)Si

（2）第一型曲面积分的计算

f(x,y,z)dSDf[x,y,z(x,y)]1zxzydxdy22

（二）第二型曲线积分 1. 第二型曲线积分的定义 设F(x,y,z){P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}，

当Pcosds，Qcosds，Rcosds都存在时， LLL其中{cos,cos,cos}是L的单位切向量， 称PcosdsLLQcosdsLRcosdsPdxLLQdyRdz为一般形式的

L第二型曲线积分.

2. 第二型曲线积分的计算

LPdxQdyRdz

[P(x(t),y(t),z(t))x(t)Q(x(t),y(t),z(t))y(t)R(x(t),y(t),z(t))z(t)]dt3. 格林公式及其一些命题 （1）格林公式

LP(x,y)dxQ(x,y)dyD(QxPy)dxdy

1

（2）若P(x,y)、Q(x,y)、等价： 1) ABPdxQdyPy、

Qx在单连通域D上均连续，则下列四个命题

只依赖于区域D内的起点A与终点B，而与连结A、B的积分

路径无关； 2) 在区域D上，PdxQdy是某一个函数F(x,y)的全微分，且

F(x,y)(x,y)(a,b)PdxQdy

其中点(a,b)是D内的某一定点，点(x,y)是D内的动点； 3) 4)QxPy在区域D上的每一点处都成立；

是D内的任意一条逐段光滑的闭曲线．

LPdxQdy0，其中L（三）第二型曲面积分 1. 第二型曲面积分的定义 称PdydzQdzdxRdxdy为一般形式的第二型曲面积分，当是闭曲面时，积

分号将写成．

2. 第二型曲面积分的计算

R(x,y,z)dxdyR[x,y,f(x,y)]dxdyD, ．

同理计算P(x,y,z)dydz,Q(x,y,z)dzdx3. 奥-高公式与斯托克斯公式 （1）PdydzQdzdxRdxdy(PxQyQxRzPy)dxdydz

（2）(RyQz)dydz(PzRx)dzdx()dxdy

LPdxQdyRdz

4. 向量场的散度与旋度

1称divFlimNVPdydzQdzdxRdxdyPxQyRz为散度,

RQPRQP,,}为旋度． 称rotF{yzzxxy2

二、练习题

10.1计算下列第一型曲线积分： （1）计算线．

解：如图10-1，OA:x0;yy;dsdyL(xy)ds,其中L为连接O(0,0)，A(0,1)，B(1,1)的直线段所围成的围

y 1 A B ； ；

OB:xx;yx;ds2dxAB:xx;y1;dsdx．

O 1 图10-1

x L1(xy)dsydyOAOBAB(xy)ds

2L010(xx)2dx10(x1)dx2．

（2）yds，其中L为摆线xa(tsint)，ya(1cost)的第一拱．

解：摆线的第一拱，则t[0,2]．

L2yds

[a(1cost)](asint)dt30a(1cost)222

a2a0(1cost)dt(2a)2．

(a0)（3）解：

Lxyds，其中L是

xya．

f(x,y)xy是关于x的奇函数,而L是关于y轴对称.

由第一型曲线积分的对称性知：

Lxyds0x2．

2（4）Lyds，其中L为圆周x2y2ax．

y t (x,y)

a/2 a x 解：如图10-2，L方程为：

xacos2t,yacostsint，其中t[22,2]．

O 2原式2

2acos22t(2acostsint)(acos2t)dt 2图10-2 a22costdt2a2．

3

x2y2z2a2（5）xds，其中L为圆周Lyz2．

解：L的参数方程为：

xacost,y222asint,z22asint,t[0,2]．

dsxtytztdtadt22．

3Lxds220acosy222tadtaz2．

（6）计算球面x2a2在第一象

限上的边界曲线的形心． 解：不妨假设M1，如图

z a C 10-3，

ds32ABBCACds3ABa．

MxABBCACxds

．

其中

a O a y B x

A 图10-3 2AB:xacost,yasint,z0,dsadt,t[0,]； ]； ]．

BC:x0,yacost,zasint,dsadt,t[0,AC:xasint,y0,zacost,dsadt,t[0,22Mx20acostadt020asintadt2a2．

