学习目标:
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 学习重点:
1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.
2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 学习难点:
理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 学习方法:
引导—探索法. 学习过程:
一、生活中的数学问题:
1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 2、生活问题数学化：
⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）
1
⑴Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系? ⑵
B1C1B2C2和有什么关系？ AC1AC2⑶如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3)呢? ⑷由此你得出什么结论?
三、例题：
例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?
例2、在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.
四、随堂练习：
1、如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗?
2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，
2
求山的坡度.(结果精确到0.001)
3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.
4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.
5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号)
五、课后练习：
1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______. 2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______. 3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.
4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB的值.
5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.
3
6、如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于E,EC=1,tanB=的边长和四边形AECD的周长.
7、已知:如图,斜坡AB的倾斜角a,且tanα=
5, 求菱形12ADBEC3,现有一小球从坡底A处以20cm/s 的速度向坡顶4B处移动,则小球以多大的速度向上升高?
B
CA
8、探究:
⑴、a克糖水中有b克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为_______; 若再添加c克糖(c>0),则糖的质量与糖水的质量的比为________.生活常识告诉我们: 添加的糖完全溶解后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式: ____________.
⑵、我们知道山坡的坡角越大,则坡越陡,联想到课本中的结论:tanA的值越大, 则坡越陡,我们会得到一个锐角逐渐变大时,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律,请你写出这个规律:_____________.
⑶、如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延长BA、BC,使AE=CD=c, 直线CA、DE交于点F,请运用(2) 中得到的规律并根据以上提供的几何模
D型证明你提炼出的不等式.
CE
AB
F
§1.1从梯子的倾斜程度谈起（第二课时）
4
学习目标：
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义. 2.能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比. 3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算. 4.理解锐角三角函数的意义. 学习重点：
1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明. 2.能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.
3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算. 学习难点：
用函数的观点理解正弦、余弦和正切. 学习方法：
探索——交流法. 学习过程：
一、正弦、余弦及三角函数的定义 想一想：如图
(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?
A2C2BC1BC2A1C1(2) 有什么关系? 呢? 和和BA1BA2BA1BA2(3)如果改变A2在梯子A1B上的位置呢?你由此可得出什么结论?
(4)如果改变梯子A1B的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论? 请讨论后回答.
二、由图讨论梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系：
三、例题：
例1、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC＝200.sinA＝0.6，求BC的长.
例2、做一做：
5
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝
12，AC＝10，AB等于多少?sinB呢?cosB、sinA呢?你13还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.
四、随堂练习：
1、在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.
2、在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝
3、在△ABC中.∠C=90°，若tanA=
4，BC=20，求△ABC的周长和面积. 51，则sinA= . 2
2
4、已知：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：BC＝AB·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)
五、课后练习：
6
3,则sinB=_______,tanB=______. 492、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=41,sinA=,则AC=______,BC=_______.
4143、在△ABC中,AB=AC=10,sinC=,则BC=_____.
