直线运动规律的应用
第一部分 图象 追及和相遇问题
知识要点梳理
知识点一——直线运动的图象
▲知识梳理
一、直线运动的x-t图象 1．
图象的意义
图象表示运动的位移随时间的变化规律。
图象，是一条倾斜直线。速度的大小在数值上等于图象的斜率的绝对值，
匀速直线运动的
即， 如图所示：
2． （1） （2）从
图象的理解
图象不是物体实际运动的轨迹。 图象上判断物体的运动性质。
①图线平行于时间轴，表示物体静止； ②图线是倾斜直线，表示物体做匀速直线运动； ③图线是曲线，表示物体做变速直些运动。 （3） （4）
二、直线运动的v-t图象 1．匀速直线运动的 （1）匀速直线运动的
图象
图象是与横轴平行的直线。
图象的斜率表示物体的速度，匀速直线运动斜率不变。 图象的交点：如果两物体在同一直线上运动，其
图象的交点表示两物体相遇。
（2）由图象不仅可以求出速度的大小，而且可以求出位移大小（即图中画有斜线部分的面积）。
2．匀变速直线运动的 （1）匀变速直线运动的
图象
图象是一条倾斜直线，如图所示。
（2）直线斜率的大小等于加速度的大小，即 （3）当
。斜率越大，则加速度也越大，反之，则越小。
> 0时，若直线的斜率大于零，则加速度大于零，表示加速运动；若直线的斜率小于零，则加速度
小于零，表示减速运动。
▲疑难导析 一、对匀变速直线运动 1． 2．线）； 3． （1） （2） 4．两
图象的理解
图象能准确、全面地反映速度v随时间t的变化及其规律，图象符合客观要求。
图线是直线，表示物体做匀变速直线运动（一条倾斜的直线）或匀速直线运动（一条平行于t轴的直图线是曲线，则表示物体做非匀变速直线运动。
图线过坐标原点表示物体做初速度为零的匀变速直线运动，图线不过坐标原点，有两种情况： 图线在纵轴（v轴）上的截距，表示运动物体的初速度
；
图线在横轴（t轴）上的截距表示物体在开始计时后过一段时间才开始运动。
图线相交（如图所示），说明两物体在交点时刻的瞬时速度相等，其交点的横坐标表示两物体达到
速度相等的时刻；纵坐标表示两物体达到速度相等时的速度。
5． 6．
图线与横轴（t轴）交叉，表示物体运动的速度反向。
图线与坐标轴所围梯形面积的大小等于物体在该段时间内的位移大小
另外，在用
。
图象分析问题时还应当注意不论
图象的形状如何（直线或曲线），反映的都是直线运动。
这是由于坐标轴只能有正负两个方向的原因。
二、x-t图象与v-t图象的比较
图甲、乙两图以及下表是形状一样的图线在
图 图象与
图象中的比较．
图
①表示物体做匀速直线运动 （斜率表示速度v） ②表示物体静止 ③表示物体静止在原点O ④表示物体向反方向做匀速直线运动； 初位置为 ①表示物体做匀加速直线运动 （斜率表示加速度a） ②表示物体做匀速直线运动 ③表示物体静止 ④表示物体做匀减速直线运动；初速度为 ⑤交点的纵坐标表示三个运动质点相遇时的位置 ⑤交点的纵坐标表示三个运动质点的共同速度 ⑥时刻物体速度为 ⑥时间内物体位移为 （图中阴影部分面积表示质点在0～时间内的位移）
三、运用图象时的注意问题
1．首先明确所给的图象是什么图象，即认清图中横、纵轴所代表的物理量及它们的函数关系。特别是那些图形相似，容易混淆的图象，更要注意区分。
2．要清楚地理解图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”的物理意义。
（1）点：图线上的每一个点都对应研究对象的一个状态，特别注意“起点”、“终点”、“拐点”，它们往往对应一个特殊状态。
（2）线：表示研究对象的变化过程和规律，如
图象中图线若为倾斜直线，则表示物体做匀变速直线运动。
（3）斜率：表示横、纵坐标轴上两物理量的比值，常有一个重要的物理量与之对应。用于定量计算对应物理量的大小和定性分析变化的快慢问题。如
图象的斜率表示速度大小，
图象的斜率表示加速度大小。
（4）面积：图线与坐标轴围成的面积常与某一表示过程的物理量相对应。如大小表示位移大小。
图象与横轴包围的“面积”
（5）截距：表示横、纵坐标两物理量在“边界”条件下的物理量的大小。由此往往能得到一个很有意义的物理量。
：某同学星期日沿平直的公路从学校所在地骑自行车先后到甲、乙两位同学家去拜访他们，
图象。
图象如
图甲所示，描述了他的运动过程，在图乙中画出它的
