参数带有对称性的等变分歧问题通用开折的(Γ

第２７卷第３期　２０１１年６月　阿　方净阮季亦（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｅｂｅｉ　Ｎｏｒｔｈ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａ１　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖ０１．２７　Ｎｏ．３　Ｊｕｎｅ．２０１１　参数带有对称性的等变分歧问题　（１．天　７４ｉ０００）　摘要：分歧问题开折的研究是一个重要的内容，通用开折的讨论是分歧理论的重要部分．利用光滑映射芽　奇点理论中的接触等价理论，定义了分歧参数带有对称性的等变分歧问题开折的（Ｉ１，△）一等价，且允许分歧　参数带有与状态变量可能不同的对称性，讨论开折在（Ｉ１，△）一等价下的不变性，得到了开折的通用性是（Ｉ１，　△）一等价不变性．　关键词：等变分歧问题；通用开折；通用性；万有开折　中图分类号：０　１８９．３　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３—１４９２（２０１１）０３—０００１—０２　Ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ　ｏｆ　Ｕｎｉｖｅｒｓａｌ　Ｕｎｆｏｌｄｉｎｇ　ｏｆ　Ｅｑｕｉｖａｒｉａｎｔ　Ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｗｉｔｈ　Ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　Ｓｙｍｍｅｔｒｙ　ｕｎｄｅｒ（ｊ【１，Ａ）一Ｅｑｕｉｖａｒｉａｎｃｅ　ＣＨＥＮ　Ｑｉｎｇ．ｅ　，ＺＨＵ　Ｅｎ—ｃｈａｏ。，ＬＩＵ　Ｙｕｅ—ｌ　ｉ　（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｔｉａｎｓｈｕｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔｉａｎｓｈｕｉ　７４１００１，Ｇａｎｓｕ，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｍｅｔｅｏｒｏｌｏｇｉｃａｌ　Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｔｉａｎｓｈｕｉ，Ｔｉａｎｓｈｕｉ　７４１０００，Ｇａｎｓｕ，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｆ　ｕｎｆｏｌｄｉｎｇｓ　ｏｆ　ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｉｓ　ａｎ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｃｏｎｔｅｎｔ．Ｔｈｅ　ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ　ｏｆ　ｖｅｒｓａｌ　ｕｎｆｏｌｄｉｎｇ　ｉｓ　ａｎ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｐａｒｔ　ｏｆ　ｅｑｕｉｖａｒｉａｎｔ　ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ　ｔｈｅｏｒｙ．Ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｃｏｎｔａｃｔ　ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ　ｏｆ　ｓｍｏｏｔｈ　ｍａｐｐｉｎｇ　ｇｅｒｓ　ｉｎ　ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ　ｔｈｅｏｒｙ，ｔｈｅ（ｒ，△）一ｅｑｕｉｖａｒｉａｎｃｅ　ｏｆ　ｕｎｆｏｌｄｉｎｇｓ　ｏｆ　ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｗｉｔｈ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｓｙｍｍｅｔｒｙ　ｉｓ　ｄｅｆｉｎｅｄ．Ｔｈｅ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｓｙｍｍｅｔｒｙ　ｉｓ　ｐｏｓｓｉｂｌｙ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｗｉｔｈ　ｓｔａｔｅ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｓｙｍｍｅｔｒｙ．Ｔｈｅ　ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ　ｕｎｄｅｒ（ｒ，△）一ｅｑｕｉｖａｒｉａｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｕｎｆｏｌｄｉｎｇ　ｉｓ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅ　ｖｅｒｓａｌｉｔｙ　ｏｆ　ｕｎｆｏｌ—　ｄｉｎｇ　ｔｏ　ｂｅ　ａｎ　ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ　ｕｎｄｅｒ（ｒ，△）一Ｅｑｕｉｖａｒｉａｎｃｅ　ｉｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｅｑｕｉｖａｒｉａｎｔ　ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ；ｖｅｒｓａ［ｕｎｆｏｌｄｉｎｇ；ｖｅｒｓａｌｉｔｙ；ｕｎｉｖｅｒｓａｌ　ｕｎｆｏｌｄｉｎｇ　由文献［１］知：在应用奇点理论对分歧问题的研究中，开折理论是一个重要的研究内容，文献Ｅ２］　讨论了等变两参数分歧问题的开折在　等价下的不变性，文献［３］将状态变量分为两组，给出了这种情　形下的等变分歧问题开折通用性是的　等价不变性，需要指出的是上述文献没有考虑参数带有对称性，　文献［４—６］考虑参数的对称性，文献［４］讨论分歧参数带有对称性，且允许带有与状态变量可能不同的　对称性的等变分歧问题的开折，得到了通用开折定理．文献［５］讨论含两组状态变量且分歧参数带有对　称性的等变分歧问题的开折，也仅得到了通用开折定理．本文在文献Ｉ－４］的基础上讨论这类等变分歧问　题的开折的通用性是（ｒ，△）一等价不变性．文中的映射芽均指映射芽Ｃ。。映射芽，见文献Ｅ７－１．　１　基本概念与记号　设紧李群ｒ线性地作用在Ｒ　和Ｒ　上，紧李群△线性地作用在Ｒ　上，函数芽ｇ：（Ｒ　×Ｒ　，０）一Ｒ称　为（ｒ，△）一不变的，若ｇ（ｙｘ，　）＝ｇ（ｚ，　），Ｖ（ｚ，　）∈（Ｒ　×Ｒ　，Ｏ），），∈ｒ，　∈Ａ，所有这样的函数芽构成的集　合记为ｅ　（ｒ，△）它是一个有单位元的交换环，称为（ｒ，△）一不变函数芽环．若映射芽厂：（Ｒ　×Ｒ　，０）一尺　满　足ｆ（ｙｘ，　）一ｒｆ（ｚ，　），Ｖ（ｚ，　）∈（Ｒ　×Ｒ　，Ｏ），ｙ∈Ｐ，　∈△，则称厂是（ｒ，△）一等变映射芽，记所有这样的　来稿日期：２０１１—０４—１１　基金项目：甘肃省自然科学基金资助项目（Ｏ９６ＲＪｚＥ１０６）　作者简介：陈庆娥（１９８０一），女，云南宣威人，天水师范学院数学与统计学院讲师，硕士　２０１１年６月　河北北方学院学报（自然科学版）　第３期　（ｒ，△）一等变映射芽构成的集合为Ｅ　，　（Ｉ１，△），当Ｐ—ｎ简记为Ｅ　（Ｉ１，△），记Ｍ　ｐ（Ｉ１，ｚＳ）＝｛ｆＥ　Ｅ　；　（Ｉ１，　△）Ｉ厂（０）一Ｏ｝．　