54、在△ABC中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( )
3333 A.sinA= B.cosA= C.tanA= D.cosB=
45453BC5、如图,在△ABC中,∠C=90°,sinA=,则等于( ) B5AC3434A. B. C. D. 43553A6、Rt△ABC中,∠C=90°,已知cosA=,那么tanA等于( ) C54345A. B. C. D. 34547、在△ABC中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA的值是
512512A． B． C． D．
13131258、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( ) A.tanα BsinA的是( ) DCDDBCBCD A. B. C. D. ACCBABCBA10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )m C1、在Rt△ABC中,∠ C=90°,tanA= A. 100100 B.100sinβ C. D. 100cosβ cossin11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切. 12、在△ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC边上的高,AD=4.求:CD,sinC. 7 13、在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD. 14、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB有什么关系? 15、如图,已知四边形ABCD中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos∠ABD=求：s△ABD：s△BCD 8 4. 5CDAB§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值 学习目标： 1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义. 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 学习重点： 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. 2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.比较锐角三角函数值的大小. 学习难点： 进一步体会三角函数的意义. 学习方法： 自主探索法 学习过程： 一、问题引入 [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度. 二、新课 [问题] 1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [问题] 2、sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [问题] 3、cos30°等于多少?tan30°呢? [问题] 4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的? 结论： 三角函数 角度 sinα coα tanα 30° 45° 60° [例1]计算： 22 (1)sin30°+cos45°； (2)sin60°+cos60°-tan45°. 9 [例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m) 三、随堂练习 1.计算： (1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°； (3) -10 ⑸(2+1)+2sin30°-8； ⑹(1+2)-｜1-sin30°｜1+( 212sin45°+sin60°-2cos45°； ⑷； 2sin30311-1 )； 2 ⑺sin60°+ 11-30 ； ⑻2-(2003+π)-cos60°-. 1tan6012 2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m，扶梯的长度是多少? 10 3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30 m，两楼问的距离AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m，2≈1.41，3≈1.73) 四、课后练习： 1、Rt△ABC中，A60,c8，则a_____,b_____； 2、在△ABC中，若c23,b2,，则tanB____，面积S＝ ； 3、在△ABC中，AC：BC＝1：3，AB＝6，∠B＝ ，AC＝ BC＝ 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2:3，则顶角为 （ ） （A）60 （B）90 （C）120 （D）150 5、有一个角是30的直角三角形，斜边为1cm，则斜边上的高为 （ ） （A） 0 0 0 0 3311cm （D）cm cm （B）cm （C）42426、在ABC中，C90，若B2A，则tanA等于（ ）． （A）3 （B） 331 （C） （D） 2327、如果∠a是等边三角形的一个内角，那么cosa的值等于（ ）． （A） 312 （B） （C） （D）1 22220米30米8、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a150元，则购买这种草皮至少要（ ）． 11 （A）450a元 （B）225a元 （C）150a元 （D）300a元 9、计算： ⑴、sin60cos60 ⑵、sin602sin30cos30 ⑶、sin30cos45 ⑷、2cos45 22223 3cos600⑸、2sin603cos45 ⑹、 05sin30100 ⑺、2sin30·tan30cos60tan60° ⑻、sin45tan30 10、请设计一种方案计算tan15°的值。 222§1.4 船有触礁的危险吗 12 学习目标： 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用. 2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明. 学习重点： 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用. 2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力. 