解析：（上午）9时，他从学校出发，骑车1h到达甲同学家，速度甲同学家出发，12时到达乙同学家，速度度
=30 km/h，14时回到学校。
、
为正，
=15km/h，在甲同学家停留1 h；11时从
=15 km/h，在乙同学家也停留1 h；（下午）13时返回，骑车1h，速
取出发时的运动方向为正方向，则 据此作
图，如图所示：
为负；10～11时、12～13时速度为0；
知识点二——追及与相遇问题
▲知识梳理
两物体在同一直线上运动，往往涉及追及、相遇或避免碰撞问题。 1．追及问题
追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能否追上及两者距离有极值的临界条件。 第一类：速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀速运动）：
（1）当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时两者间有最小距离。 （2）若两者位移相等，且两者速度相等时，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件。
（3）若两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个最大值。
第二类：速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（如匀速运动）： （1）当两者速度相等时有最大距离。 （2）若两者位移相等时，则追上。
2．相遇问题
（1）同向运动的两物体追上即相遇。
（2）相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。
3．解答此类问题的关键条件
两物体能否同时到达空间某位置，因此应分别对两物体进行研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系来处理。其中速度关系特点是关键，它是两物体间距最大或最小，相遇或不相遇的临界条件。
▲疑难导析
一、分析追及、相遇问题时要注意的事项
1．分析问题时，一定要注意抓住一个条件、两个关系：一个条件是两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的距离是最大还是最小，是否恰好追上等。两个关系是时间关系和位移关系，时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等；位移关系是指两物体同地运动还是一前一后运动等，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，这对帮助我们理解题意、启迪思维大有裨益。 2．若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意，追上前该物体是否停止运动。
3．仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰巧”、“最多””、“至少”等，根据它们对应的临界状态分析相应的临界条件。 二、用
图象解决追及问题
类型 图象 特点 一、匀加速追匀速 二、匀速追匀减速 能追及且只能相遇一次交点意义：速度相等，两物体相距最远。 三、匀加速追匀减速 四、匀减速追匀速 当两物体速度相等时，如果，则恰好追上，这也是避免相撞的临界条件，只相遇一次；若，则不能追上，交点意，则五、匀速追匀加速 义：速度相等时距离最近；若相遇两次。设时刻则时刻第二次相遇。 第一次相遇，六、匀减速追匀加速 说明： （1）表中的 （2） （3） （4）
是开始追及以后，后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移；
看作追及的时刻；
是开始追及以前两物体之间的距离，在一、二、三中把
；
是前面物体的速度，
是后面物体的速度。
由上表可看出，追及问题可分类，一类（如表一、二、三）是六）是
到速度相等时受到限制。
可以随时间无限增加；另一类（如表四、五、
：A、B两辆汽车在平直公路上朝同一方向运动，如图所示为两车运动的图象。