定义１．Ｉｔ。　若映射厂∈Ｅ，　（Ｉ１，△）满足厂（Ｏ）一Ｏ，Ｄ　／＝ｏ，其中Ｄ　厂表示厂对ｚ求导，则称厂是状　态变量以Ｉ１为对称群，分歧参数以△对称群的参数带有对称性的等变分歧问题，以下简称等变分歧问题．　设Ｅ　（ｒ，ｚＳ）一｛Ｓ：（Ｒ”×Ｒ　，０）一ｇ￡（Ｒ　）Ｉ　Ｓ满足Ｓ（　，　）＝ＡＳ（ｘ，　）　Ｖ（ｚ，　）∈（Ｒ”×Ｒ　，０），　∈　ｒ，　∈△），当ｐ＝ｎ时简记为Ｅ　（ｒ，△），由文献Ｅ８３定理ＸＩＩ６．８可知，Ｅ　ｐ（ｒ，△）和Ｅ　（ｒ，△）都是有　限生成的ｅ　（工１，△）一模．　把Ｒ　上的所有ｒ＿等变性系线性映射芽组成的向量空间记为Ｌ　（Ｒ　），Ｌ　（Ｒ　）ｎＧＬ（Ｒ　）中含单位元的　连通分支记为Ｌ　（Ｒ　）。，同样可以定义上，△（　）。．令Ｋ（ｒ，△）一｛（Ｓ，Ｘ，Ａ）∈Ｅ，帅（ｒ，△）×Ｍ　，　（ｒ，ｚＳ）×　（△）｝Ｓ（Ｏ，０）∈Ｌｒ（Ｒ　）。（　Ｘ）。∈Ｌｒ（Ｒ”）。，（Ｄ＾以）。∈Ｌ△（Ｒ　）。｝，则Ｋ（ｒ，ｚＳ）构成一个群．　定义１．２　设ｆ，ｇＥ　Ｅ　；　（ｒ，△）是两个等变分歧问题，若存在（Ｓ，Ｘ，以）∈Ｋ（ｊ１，△），使得ｆ（ｘ，　）＝Ｓ　（ｚ，　）・ｇ（Ｘ（３ｃ，　），Ａ（　）），则称　与ｇ是Ｋ（Ｊ１，△）一等价的．　定义．厂处的等变切空间为Ｔ　（，，Ｋ（ｒ，ｚＸ））一Ｅ，　（ｒ，△）・厂＋（Ｄ　厂）（Ｅ，　（ｒ，△））十（Ｄ　厂）（Ｅｋ（△）），记　Ｔ　（厂，Ｋ（ｒ，△））：Ｅ　，　（ｒ，△）・，＋（Ｄ　厂）（Ｅ　，＾（Ｉ１，ｚＳ）），若ｄｉｍＥ　，＾，ｐ（ｒ，ｚＳ）／Ｔ　（，，Ｋ（Ｉ１，△））＜＋∞，称厂是　．有限Ｋ（ｒ，△）一余维的，并记ｃｏｄｉｍＲ（，，Ｋ（Ｉ１，△））一ｄｉｍｅ　。ｐ（ｒ，ｚＳ）／Ｔ　（厂，Ｋ（ｒ，△）），若ｄｉｍｅ　，ｐ（ｒ，△）／　（厂，Ｋ（Ｉ１，△））＜＋∞，显然，是有限Ｋ（Ｉ１，△）一余维的．　定义１．３设ｆ，ｇＥＥ　（Ｉ１，△）是两个等变分歧问题，若Ｆ（ｘ，　，　）∈Ｅ　ｐ（Ｉ１，△）满足Ｆ（ｘ，　，Ｏ）＝ｆ　（ｚ，　），则称Ｆ是－厂的一个ｚ一参数开折，其中　＝（“。，“　一，Ｕ　）∈（Ｒ　，０）称为开折参数．　Ｊｆ的一个　一参数开折Ｇ称为可由另一个ｚ一参数开折导出，若存在Ｓ∈Ｅ　。ｐ（ｒ，△），Ｘ∈Ｅ　（ｒ，△），以　∈　．　（△）及映射芽Ａ：（尺　，Ｏ）一（Ｒｐ，０）满足Ｘ（ｘ，　，０）：０，Ａ（　，０）＝　，使得Ｇ（ｘ，Ａ，　）一Ｓ（３ｃ，　，　）・Ｆ（Ｘ　（３ｃ，Ａ，ｙ），Ａ（　，　），Ａ（　））．　如果．厂的每一个开折均可由Ｆ导出，则称Ｆ是　的通用开折，通用开折中含开折参数最少者称为厂　的万有开折．　定义１．４　设ｆ，ｇＥ　Ｅ　。　（ｒ，△）是两个等变分歧问题，Ｆ和Ｇ分别是，和ｇ的ｚ一参数开折，称Ｆ和Ｇ　是（ｒ，△）一等价的，如果Ｆ可表示为Ｆ（　，　，　）一Ｓ（ｚ，　，“）・Ｇ（Ｘ（ｘ，　，　），Ａ（　，　），Ａ（　）），其中Ｓ∈Ｅ　（ｒ，△），Ｘ∈Ｅ　￡（ｒ，△），以∈Ｅｋ，　（ＺＤ，Ａ为（Ｒ　，Ｏ）上的微分同胚芽．　２　结论与证明　定理２．１　设ｆＥ　Ｅ　（ｒ，ｚＳ）是等变分歧问题，Ｆ和Ｇ分别是　和ｇ的ｚ～参数开折，若Ｆ和Ｇ是（ｒ，　△）一等价的，则Ｆ是，的通用开折当且仅当Ｇ是ｇ的通用开折．　这个定理说明开折的Ｆ和Ｇ是（Ｉ１，△）一等价的．　证明　由定义１．４知，开折的（ｒ，△）一等价具有对称性，故只需证必要性，设Ｆ是，的一个￡一参数开　折，下证Ｇ分别是厂的ｚ一参数开折，转化为证对ｇ的任一　一参数开折Ｈ（ｚ，　，　）∈Ｅ　ｐ（Ｉ１，△），Ｈ（ｘ，　，Ｏ）　：ｇ（ｘ，　），Ｈ可由Ｇ导出，因为Ｆ和Ｇ是（Ｉ１，△）一等价的，则存在满足定义１．４中条件的（ｓ，Ｘ，Ａ）和（Ｒ　，　０）上的微分同胚芽Ａ使（１．１）式成立，定义映射芽Ｋ：（Ｒ　×Ｒ　×Ｒ　，Ｏ）一Ｒ　，Ｋ（ｚ，　，　）一Ｓ（ｚ，．