学习难点： 根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图. 学习方法： 探索——发现法 学习过程： 一、问题引入： 海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流. 二、解决问题： 1、如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m) 2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m，调整 后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m) 三、随堂练习 13 1.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5 m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少? 2.如图,水库大坝的截面是梯形ABCD.坝顶AD＝6m，坡长CD＝8m.坡底BC＝30m，∠ADC=135°. (1)求∠ABC的大小： 3 (2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m) 3．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响. (1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由. (2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：2≈1.4， 3 ≈1.7) 四、课后练习： 14 1. 有一拦水坝是等腰楼形,它的上底是6米,下底是10米,高为23米,求此拦水坝斜坡的坡度和坡角. 2.如图,太阳光线与地面成60°角,一棵大树倾斜后与地面成36°角, 这时测得大树在地面上的影长约为10米,求大树的长(精确到0.1米). A太阳光线D3660CB 3.如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160米,假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN的方向行驶时 ,学校是否会受到噪声影响?请说明理由. NPMAQ 4.如图,某地为响应市政府“形象重于生命”的号召,在甲建筑物上从点A到点E挂一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为40°,测得条幅底端E的俯角为26°,求甲、乙两建筑物的水平距离BC的长(精确到0.1米). AFEBDC 5.如图,小山上有一座铁塔AB,在D处测得点A的仰角为∠ADC=60°,点B的仰角为∠BDC=45°; 15 A在E处测得A的仰角为∠E=30°,并测得DE=90米, 求小山高BC 和铁塔高AB(精确到0.1米). 6.某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子,如图所示,一潜水员在A处以每小时8海里的速度向正东方向划行, 北F在A处测得黑匣子B在北偏东60°的方向,划行半小时后到达 C处,测得黑匣子B在北偏东30 °的方向,在潜水员继续向东划行多少小时,距离黑匣子B最近,并求最近距离. 3060 CA A 7.以申办2010年冬奥会,需改变哈尔滨市的交通状况,在大直街拓宽工程中, 要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B为圆心,半径与AB等长的圆形危险区,现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶点A的仰角为60°,树 C6030E的底部B点的俯角为30°, 如图所示,问距离B点8米远的保护物是否在危险区内? DB 8.如图,某学校为了改变办学条件,计划在甲教学楼的正北方21 A米处的一块空地上(BD=21米),再建一幢与甲教学等高的乙教学 甲楼(甲教学楼的高AB=20米),设计要求冬至正午时,太阳光线必 教南须照射到乙教学楼距地面5米高的二楼窗口处, 已知该地区冬学楼至正午时太阳偏南,太阳光线与水平线夹角为30°,试判断: 计 B划所建的乙教学楼是否符合设计要求?并说明理由. 9.如图,两条带子,带子α的宽度为2cm,带子b的宽度为1cm,它们 2 相交成α角,如果重叠部分的面积为4cm,求α的度数. C30乙教学楼Dab1.5 测量物体的高度 16 1.下表是小明同学填写活动报告的部分内容: 课题 在两岸近似平行的河段上测量河宽 C E测量目 标图示 测得数据 ∠CAD=60°,AB=30m,∠CBD=45°,∠BDC=90° 请你根据以上的条件,计算出河宽CD(结果保留根号). 2.下面是活动报告的一部分, 请填写“测得数据”和“计算”两栏中未完成的部分. 课题 测量旗杆高 A 测量示意图 DABEBCD 测量项目 第一次 第二次 平均值 测得数据 BD的长 24.19m 23.97m 测倾器的高 CD=1.23m CD=1.19m 倾斜角 a=31°15′ a=30°45′ a=31° 计算 旗杆高AB(精确到0.1m) 3.学习完本节内容后, 某校九年级数学老师布置一道利用测倾器测量学校旗杆高度的活动课题,下表是小明同学填写的活动报告,请你根据有关测量数据, 求旗杆高AB(计算过程填在下表计 17 算栏内,用计算器计算). 课题 测量示意图 活动报告 利用测倾器测量学校旗杆的高 AEBCD BD的长 BD=20.00m 测量数据 测倾器的高 CD=1.21m 倾斜角 α=28° 旗杆高AB的计算过程(精确到0.1m) 计算 4.某市为促进本地经济发展,计划修建跨河大桥,需要测出河的宽度AB, 在河边一座高度为300米的山顶观测点D处测得点A,点B的俯角分别为α=30°,β=60°, 求河的宽度(精确到0.1米) DABC 5.为了测量校园内一棵不可攀的树的高度, 学校数学应用实践小组做了如下的探索: 实践一:根据《自然科学》中光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺, 设计如图(1)的测 18 量方案:把镜子放在离树(AB)8.7(米)的点E处,然后沿着直线BE 后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.7米,观察者目高CD=1.6米,请你计算 树AB的高度(精确到0.1米) 实践二:提供选用的测量工具有:①皮尺一根;②教学用三角板一副;③长为2. 