下面对阴影部分的说法正确的是（ ）
A．若两车从同一点出发，它表示两车再次相遇前的最大距离 B．若两车从同一点出发，它表示两车再次相遇前的最小距离 C．若两车从同一点出发，它表示两车再次相遇时离出发点的距离 D．表示两车出发时相隔的距离 答案：A 解析：在
图象中，图象与时间轴所包围的图形的面积表示位移，两条线的交点为二者速度相等的时刻，
若两车从同一点出发，则题图中阴影部分的面积就表示两车再次相遇前的最大距离，故A正确。
典型例题透析
类型一——对x-t图象的应用
对位移——时间图象
，许多同学错误地认为是质点的实际运动轨迹。而导致这种错误的原因是未理解
图象的物理意义，因此对 1．无论 2．
图象要时刻牢记：
图象是直线还是曲线，质点的运动都是直线运动。
图象的斜率是判断质点运动状态的关键因素。斜率为零说明质点静止；斜率恒定为匀速运动；斜率变
化说明速度在变化；斜率的正负表示质点运动方向的不同。
1、如图所示，甲、乙、丙、丁是以时间为轴的匀变速直线运动的图象，下列说法正确的是（ ）
A．甲是a-t图象 B．乙是x－t图象 C．丙是x－t图象 D．丁是v-t图象
答案：C
思路点拨：本题考查位移、速度、加速度等几个物理量与时间的关系，以及图象的有关知识。
解析：匀变速直线运动的加速度恒定，其速度随时间均匀变化，故AD错；由匀变速直线运动的位移－时间的
关系可看出，图象C是＝0时的位移——时间图象，故C对B错。
总结升华：本题涉及了匀变速直线运动的规律及图象的知识。此部分既是基础知识，又是重点知识，考生在复习过程中就熟练掌握。 举一反三
【变式】甲、乙两人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步到中点改为骑自行车，最后两人同时到达B地。又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且两人骑车速度均比跑步速度快，若某人离开A地的距离x与所用时间t的函数关系用图中的四个函数图象表示，则甲、乙两人的图象只可能是（ ） A．甲是①，乙是② B．甲是①，乙是④ C．甲是③，乙是② D．甲是③，乙是④
答案：B
解析：前一段位移甲的速度比乙的速度大，故甲的故甲的
图象的斜率较大；后一段位移甲的速度比乙的速度小，
图象的斜率较小，而且前一段甲的斜率应大于后一段乙的斜率。
类型二——通过对
从
图象分析获取信息
图象可获取物体运动的信息有：
1．物体运动的快慢（速度大小）——对应纵轴数值；
2．物体运动的方向——t轴上方为正方向，t轴下方为负方向；
3．运动速度的变化——图象对应的v的数值变化可以看出运动快慢的变化；
4．加速度大小及变化——图象斜率大小即加速度大小（）。斜率变大，则a变大；反之，则a变小；
斜率不变，则是加速度不变的匀变速直线运动；
5．物体运动的位移——图象和坐标轴围成的图形的面积大小。
2、两辆游戏赛车
、在两条平行的直车道上行驶。
时两车都在同一计时线处，此时比赛开始。
它们在四次比赛中的图如图所示。哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆（ ）
思路点拨：本题主要考查了
图象相混。 答案：AC 解析：在
图象的特点。解题的关键在于对图象要有所了解，知道其特点，不要与
图象中，图线和坐标轴包围的面积，在数值上等于位移的大小。若要一辆车追上另一辆车，位
移应该相等，在图象中，面积应该相等，所以AC正确。 总结升华：该题考查了追及问题及对 举一反三
【变式】某人在静止的湖面上竖直上抛一小铁球，小铁球上升到最高点后自由下落，穿过湖水并陷入湖底的淤泥中一段深度。不计空气阻力，取向上为正方向，在下边图线是（ ）
图象中，最能反映小铁球运动过程的速度——时间
图象的理解。解决该题也可以采用公式法，但太复杂。
答案：C
思路点拨：小球竖直上抛后，在上升过程，速度减小，到最高点时速度等于零，下降时速度增大，进入水中后，因受到水的阻力，加速度减小，但速度仍增大，进入淤泥后，淤泥对球的阻力大于小球的重力，故向下减速运动，直到速度为零，由以上分析知，选项C正确。
类型三——图象问题的实际应用
利用图象解题，第一要做的是确切理解图象的物理含义，第二要善于从图象中获取信息，而首先要考虑的是图象的斜率、围成的面积所表示的物理量。（图象包括