；【，０）Ｈ（Ｘ　（１ｚ，　，０），Ａ（　，Ｏ），　），又定义映射芽　：（Ｒ　×Ｒ　×Ｒ　，０）一（Ｒ”×Ｒ　，０），　（ｚ，　，　）一（Ｘ（ｚ，　，ｖ），Ａ（Ａ，　）），　（ｚ，　）一　（ｚ，Ａ，ｏ），易知　是（ｒ，△）一等变映射芽，　是（ｒ，△）一等变微分映射芽，且　的逆　－１（　，　）　一（Ｘ（ｚ　，　），Ａ（　））也是（ｒ，△）一等变微分映射芽，于是Ｈ（ｓｃ　，　，ｖ）＝ＳＩ１（　（ｚ　，　），０）Ｋ（　（ｚ　，　），　ｖ），又由于Ｋ（ｘ，　，Ｏ）一Ｓ（ｘ，　，Ｏ）Ｇ（　（．ｚ，　），Ｏ）＝Ｆ（ｘ，　，０）：ｆ（ｓｃ，　），所以Ｋ是厂的一个￡一参数开折，由　于Ｆ是厂的通用开折，故可由Ｆ导出，即存在定义１．３中的Ｓ　，Ｘ　，Ａ１及映射芽Ａ　：（Ｒ　，Ｏ）一（Ｒ　，０）使　（下转第６页）　・　２　・　２０１１年６月　河北北方学院学报（自然科学版）　第３期　Ｈｉｓｔｏｇｒａｍｏｆｘ　，　、．　４０　Ｉｎｄｅｘ　５０　●　６０　７０　Ｘ　８Ｏ　９０　１００　图１等待时间数据图　图２直方图和密度估计曲线　参考文献：　［１］　郭军华，倪明．基于非参数ＨＭＢ指数法的区域创新效率变动分析［Ｊ］．管理学报，２０１１，８（Ｏ１）：１３７—１４２　［２］杨若冲，黄晓明．基于非参数假设检验的高速公路车辆分类研究［Ｊ］．公路交通科技，２０１０，２７（１２）：２９－３２　［３］段景辉，陈建宝．城乡收入差距影响因素的非参数逐点回归解析ＥＪ］．财经研究，２０１１，３７（Ｏ１）：１５７—１６１　［４］高瑞忠．基于非参数方法的鄂尔多斯市水资源承载力分析口］．水电能源科学，２０１０，（１２）：９９—１０２　［５］Ｆｒｅｅｍａｎ　Ｄ，Ｐｉｓａｎｉ　Ｒ，Ｐｕｒｖｅｓ　Ｒ，Ａｄｈｉｋａｒｉ　Ａ（魏宗舒等译）．统计学［Ｍ］．北京　中国统计出版社，１９９７：２０－６０　［６］陈希孺．数理统计引论［Ｍ］．北京：科学出版社，１９８１：１－５７　［７］陈家鼎，孙山泽，李东风．数理统计讲义［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９３：３０—８０　苎．０　８ｒ０　．０【０．０　８．０　［８］黄敏，尤梅芳．非参数统计方法在房地产价格研究中的应用［Ｊ］．中国物价，２０１０，（０１）：４５—４７　［９］任荣荣，郑思齐，王轶军．基于非参数方法的土地价格空间分布拟合与分析［Ｊ］．清华大学学报：自然科学版，　２００９，４９（０３）：３２５—３２８　［１Ｏ］王静霓．人体参考值范围的参数与非参数推算方法［Ｊ］．复旦大学学报：医学版，２０１０，３７（Ｏ６）：７１５—７１８　［１Ｉ］Ｒａｎｄｌｅｓ　ＲＨ，Ｗｏｌｆｅ　ＤＡ．Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｎｏｎｐａｒａｍｅｔｒｉｃ　ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｗｉｌｅｙ　ａｎｄ　Ｓｏｎｓ，１９７９：Ｉ－５６　［１２］吴喜之．非参数统计［Ｍ］．北京：中国统计出版社，１９９９：１－４０　［责任编辑：刘守义英文编辑：刘彦哲］　（上接第２页）　得Ｋ（ｚ，　，ｖ）一Ｓ１（ｚ，　，　）Ｆ（Ｘ１（ｚ，　，ｖ），Ａ（　，ｖ），Ａ１（　）），令　ｌ（ｚ，　，ｖ）＝（Ｘ１（　，　，　），Ａ（　，ｐ）），于是　１是　（ｒ，△）一等变淹没芽，且Ｈ（ｘ　，　，　）：Ｓ－１（４ｏ　（Ｘ　，　），Ｏ）Ｓ１（　（ｖ）），则Ｆ（４】・（　（　，　），　），Ａ１（ｖ））＝Ｓ（　ｌ・　（ｖ）），Ａ（Ａ】（ｖ））），令Ｓ２（ｚ　，Ａ　，　）一Ｓ一　（　（　）），　（ｚ　，　，　）一　・（　，Ａ１）・（　（ｚ　，　）　）・Ｆ（　・（　（　，　），ｖ），Ａ１　（　，　），ｖ），Ａｌ　（Ｘ　，　），ｖ），Ａ１　（　，　），　），Ａｌ（　））・Ｇ（　（　ｌ（（　（ｚ　，　），０）Ｓ１（４０　（　，　）　）－Ｓ（　ｌ・（　×　（ｚ　，　，　）＝（Ｘ２，Ａ２，Ａ２（　）），由Ｓ满足Ｓ（ｙｘ，　，　）＝７Ｓ（ｘ，　）　ｙ一，Ｖ　ｙ∈Ｉ１，　∈Ａ，及　，Ｓ　，　。