一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的. 1．（3分）8的立方根是（ ） A．2 2．（3分）若a＝A．﹣1＜a＜0
B．﹣2 ﹣2，则（ ）
B．0＜a＜1
C．1＜a＜2
D．2＜a＜3
C．4
D．﹣4
3．（3分）（﹣m）3（﹣2m）2＝（ ） A．﹣4m6
B．﹣2m6
C．4m5
D．﹣4m5
4．（3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
5．（3分）如图，以Rt△ABC的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝50，则S1的值为（ ）
A．10
B．15
C．20
D．25
6．（3分）下列命题中，逆命题是真命题的是（ ） A．全等三角形的对应角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．若a＝﹣b，则a2＝b2 D．对顶角相等
7．（3分）若等腰三角形的两边分别为7和12，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．25 B．31 C．25或32 D．26或31
8．（3分）已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝12，AC＝18，则AD的取值范围是（ ） A．3＜AD＜15
B．6＜AD＜30
C．6≤AD≤30
D．3≤AD≤15
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝5，BC＝12，则SACD：S△ABD为（ ）
A．12：5
B．12：13
C．5：1 3
D．13：5
10．（3分）如图，在等腰△ABC中，∠A＝56°，AB＝AC．在边AC上任取一点A1，延长BC到C1，使A1C＝CC1，得到△A1CC1；在边A1C1上任取一点A2，延长CC1到C2，使A2C1＝C1C2，得到A2C1C2，…，按此做法继续下去，则∠A2022C2022C2021的度数是（ ）
A．C．
×62° ×62°
B．D．
×62° ×62°
二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）比较大小：
．（填“＞”“＝”或“＜”）
12．（3分）若a2n＝2（n为正整数），则（4a3n）2÷4a4n的值为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上（不与点B，C重合），若要证明△ABD≌△ACD，请添加一个条件 ．（写出一个即可）
14．（3分）用反证法证明命题“若a2＜4，则|a|＜2”时，应假设 ． 15．（3分）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4，BC＝2
，∠B＝30°，以A为圆心，任
意长为半径画弧分别交AB，AC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，点E是AB边上一点，连接DE．则有下列结论：①AD是∠BAC的平分线；②△ABC为直角三角形；③点D在AB的垂直平分线上；SDAC：SABC＝1：
；⑤△DAC≌△DAE；其中正确结论的序号有 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16．（8分）因式分解： （1）
；
（2）（x+2）2+（3x﹣1）（3x+1）﹣10x（x+1）．
17．（8分）先化简，再求值：（x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣2（y2+1）．其中x＝1+﹣
．
，y＝1
18．（8分）小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整． 已知：直线a，b，c在同一平面内，a∥c，b∥c， 求证： ． 证明：
19．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，分别以点A，C为圆心，大于
的长为半
径画弧，两弧在AC两侧分别交于P，Q两点，作直线PQ交BC边于点D，交AC于点E，AB＝5，BC＝13，求BD的长．
20．（9分）如图，△ABC的顶点在正方形网格中的格点上，若小方格边长为1，请你根据
所学的知 识解决下列问题．
（1）△ABC的面积为 ；
（2）判断△ABC是什么形状，并说明理由．
21．（11分）如图，已知AE∥BC，∠B＝∠ADB，∠BAD＝∠EAC＝∠E． （1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若∠BAE＝110°，求∠E的度数．
22．（11分）阅读材料：在求多项式x2+4x+8的最小值时，小明的解法如下：x2+4x+8＝x2+4x+4+4＝（x+2）2+4，因为（x+2）2≥0，所以（x+2）2+4≥4，1即x2+4x+8的最小值为4．请仿照以上解法，解决以下问题： （1）求多项式2x2+16x+20的最小值；
（2）猜想多项式﹣x2+12x﹣25有最大值还是最小值，并求出这个最值．
23．（12分）如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，P，Q分别是△ABC的边上的两动点，点P从点B开始沿B→A方向运动，速度为每秒1cm，到达A点后停止；点Q从A开始沿A→C→B的方向运动，速度为每秒2cm，到达B点后停止，它们同时出发，设出发时间为ts． （1）求BC的长度；
（2）当t为何值时，点P恰好在边BC的垂直平分线上？并求出此时CQ的长； （3）当点Q在边BC上运动时，直接写出△ACQ为等腰三角形时t的值．