故xMMx4a3．

yzx2又由于图形的对称性知x（7）设L的方程为x2y24a32．

，其线密度1a2a(xy)(a0)(x2y)2，

求L对于原点处的单位质点的引力F． 解：L的极坐标方程为rds2a(1cos)[,]，

2r()[r()]da2(1cos)d，

4

dFGdsr2Ga2ds，

．

2(1cos)ddFxcosdFGa2cosdsFxLdFx2GaGa02cosa

2cos2cos2d ．

2Ga038G(coscos)d223a0．

由L对称性知Fy10.2计算下列第二型曲线积分： （1）L(x22xy)dx(y1322xy)dy4，L为抛物线y3x2(1x1)．

解：原式[(x21 （2）2x)(x52x)2x]dx2 ．

x211(2x4xyx42xx)dx31415OmAnOarctandydx，其中OmA为抛物线段ydydx，OnA为直线yx．

解：原式OmAAnOarctanyx

010(arctan1x2x1)dx41(41)dx

2xarctanxdx0421．

（3）L(y2z)dx2yzdyxdz32，L为沿参数增加的方向进行的曲线

xt,yt,zt2(0t1)．

解：原式

10[(t4t)2tt2tt3t]dt262322

z 1 C （4）LL10(3t262t)dt224135．

2(yz)dx(zx)dy(xy)dz2，

为球面的第一象限中的部分

2xy2z21的边界，从z轴正向向负向看

1 x

A O 图10-4

1 y B 去，L为逆时针方向．

5

解：如图10-4，由对称性知原积分为 3AB

(y2z)dx(z22x)dy(x22y)dz2． ．

2AB:xcost,ysint,z0，t从0到

2原积分32[(sin02t0)(sint)(0cost)cost0]dt

（5）A(1,0)3y20(sintcost)dt4233．

，L是从O(0,0)沿曲线ysin(x)2L(y2xe)dx(xe2yeyx)dy到点

的曲线．

y2xey解：设P，Qyxe2yey2x，有

2QxPy，故积分与路径无关，

原积分(yOA （6）xL2xe)dx(xe2yeyx)dy

102xdx

1．

e[(1cosy)dx(ysiny)dy]，其中L为域0x,0ysinx的正方

向的围线．

解：由格林公式，

DLe[(1cosy)dx(ysiny)dy]