等）
3、有一行星探测器，质量为1800 kg，现将探测器从某一行星的表面竖
直升空，探测器的发动机推力恒定。发射升空后9s末，发动机因发生故障突然熄火。图是从探测器发射到落回地面全过程的速度图象，已知该行星表面没有大气，
若不考虑探测器总质量的变化。求：
（1）该行星表面附近的重力加速度大小； （2）发动机正常工作时的推力； （3）探测器落回星球表面时的速度。
思路点拨：给定力。 解析： （1）由
图象可知9～45 s内行星探测器只在行星重力作用下运动。
即为行星表面的重力加速度。
图象，可以从图象的斜率求得各段时间内的加速度，从而根据牛顿第二定律可求得作用
故其运动的加速度a=4
（2）取探测器研究。在0～9s内， 由牛顿第二定律得 解得F= 2
N。
（3）由上升位移与下落位移相等得 总结升华：
图象和
解出：v=80 m/s。
图象和
图象中，v、x轴上的正、
图象不能描述曲线运动的规律。因为在
负只能描述同一直线上的两个方面，所以无法描述曲线运动。同时，对匀变速直线运动来说，其轨迹为直线，但其
图线却是曲线，因此，在利用图象法处理运动学问题时，千万不要把认为是物体运动的轨迹。 举一反三
【变式】2005年我国成功地发射了我国历史上的第二艘载人宇宙飞船——“神舟六号”。飞船于2005年10月12日9时在中国酒泉卫星发射基地用长征2号F运载火箭发射成功。假设火箭在大气层竖直升空的过程中，发动机的推力不变，空气的阻力也认为不变，则在火箭冲出大气层前这一过程中，其
图象是下列图中的（ ）
图象或
图象中的直线或曲线误
答案：D
解析：此题结合牛顿第二定律考查对
图象的理解，火箭在大气层竖直升空的过程中，火箭受的竖直向上
的推力不变，因为空气的阻力也不变，而火箭质量在不断减小，所以火箭的加速度将逐渐增大。图A表示速度不变，为匀速运动，图B表示初速度不为零的匀加速运动，图C表示初速度为零的匀加速运动，只有D图表示初速度为零加速度逐渐增大的加速运动，所以D正确。
类型四一——追及与相遇问题
1．解追及、相遇问题的思路
（1）根据对两物体运动过程的分析，画出物体运动的示意图。
（2）根据两物体的运动性质，分别列出两个物体的位移方程，注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中。 （3）由运动示意图找出两物体位移间的关联方程，这是关键。 （4）联立方程求解，并对结果进行简单分析。
2．解决追及、相遇问题的方法
大致分为两种方法：一是物理分析法，即通过对物理情景和物理过程的分析，找到临界状态和临界条件，然后列出方程求解；二是数学方法，因为在匀变速直线运动的位移表达式中有时间的二次方，我们可列出位移方程，利用二次函数求极值的方法求解，也可以借助
4、在水平直轨道上有两车A和B相距x，A车在后面做初速度为
、加速度大小为2a的匀减速直线运
图象分析。
动，而B车同时做初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A车的初速度
应满足什么条件。
思路点拨：要使两车不相撞，A车追上B车时其速度最多只能与B车速度相等。设A、B两车从相距x到A车追上B车时，A车的位移为
，末速度为
，所用时间为t；B车的位移为
。
，末速度为
，运动过程如图所示，从而得到位移关系 解析：利用位移公式、速度公式求解：
对A车有
对B车有 两车有
追上时，两车刚好不相撞的临界条件是 以上各式联立解得
。
故要使两车不相撞，A的初速度 总结升华：本题中，若B车做初速度为 答案： 举一反三
。
应满足的条件是。
的匀速直线运动，两车不相遇的条件是什么？
【变式】a、b两物体从同一位置沿同一直线运动，它们的速度图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．a、b加速时，物体a的加速度大于物体b的加速度 B．20s时，a、b两物体相距最远 C．60s时，物体a在物体b的前方
D．40s时，a、b两物体速度相等，相距200 m
答案：C
解析：a、b加速时，a的加速度
b的加速度
，故A错。
20 s时，a的速度为40 m/s，b的速度为零，在以后的运动中，两者距离仍增大，B错。