2022-2023学年河南省周口市沈丘县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的. 1．（3分）8的立方根是（ ） A．2
B．﹣2
C．4
D．﹣4
【分析】利用立方根的意义解答即可． 【解答】解：8的立方根为2， 故选：A． 2．（3分）若a＝A．﹣1＜a＜0
﹣2，则（ ）
B．0＜a＜1
C．1＜a＜2 的大小，进而得出
D．2＜a＜3 ﹣2的大小即可．
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数【解答】解：∵∴0＜
﹣2＜1，
＜
＜
，即2＜
＜3，
即0＜a＜1， 故选：B．
3．（3分）（﹣m）3（﹣2m）2＝（ ） A．﹣4m6
B．﹣2m6
C．4m5
D．﹣4m5
【分析】先算积的乘方，再算单项式乘单项式即可． 【解答】解：（﹣m）3（﹣2m）2 ＝﹣m3•4m2 ＝﹣4m5． 故选：D．
4．（3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
【分析】由“SSS”可证△ABC≌△ADC，可得∠BAC＝∠DAC，可证AE就是∠PRQ的平分线，即可求解．
【解答】解：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴AE就是∠PRQ的平分线， 故选：A．
5．（3分）如图，以Rt△ABC的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝50，则S1的值为（ ）
A．10
B．15
C．20
D．25
【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．
【解答】解：∵由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， ∴S3+S2＝S1， ∵S1+S2+S3＝50， ∴2S1＝50， ∴S1＝25， 故选：D．
6．（3分）下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．若a＝﹣b，则a2＝b2 D．对顶角相等
【分析】先写各个选项的逆命题，再判定真假．
【解答】解：A：逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题； B：逆命题为：同位角相等，两直线平行，是真命题； C：逆命题为：若a2＝b2，则a＝﹣b，是假命题； D：逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题； 故选：B．
7．（3分）若等腰三角形的两边分别为7和12，则这个等腰三角形的周长为（ ） A．25
B．31
C．25或32
D．26或31
【分析】分腰长为7和12两种情况，可求得三角形的三边，再利用三角形的三边关系进行验证，可求得其周长．
【解答】解：当腰长为7时，则三角形的三边长分别为7、7、12， ∵7+7＞12，满足三角形的三边关系，此时周长为26；
当腰长为12时，则三角形的三边长分别为12、12、7，满足三角形的三边关系，此时周长为31；
综上可知，三角形的周长为26或31． 故选：D．
8．（3分）已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝12，AC＝18，则AD的取值范围是（ ） A．3＜AD＜15
B．6＜AD＜30
C．6≤AD≤30
D．3≤AD≤15
【分析】延长AD至E，使AD＝DE，连接BE、CE，从而构造平行四边形ABEC，然后利用三角形的三边关系求解．
【解答】解：延长AD至E，使AD＝DE，连接BE、CE， ∵AD＝DE，
∵AD是△ABC中BC边上的中线， ∴BD＝DC，
∴四边形ABEC为平行四边形， ∴BE＝AC＝18，
∴在△ABE中：BE﹣AB＜AE＜BE+AB， 即6＜2AD＜30， ∴3＜AD＜15， 故选：A．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝5，BC＝12，则SACD：S△ABD为（ ）
A．12：5
B．12：13
C．5：1 3
D．13：5
【分析】过D作DF⊥AB于F，根据角平分线的性质得出DF＝DC，再根据三角形的面积公式求出△ABD和△ACD的面积，最后求出答案即可． 【解答】解：过D作DF⊥AB于F，
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°（即AC⊥BC）， ∴DF＝CD， 设DF＝CD＝R，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，由勾股定理得：AB＝∴S△ABD＝
＝
＝
R，S△ACD＝
＝
＝13， ＝R，
∴S△ACD：S△ABD＝（R）：（故选：C．
R）＝5：13，
10．（3分）如图，在等腰△ABC中，∠A＝56°，AB＝AC．在边AC上任取一点A1，延长BC到C1，使A1C＝CC1，得到△A1CC1；在边A1C1上任取一点A2，延长CC1到C2，使A2C1＝C1C2，得到A2C1C2，…，按此做法继续下去，则∠A2022C2022C2021的度数是（ ）
A．C．
×62° ×62°
B．D．
×62° ×62°
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝62°，再根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得∠A1C1C＝×62°，∠A2C2C1＝（）
2
×62°，∠A3C3C2＝∠C3A3C2＝∠A2C2C1＝（）3×62°，按此规律，即可求出∠
A2022C2022C2021的度数．
【解答】解：∵∠A＝56°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝62°， ∵A1C＝CC1，