x[exDx(ysiny)esiny]dx

eyddx0

eydyxsinx015(1e)．

（7）xdyydxLx2y2，L为沿正向进行，而不经过坐标原点的简单闭曲线．

y解：（1）若原点不在L所围的区域D内，直接应用格林公式

LD1l

xdyydxLx2y2D(QxPy)dxdyD0dxdy0 x6

图10-5

o （2）若原点在L所围成的区域D内，如图10-5，在原点附近作一个充分小的圆周l:x2y22，其方向为顺时针方向，设L 与l所围成的复连域为D1，则

xdyydxLx2y2xdyydxL逆l顺x2y2xdyydxl逆x2y2

D10dxdy12l逆xdyydx

12Dl2dxdy12222．

（8）解：

(3,1)(0,2)(3yx)dx(y3x)dy(xy)3．

QxPy6x6y(xy)4，故积分与路径无关．设A(0,2),B(3,1),C(0,1)，选取

路径ACB计算积分，

(3,1)(0,2)(3yx)dx(y3x)dy(xy)3

(3yx)dx(y3x)dy(xy)3(3yx)dx(y3x)dyAC(xy)yy333CB

12dy3x(x1)30dx

124)012．

（9）解：

(1,(0,0)(x2ecos2y)dx2esin2ydyxx．

QxPy2esin2yx，故积分与路径无关，

y /4 如图10-6，选取路径OAB计算积分． 原积分

B(1,  / 4) OA(x(x2ecos2y)dx2esin2ydyecos2y)dx2esin2ydyxxxx2

A O 图10-6

7

AB1 x 10(x2e)dx23x40(2esin2y)dy

(e23)e．

10.3计算下列第一型曲面积分： （1）xyzdS，是2x，

22yz2在第一象限的部分． z2 解：zdS22x2y21(z)(zy)dxdy3dxdyx．

如图10-7，

xyzdSDxyxy(22x2y)3dxdy

oy116dx011x0xy(1xy)dy3

xx2610162x(1x)dx120．

y2图10-7 z（2）(xy2z)dS2，是

za

的表面．

解：如图10-8，取1:za,dSdxdy．

取2dS:zx2a y22，

222dxdy1(z)(zy)dxdyx．

oy则(x(x2yy2z)dS22

122z)dS2(x2y2z)dS2x图10-8 2dxdy

(xDxy2y2a)dxdy2(xDxy2y2x2y)2

(221)20da0r2rdra2Dxydxdy

(221)2214a4a2a2(322)a4．

（3）设曲面z的转动惯量．

xy2(0za)的面密度为1，求其质心坐标及对于坐标轴

8

解：由对称性知：x:zMy0．

221(z)(zy)dxdyxx2y,dS22dxdy．

dSDxy2dxdy2a2．

zMM1M1Mz1M2zdS

Dxy20xy22dxdy

23da02rrdr23a)a．

故质心坐标为(0,0,Ix．

(y2(y2z)dS2Dxyx2y)22dxdy

322Dxy(xy)dxdy22

3234220da0rrdr2

2a4．

Iy2由对称性知IxIz．

(xy)dS2Dxy(xy)222dxdy

220da0r2rdr22a4．

10.4计算下列第二型曲面积分： （1）zdxdy,是由zxy222与z2所围成的立体的表面内侧．

解：由高斯公式知

zdxdydv20d20rdr2r2dz4．

29

（2）yzdxdyxydzdx22，是由z1a(x2y)2，x2y2a2及z0所围成

立体表面外侧． 解：由高斯公式

yzdxdyxydzdx22

a0r2(x22y)dv220d2r2rdra0dz3a5．

，为球面

（3）2(xyz)dydz(yxz)dzdx(zxy)dxdy222(x1)(y1)(z1)1的外侧．

22解：(xyz)dydz(yxz)dzdx(zxy)dxdyxdvxdv2(2x2y2z)dv．

由对称性知ydvzdv．

故原积分6 ，y1rsinsin设x1rsincos2，z1rcos，

则仍有dxdydz6xdv620rsindrdd010．

2dd(1rsincos)rsindr8．

的全表面流向外

（4）求向量F{yz,xz,xy}穿过曲面为x2y2a2(0zh)侧的流量． 解：

三、测验题

1. 填空 （1）L是曲线

x2yzdydzxzdzdxxydxdy0dv0．

4y21，其周长为s，则L(xyx24y)ds2等于 ．

解：由积分的对称性知故LLxyds0，又L即：x24y24，

(xyx24y)ds2L4ds4s．

（2）L是顺时针方向的光滑封闭曲线，所围成的平面图型的面积为A，则

10

L2xdy5ydx ．

L解：由格林公式，（3）2xdy5ydx(25)d3AD．

PdydzQdzdxRdxdy dS.

QcosRcos解：由第一、二型曲面积分的关系，应填Pcos（4）.

f(x,y,z)dSDyzf[x(y,z),y,z] dydz．

解：由第一、二型曲面积分的关系，应填2. 选择

（1）设曲线段AB从A(1,0)沿y则(yxy221(xy)(2xz)2.

1xcos(x22x)到点B(0,1)，已知E(11)，

AB23x)dx2xy22dy等于（ ）.

D.A,B,C全不对

QxPyxyxy2222A.解：设PAOOB B.AEEB C.xxy22AByxy2223x,Q2，满足，故积分与

路径无关，又因为P,Q在(0,0)无定义，应选B.

（2）设是在第五象限且通过点A(1,0,0),B(0,1,0)及C(0,0,1)的右侧的光滑曲面，

的方程为

f(x,y,z)0，且

f(x,y,z)的一阶偏导数不为零，有等式

PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dS

则cos等于（ ）.

A.C.

fx(x,y,z)

B.

D.

fy(x,y,z)

fy

fyfxfyfz222fxfyfz{fx,fy,fz}fxfyfz222222解：的法向量为{fx,fy,fz}，单位化后为，又已知为右侧，

所以cos符号为正，应选C.

11

（3）设曲线积分

ILxydx[5xyln(x222xy)]dy22

其中闭曲线L为(x1)2(y1)1逆时针方向，则I等于（ ）．

A.2 B.2 C.5 D.5 解：利用格林公式，I（4）Ix2D5dxdy5，应选C.

，其中是平面x2z40被柱面

e(x4y)22dydzsin(xy)dzdx16y241所截得部分的上侧，则I等于（ ）．

1)A.

4e16 B.

4(e161) C.0 D.(e16

解：:x2z40，n故cos151522{1,0,2}．

，cos0，cos25，

25有dydzdS，dzdx0dS，dxdy15dS．

Ie(x4y)dS0

1212

15Dxye(x4y)221()0dxdy2Dxyex4y22dxdy． ．

选取坐标：x2rcos，yI1220rsin，则dxdy2rdrdd20e4r22rdr4(e161)，应选B．

223. 计算下列各题 （1）到BL(esinyy)dx(ecosy3x)dyxx，其中L是从A(1,0)沿x3y31，x0(0,1)的一段弧．

解：补充直线段BO，OA，

L(esinyy)dx(ecosy3x)dyxx

12

LBOOA10OBOA

D4dcosydy0

L的参数方程为xcos34ydxsin1（设

01t,ysin3t）

4sin203td(cos3t)sin1



1220(sintsint)dtsin146

34sin1．

a(tsint)，ya(1cost) (0t)的弧的重心．

22（2）求摆线x解：ds(xt)(yt)dta2(1cost)dt2asint2dt．

MMLds02asint2dt4a．

t2dtxLxds20a(tsint)2asin

My2a8a0tt32tsindta(coscost)dt0222283a20163a2．

t2dtLyds2a(1cost)2asin

2a20t2sindta203t(sintsin)dt224a43a432163a2．

MMy故xMMxa，y43a．

（3）计算LLx2y21(zy)dx(xz)dy(xy)dz，其中L是xyz2从z轴正向看

的方向为顺时针方向．

yz2解：取为x被x2y21所截得的部分，由右手定则方向为下侧，根

据斯托克斯公式有：

13

(zy)dx(xz)dy(xy)dzL

0dydz0dzdx2dxdy

2dxdy2Dxy．

2（4）xzdydzyzdzdxxzdxdy22，其中是zx2y2在0z1的第一象限

部分的下侧． 解：补面1,2,3，

1:z1，x2y221，x0，y0，取上侧；

2:y0，x3:x02z1，x0，取左侧；

，y2z1， y022，取后侧．

xzdydzyzdzdxxzdxdy

12312

3(4xz2yz)dvDxyxdxdy00



20d10rdr1r2(4rcosz2rsinz)dz20d10rcosrdr

122113521．

14