5米的标杆一根;④高度为1.5米的测角仪一架,请根据你所设计的测量方案, 回答下列问题: (1)在你设计的方案中,选用的测量工具是__________. (2)在图(2)中画出你的测量方案示意图; (3)你需要测得示意图中哪些数据,并分别用a,b,c,α,β等表示测得的数据____. (4)写出求树高的算式:AB=___________. ACDE(1)BB(2) 6.在1:50000的地图上,查得A点在300m的等高线上,B点在400m的等高线上, 在地图上量得AB的长为2.5cm,若要在A、B之间建一条索道,那么缆索至少要多长? 它的倾斜角是多少? (说明:地图上量得的AB的长,就是A,B两点间的水平距离AB′,由B向过A 且平行于地面的平面作垂线,垂足为B′,连接AB′,则∠A即是缆索的倾斜角.) B 400 A 350 300 B100m 7、为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索： A2.5cm×50000B' 19 实践一：根据《自然科学》中的反射定律，利用 A 一面镜子和一根皮尺，设计如右示意图的测量方案： 把镜子放在离树（AB）8.7米的点E处，然后沿着直线 光 线BE后退到点D，这是恰好在镜子里看到树梢顶点A，C 阳 太 再用皮尺量得DE=2.7米，观察者目高CD=1.6米，请 你计算树（AB）的高度．（精确到0.1米） D B E 实践二：提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5米的标杆一根；④高度为1.5米的测角仪（能测量仰角、俯角的仪器）A 一架。请根据你所设计的测量方案，回答下列问题： （1）在你设计的方案中，选用的测量工具是（用工 具的序号填写） （2）在右图中画出你的测量方案示意图； b、c、α（3）你需要测得示意图中的哪些数据，并分别用a、 B 等表示测得的数据： （4）写出求树高的算式：AB= 第一章回顾与思考 1、等腰三角形的一腰长为6cm，底边长为63cm，则其底角为（ ） A 30 B 60 C 90 D 120 2、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i1:3，坝外斜坡的坡度i1:1，则两个坡角的和为 （ ）A 90 B 60 C 75 D 105 3、如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=，且cos000000003, A5D 20 BECAB = 4, 则AD的长为（ ）． （A）3 （B） 162016 （C） （D） 3354、在课外活动上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为 450cm2，则对角线所用的竹条至少需（ ）． （A）302cm （B）30cm （C）60cm （D）602cm 5、如果是锐角，且sin2cos2351，那么 º． 6、如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米． 7、如图,P是∠的边OA上一点, 且P点坐标为(3,4),则 y sin= ,cos=______. 8、支离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为，如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的有为 米（用含的三角比表示）． 9、在RtABC中∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A等于 度． 10、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为55，路基高度为5.8米，求路基下底宽（精确到0.1米）. 4Po 310m x 5.8m 5511、“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到A30，AC = 40米，BC = 25米，请你求出这块花圃的面积. 12、如图，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为30的方向飞行，半小时后到达C处，这时气球上的人发现，在A处的正西方向有一处着火点B，5分 21 钟后，在D处测得着火点B的俯角是15，求热气球升空点A与着火点B的距离． 13、如图，一勘测人员从B点出发，沿坡角为15的坡面以5千米/时的速度行至D点，用了12分钟，然后沿坡角为20的坡面以3千米/时的速度到达山顶A点，用了10分钟.求山高（即AC的长度）及A、B 两点的水平距离（即BC的长度）（精确0.01千米）. 14、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵数AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°（如图）.为距离B点8米远的保护物是否在危险区内？ DBC60301530.CDBA到 ADB1520ECA 22 15、如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°. 在M的南偏东60°方向上有一点A,以A为圆心、500m为半径的圆形区域为居民区.取MN上另一点B,测得BA的方向为南偏东75°.已知MB = 400m,通过计算回答,如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区? 16、如图，北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距A地的正东方向且距A地40海里的B地训练.突然接到基地命令，要该军舰前往C岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治.已知C岛在A的北偏东60°方向，且在B的北偏西45°方向，军舰从B处出发，平均每小时行驶20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院？（精确到0.1小时） 23 北M东BNA北60北45AB 17、如图，客轮沿折线A―B―C从A出发经B再到C匀速直线航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A―B―C上的某点E处．已知AB = BC =200海里，∠ABC =90，客轮速度是货轮速度的2倍． （1）选择：两船相遇之处E点（ ） A．在线段AB上 B．在线段BC上 C．可以在线段AB上，也可以在线段BC上 （2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号） 24 AD.CB 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容