∴∠A1C1C＝∠C1A1C＝∠ACB＝×62°， ∵A2C1＝C1C2，
∴∠A2C2C1＝∠C2A2C1＝∠A1C1C＝（）2×62°， 同理，∠A3C3C2＝∠C3A3C2＝∠A2C2C1＝（）3×62°， ∴∠A2022C2022C2021＝（）2022×62°． 故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）比较大小：
＞
与2
．（填“＞”“＝”或“＜”） 的大小，即可解答． ）2＝8，
【分析】利用平方运算比较【解答】解：∵（
）2＝10，（2
∴10＞8， ∴
＞2
，
故答案为：＞．
12．（3分）若a2n＝2（n为正整数），则（4a3n）2÷4a4n的值为 8 ． 【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行运算即可． 【解答】解：当a2n＝2时， （4a3n）2÷4a4n ＝16（a2n）3÷4（a2n）2 ＝16×23÷（4×22） ＝16×8÷（4×4） ＝16×8÷16 ＝8． 故答案为：8．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上（不与点B，C重合），若要证明△ABD≌△ACD，请添加一个条件 BD＝CD ．（写出一个即可）
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，如BD＝CE，根据SAS推出即可；也可以∠BAD＝∠CAE等． 【解答】解：BD＝CD， 理由是：∵∠B＝∠C， ∴AB＝AC，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS）， 故答案为：BD＝CD．
14．（3分）用反证法证明命题“若a2＜4，则|a|＜2”时，应假设 |a|≥2 ．
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【解答】解：用反证法证明“若a2＜4，则|a|＜2”时，应假设|a|≥2． 故答案为：|a|≥2．
15．（3分）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4，BC＝2
，∠B＝30°，以A为圆心，任
意长为半径画弧分别交AB，AC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，点E是AB边上一点，连接DE．则有下列结论：①AD是∠BAC的平分线；②△ABC为直角三角形；③点D在AB的垂直平分线上；SDAC：SABC＝1：④ ．
；⑤△DAC≌△DAE；其中正确结论的序号有 ①②③
【分析】根据作图的过程可判断①正确；根据勾股定理的逆定理即可判断②正确；根据角平分线的定义结合∠B＝30°，根据垂直平分线的判定可知可知③正确；根据直角三角形的性质得AD＝2CD，进而得BD＝2CD，再根据等高的三角形的面积比等于底边之比便可判断④．当E为AB的中点时⑤正确，据此解答．
【解答】解：根据作图的过程可知：AD是∠BAC的平分线，故①正确； ∵AC2+BC2＝16，AB2＝16， ∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，故②正确； ∵∠BAD＝∠BAC＝∠B＝30°， ∴AD＝BD，
∴点D在AB的垂直平分线上，故③正确； ∵∠CAD＝30°， ∴AD＝2CD， ∵BD＝AD， ∴DB＝2CD，
∴S△DAC：S△ABC＝1：3，故④正确，
当E为AB的中点时，△DAC≌△DAE，而点E是AB边上任意一点，故⑤错误． 故答案为：①②③④．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16．（8分）因式分解： （1）
；
（2）（x+2）2+（3x﹣1）（3x+1）﹣10x（x+1）．
【分析】（1）利用提公因式法提公因式x后，再按照完全平方公式分解即可；
（2）直接利用乘法公式以及单项式乘多项式化简，再利用提取公因式法分解因式得出答案．
【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣3x+） ＝x（x﹣）2；
（2）原式＝x2+4x+4+9x2﹣1﹣10x2﹣10x ＝﹣6x+3 ＝﹣3（2x﹣1）．
17．（8分）先化简，再求值：（x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣2（y2+1）．其中x＝1+﹣
．
，y＝1
【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可． 【解答】解：原式＝（x2﹣2xy+y2）﹣（x2﹣y2）﹣（2y2+2） ＝x2﹣2xy+y2﹣x2+y2﹣2y2﹣2 ＝﹣2xy﹣2， 当x＝1+
，y＝1﹣
时，
）﹣2
原式＝﹣2×（1+）×（1﹣
＝﹣2×（1﹣2）﹣2 ＝0．
18．（8分）小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整． 已知：直线a，b，c在同一平面内，a∥c，b∥c， 求证： a∥b ．
证明：
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，从这个假设出发，进行推导． 【解答】解：由命题的结论得：a∥b， 故答案为：a∥b，
证明：假设a，b相交于点A， 则过A点有两条直线a，b都平行于c，
这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾， 所以假设是错误的， 所以a∥b．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，分别以点A，C为圆心，大于
的长为半
径画弧，两弧在AC两侧分别交于P，Q两点，作直线PQ交BC边于点D，交AC于点E，AB＝5，BC＝13，求BD的长．