均为（Ｉ１，△）一等变的，可知Ｓｚ满足Ｓ２（　，叛，ｖ）＝７Ｓ（ｘ　，　，ｖ）７＿。，则　Ｘ２（ｚ　，　，　）一Ｘ（Ｘ】（Ｘ　（　，　），Ａ　（　），　），Ａ１（Ａ　（　），ｖ），Ａ１（　）），Ａ２（　，　）＝Ａ（Ａ１（Ａ　（　），ｖ），Ａ１（　）），Ａ２　（ｖ）一Ａ（Ａ。（　）），由于Ｘ，ｘ　，Ｘ　均为（ｒ，△）一等变的，可得Ｘ。也为（ｒ，△）一等变的，易证ｘ　（　，　，０）＝　Ｘ，Ａ　（　，０）＝　且有Ｈ（ｚ　，　，　）：Ｓ　（ｚ　，　，ｖ）Ｇ（　（ｚ　，　，　），Ａ２（ｖ）），故Ｈ可由Ｇ导出，证毕．　参考文献：　［１］Ｇｏｌｕｂｉｔｓｋｙ　Ｍ，Ｓｔｅｗａｒｔ　Ｉ．Ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ　ａｎｄ　ｇｒｏｕｐｓ　ｉｎ　ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ　ｔｈｅｏｒｙ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ　Ｖｅｒｌａｇ，１９８８　［２］李兵，钱祥征．开折的ｒ＿等价不变性［Ｊ］．湖南大学学报，２０００，２７（Ｏ３）：１—５　［３］郭瑞芝．含两组状态变量等变分歧问题开折的唯一性和稳定性［Ｊ］．高校应用数学学报（Ａ辑），２００８，２３（０１）：１１２—１２０　［４］Ｇａｏ　ＳＰ，Ｌｉ　ＹＣ．Ｔｈｅ　ｕｎｆｏｌｄｉｎｇ　ｏｆ　ｅｑｕｉｖａｒｉａｎｔ　ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｗｉｔｈ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｓｙｍｍｅｔｒｙ［Ｊ］．Ａｅｔａ　Ｍａｔｈ　Ｓｃｉ．　２００４，２４Ｂ（Ｏ４）：６２３—６３２　．　ＤＬ，Ｌｉ　ＹＣ．Ｔｈｅ　ｕｎｆｏｌｄｉｎｇ　ｏｆ　ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ　ｔｈｅｏｒｙ　ｗｉｔｈ　ｔｗｏ　ｔｙｐｅｓ　ｏｆ　ｓｔａｔｅ　ｖａｒｉａｂｌｅｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｐｒｅｓｅｎｃｅ　ｏｆ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　［５］　Ｃｕｉｓｙｍｍｅｔｒｙ［Ｊ］．Ａｃｔａ　Ｍａｔｈ　Ｓｉｎ　Ａ，２００６，２２（Ｏ５）：１４３３—１４４０　ｔｔａ　ＡＭ，Ｓｔｅｗａｒｔ　Ｉ．Ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ　ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　ｅｑｕｉｖａｒｉａｎｔ　ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｗｉｔｈ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｓｙｍｍｅｔｒｙ　［６］　Ｆｕｔｅｒ　ＪＥ。Ｓｉ［Ｊ］．Ｍａｔｈ　Ｐｒｏｃ　Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ　Ｐｈｉｌｏ　Ｓｏｃ，１９９６，１２０（Ｏ３）：５４７—５７８　　［７］　施恩伟．流形上的微积分［Ｍ］．北京：科学出版社，２００４：１５２—１５４　［８］　崔登兰，李养成．等变奇点理论中的一类有限生成模口］．湖南师范大学学报，１９９６，１９（Ｏ４）：１１—１４［责任编辑：刘守义英文编辑：刘彦哲］　・６