60 s时， a的位移
b的位移
，所以C对。
40 s时，a的位移
b的位移 两者相距
，D错。
第二部分 实验：研究匀变速直线运动
知识要点梳理 实验目的
1．练习使用打点计时器，学会用打上点的纸带研究物体的运动。 2．掌握判断物体是否作匀变速运动的方法。 3．测定匀变速直线运动的加速度。 4．能利用“逐差法”求加速度。
实验器材
打点计时器、纸带、复写纸片、低压交流电源、小车、细绳、一端附有滑轮的长木板、刻度尺、钩码、开关及导线
实验原理
1．由纸带判断物体做匀变速运动的方法
如图所示，0、1、2、.…为时间间隔相等的各计数点，
为相邻两计数点间的距离，若
(常量），即若两连续相等的时间间隔里的位移之差为恒量，则与纸带相连的
物体的运动为匀变速直线运动。 2．由纸带求物体运动加速度的方法 （1）用“逐差法”求加速度 即根据
(T为相邻两计数点间的时间间隔）求出
（2）用
图象求加速度
，再算出平均值即为物体运动的加速度。
即先根据求出打第n点时纸带的瞬时速度，然后作出图象，
图线的斜率即为物体运动的加速度。
实验步骤
1．按图把一端附有滑轮的长木板平放在实验桌上，并使滑轮伸出桌面，把打点计时器固定在长木板上没有滑轮的一端，连接好电路。
2．把细绳的一端固定在小车上，跨过滑轮后在另一端挂上适量的钩码，让纸带穿过打点计时器的限位孔后一端固定在小车上，用手拉住小车。
3．先接通电源，后放开小车，让小车运动，这样打点计时器就在纸带上打下一系列点，取下纸带，更换新纸带，至少重复3次。
4．选打点清晰的纸带进行研究，舍去开头比较密集的点，确定好计数始点，每隔4个计时点取一个计数点，使时间间隔为T=0.1s。
5．用毫米刻度尺量出各计数点之间的距离算出各计数点对应的瞬时速度，作出
。用逐差法计算加速度的值，最后求其平均值（计
图象，求得直线的斜率即为物体运动的加速度）。
实验方法攻略
数据处理
1．从三条纸带中选择一条比较理想的，舍掉开头一些比较密集的点，在后边便于测量的地方找一个开始点来确定计数点。为了计算方便和减小误差，通常用连续打五个点的时间作为时间单位，即T=0.1 s。
2．正确使用毫米刻度尺测量每相邻两计数点间的距离，并填入表内，用逐差法求出加速度，最后求其平均值。（请读者自己设计表格）。
3．也可求出各计数点对应的瞬时速度，作出
图象，求直线的斜率，即物体运动的加速度。
误差分析
由于相邻计数点之间的距离测量有误差而使加速度a的测量结果产生误差；由于交流电源频率不稳定使打点周期T不稳定产生误差。
注意事项
1．细绳尽可能与木板平行，以确保细绳对小车的拉力不变； 2．开始释放小车时，小车应尽量靠近打点计时器；
3．小车的加速度应适当大一些，以能在纸带长约50 cm的范围内清楚地取7～8个计数点为宜； 4．要防止钩码落地撞坏以及小车跟定滑轮相撞，应采取一些防范措施；
5．要区别计时器打出的点与人为选取的计数点（一般把计时器打出的5个点作为1个计数点），选取的计数点不少于6个；
6．不要分段测量各段位移，应尽可能地一次测量完毕（可先统一量出到计数起点0之间的距离）。读数时估读到毫米的下一位。
典型例题透析
1、如图所示，某同学在做“研究匀变速直线运动”实验中，由打点计时器得到表示小车运动过程的一条
=7.05cm、
=7.68cm、
=8.33cm、
=8.95cm、
清晰纸带，纸带上两相邻计数点的时间间隔为T=0.10s，其中=9.61cm、
=10.26cm，则A点处瞬时速度的大小是_______m/s，小车运动的加速度计算表达式为
（计算结果保留两位有效数字）。
________________，加速度的大小是_______
思路点拨：本题考查和的应用。
解析：
总结升华：这类题要把所给的数据尽量多地用上，如用逐差法求加速度等。容易犯的错误就是只用其中的几组数据，造成数据处理的误差。 举一反三
【变式】研究匀变速直线运动的实验中打出的纸带如图所示，图中的A、B、C、D、E均为计数点，相邻两计数点之间均包含5个自然打点间隔，测量计数点间距时，用刻度尺的零刻度线与纸带上的起始点O对齐，由A至E各点对应的刻度值分别为7.00、11.10、17.20、25.20和35.10（单位：cm）。根据纸带，求： （1）物体运动的加速度；
（2）打出C、D点时纸带速度各为多大?