【分析】连接AD，由作图得出AD＝CD，再证明AB＝AD＝CD＝5，结合BC＝13可得答案．
【解答】解：如图，连接AD，
由作图知，AD＝CD， ∴∠C＝∠DAC，
∴∠ADB＝2∠C， ∵∠B＝2∠C， ∴∠B＝∠ADB， ∴AB＝AD＝CD＝5， ∵BC＝13，
∴BD＝BC﹣CD＝8．
20．（9分）如图，△ABC的顶点在正方形网格中的格点上，若小方格边长为1，请你根据所学的知 识解决下列问题．
（1）△ABC的面积为 5 ；
（2）判断△ABC是什么形状，并说明理由．
【分析】（1）根据△ABC的面积等于矩形的面积减去三个小三角形的面积解答即可； （2）根据勾股定理得出AB，AC，BC的长，进而利用勾股定理的逆定理解答即可． 【解答】解：（1）＝5， 故答案为：5． （2）由勾股定理得：∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形．
21．（11分）如图，已知AE∥BC，∠B＝∠ADB，∠BAD＝∠EAC＝∠E． （1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若∠BAE＝110°，求∠E的度数．
，
，BC＝
，
【分析】（1）利用AAS证明△ABC≌△ADE即可；
（2）根据平行线的性质可得∠B＝180°﹣110°＝70°，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠B＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵AE∥BC， ∴∠EAC＝∠C， ∵∠EAC＝∠E， ∴∠C＝∠E，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS）；
（2）解：∵∠BAE＝110°，AE∥BC， ∴∠B＝180°﹣110°＝70°， ∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝70°，
∴∠BAD＝180°﹣2×70°＝40°， ∴∠E＝∠BAD＝40°． ∴∠E的度数为40°．
22．（11分）阅读材料：在求多项式x2+4x+8的最小值时，小明的解法如下：x2+4x+8＝x2+4x+4+4＝（x+2）2+4，因为（x+2）2≥0，所以（x+2）2+4≥4，1即x2+4x+8的最小值为4．请仿照以上解法，解决以下问题： （1）求多项式2x2+16x+20的最小值；
（2）猜想多项式﹣x2+12x﹣25有最大值还是最小值，并求出这个最值．
【分析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答；
（2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【解答】解：（1）∵2x2+16x+20＝2（x2+8x+16）﹣12＝2（x+4）2﹣12，由（x+4）2≥0， 得2（x+4）2﹣12≥﹣12，
∴多项式2x2+16x+20的最小值是﹣12；
（2）﹣x2+12x﹣25＝﹣（x2﹣12x+36）+11＝﹣（a﹣6）2+11， ∵﹣（a﹣6）2≤0， ∴﹣（a﹣6）2+11≤11，
∴多项式﹣x2+12x﹣25有最大值，最大值为11．
23．（12分）如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，P，Q分别是△ABC的边上的两动点，点P从点B开始沿B→A方向运动，速度为每秒1cm，到达A点后停止；点Q从A开始沿A→C→B的方向运动，速度为每秒2cm，到达B点后停止，它们同时出发，设出发时间为ts． （1）求BC的长度；
（2）当t为何值时，点P恰好在边BC的垂直平分线上？并求出此时CQ的长； （3）当点Q在边BC上运动时，直接写出△ACQ为等腰三角形时t的值．
【分析】（1）由勾股定理即可得出结论；
（2）可得PC＝PA＝t，PB＝8﹣t，则62+（8﹣t）2＝t2，解出t＝
．可求出CQ；
（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ＝BC、CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值． 【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm ∴BC＝
＝10（cm）．
（2）∵点P在边BC的垂直平分线上， ∴PC＝PB＝t，PC＝14﹣t，
在Rt△BPC中，BC2+BP2＝CP2，即122+（16﹣t）2＝t2
解得：t＝．
（cm）；
此时，点Q在边AC上，CQ＝（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示，
则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°． ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ， ∴BQ＝AQ， ∴CQ＝AQ＝10， ∴BC+CQ＝22， ∴t＝22÷2＝11秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示，
则BC+CQ＝24， ∴t＝24÷2＝12秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示，
过B点作BE⊥AC于点E， ∴∴
＝
．
，
∴CQ＝2CE＝14.4， ∴BC+CQ＝26.4， ∴t＝26.4÷2＝13.2秒．
综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．
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