解析：由图可知：相邻两计数点的间距分别为
＝4.1cm，
＝6.1cm，
＝8.0cm，
＝9.9cm，
所以在实验误差允许的范围内
（1）
（2）瞬时速度：
。
2、如图（a）所示，小车放在斜面上，车前端栓有不可伸长的细线，跨过固定在斜面边缘的小滑轮与重
物相连，小车后面与打点计时器的纸带相连。起初小车停在靠近打点计时器的位置，重物到地面的距离小于小车到滑轮的的距离。启动打点计时器，释放重物，小车在重物的牵引下，由静止开始沿斜面向上运动，重物落地后，小车会继续向上运动一段距离。打点计时器使用的交流电频率为50Hz。图（b）中a、b、c是小车运动纸带上的三段，纸带运动方向如箭头所示。
（1）根据所提供纸带上的数据，计算打c段纸带时小车的加速度大小为 （2）打a段纸带时，小车的加速度是2.5
。（结果保留两位有效数字）
。请根据加速度的情况，判断小车运动的最大速度可能出现在
b段纸带中的 。
（3）如果取重力加速度10
思路点拨：本题考查了对有效数字的认识，对实验数据的处理、数字运算、实验误差的理解，考查推理能力和实验探究能力。该题的易忽视点在于第（3）问中，列关系式时，忘记了m、M为一个系统。而错写成
。
解析：
，由纸带数据可推算出重物与小车的质量比为 。
（1）采用逐差法求加速度，这样做的目的是减小偶然误差。
区间可
（2）在打c段时小车做匀减速运动，说明物体已落地，由纸带上的数据可以判断在b段纸带中的能出现最大速度
（3）设重物质量为m，小车质量为M，根据牛顿第二定律 则有 由此可得
答案：（1）5.0 （2）
区间内 （3）1:1
总结升华：本题考查学生对有效数字的认识，对实验数据的处理、数字运算、实验误差的理解，考查推理能力和实验探究能力。命题难度中等。 举一反三
【变式】用如图所示的实验装置测量物体沿斜面匀加速下滑的加速度，打点计时器打出的纸带如图所示．已知纸带上各相邻点的时间间隔为T，则可以得出打点计时器在打出C点时小车的速度大小的表达式为 ，小车运动的加速度大小的表达式为 。若测出斜面的长度l和斜面右端距桌面的高度h，已知重力加速度为g，小车的质量为m。则可以得出斜面对小车的阻力的表达式为 。
解析：
（1）小车沿斜面匀加速下滑，而从B到C和从C到D的时间间隔相等，所以C点即为BD段的时间中点，所以
C点的瞬时速度等于BD的平均速度，即
（2）处理纸带数据，由逐差法可求得加速度a,
（3）以小车为研究对象，受力分析，列出牛顿第二定律方程可得，
为斜面倾角），而
，可求出
。
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