排列与组合是数学的一个重要内容,主要研究完成某项工作的方法 数量,如从l～9中选出两个不同的数组成一个两位数的个数,等等。 排列与组合虽然都是从某些事物中选出一部分,但是,排列和组合又 有着本质的区别,排列是有序的,而组合却是无序的,比方说北京、上海和 广州三地之间的飞机票。如果问这三地间的飞机票价种数,那么它就是 一个组合问题,因为从北京到上海和从上海到北京的票价是一样的,也就 是说与飞机的起飞地点和降落地点没有关系,但是如果问三地间的飞机 票的票样,那就是排列问题,因为它与出发地和目的地有关,从北京到上 海和从上海到北京是不同的票样。
排列组合所用的基础原理是乘法原理和加法原理。所谓乘法原理是指：完成一项工作需要两步,已知完成第一步有m种方法,完成第二步有 n种方法,那么完成这项工作一共有m*n种不同的方法；所谓加法原理 是指：完成一项工作有两类不同的方法,其中第一类中有a种方法,第二 类中有b种方法,那么完成这项工作的方法一共有a+b种。乘法原理 和加法原理最大的区别就是：一个是分步,一个是分类。
另外,解决此类问题还需要理解和掌握组合数和排列数的公式。
经典例题
[例l】 从甲地到乙地有3条路可走,从乙地到丙地有2条路可走, 从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法? 思路剖析
从甲地到丙地,需要先经过乙地,那么从甲地到丙地要分两步：从甲 地到乙地,从乙地到丙地。从甲地到乙地有3种走法,从乙地到丙地有2 种走法。于是可根据乘法原理得出从甲地到乙地不同的走法数量,如图1
可以验证上面得出的结果,从甲地到丙地的不同走法分别有：1—4、 l一5、2—4、2—5、3—4、3—5,其中1—4中的数字1表示从甲地到乙地走 第l条线路,第二个数字4表示从乙地到丙地走第4条线路,一共有6种 不同走法。 解答
由乘法原理得,从甲地到丙地共有走法为3×2=6(种) 答：从甲地到丙地有6种不同走法。
[例2】 从甲地到丙地有两种不同的方案,一种是从甲地经过乙地到 丙地,另一种是从甲地直接到丙地。已知从甲地到乙地有3种走法,从乙 地到丙地有2种走法,问从甲地到丙地一共有多少种不同的走法? 思路剖析
从甲地到丙地有2种不同走法,第一种从甲地经过乙地到丙地,根据 乘法原理有3×2：6种不同走法,该题属于分类性质,因此使用加法原 理,从而得到从甲地到丙地的走法数。 解答
根据乘法原理,知道从甲地经过乙地到丙地共有3×2=6种不同走 法。
根据加法原理,从甲地到丙地共有6+2=8种走法。 答：从甲地到丙地共有8种走法。
注：如图2可以验证,从甲地到丙地的可以走的方法。
从甲地到丙地的不同走法有：l一4、l一5、2—4、2—5、3—4、3—5、6、7 共8种。
[例3] 用5种不同的颜色给图3着色,要求相 邻的两个长方形用的颜色不相同,有多少种不同的 着色方法?
要将图3中各长方形着色,可以想像是按一定 顺序进行着色,可以认为依次对A、B、C、D、E进行着色,这个问题要分步 完成,用乘法原理。对A着色有5种颜色可供选择,即完成第一步有5种 不同着色方法；第二步对B着色,由于B与A接触,所以B只能在剩下的 4种颜色中选一种,即完成第二步有4种方法；依次下去,完成第三步对c 进行着色有3种选择(c与A、B均相邻)；第四步对D着色有3种选法(D 与A、C均相邻)；最后对E着色,由于E与B、c均相邻,因此E只能在除 去B、C用的颜色之后所剩的3种颜色里任取一种。于是根据乘法原理 可求出着色的方法数。 解答
根据乘法原理,对图3中5个长方形进行着色的不同方法数为5×4 ×3×3×3=540(种)。
答：共有540种着色方法。
[例4】 用l、2、3、4、5这5个数字可以组成多少个三位数?多少个没有重复数字的三位数? 思路剖析
用0～9这10个数字去组数是排列组合中的一个大类,很多问题都可 以归结到这类问题中来,此时,一定要注意数字是否可以重复。而要组成 一个三位数,就可以先选出百位数,再选十位数,最后确定个位数。 解答
可以组成的三位数中允许重复数字的出现,因此,百位数、十位数、个 位数均有5个数可供选择,所以三位数个数为
5×5×5=125(个)
如果要求数字不能重复,选百位数有5种选法,此时只剩下4个数, 所以十位数有4种选法,个位数只能在剩下的3个数中选一个,因此,无 重复数字的三位数有
5×4×3=60(个)
答：可以组成125个三位数,60个无重复数字的三位数。
[例5] 将l、2、3、4、5这五个数字从小到大排成一行,在这五个数中 间任意插入加号,可以得到多少个不同的加法算式?(要求至少一个加 号)
分析与解答
这5个数字从小到大排成一行后,成为12345,可以插入的加号数至 少1个,至多4个(1+2+3+4+5),那么就可以根据加号的个数进行分 类。分别算出加号为1、2、3、4个时不同的加法算式的种数,再根据加法原 理求出结果。当有1个加号时,有4种不同的算式：1+2345,12+345,123 +45,1234+5。有两个加号时,算式有：1+2+345,l+23+45,1+234+5, 12+3+45．12+34+5,123+4+5共6个算式。有3个加号时,有算式：l +2+3+45．1+23+4+5,1+2+34+5,12+3+4+5,共4个。有4个力口 号时,算式只有(1+2+3+4+5),1个。
因此不同的加法算式个数有4+6+4+1=15(个)。
【例6] A、B、c、D、E 5人排一排,如果C必须站在中间,那么共有 多少种排法?如果c不在中间,又有多少种排法?
思路剖析
要求C必须站在中间,那么就只剩下4个位置留给A、B、D、E 4人。
用方格图来表示位置
,此时从第1个位置开始,有4个人可
以站l号位置,设A站；接着看2号位置,还有B、D、E 3人可以站,设B 站2号；再看3号位,还有D、E2人可以站,设D站3号位,最后4号位只 有一个人了,就E站,于是得c站中间的排法数4×3×2×l：24(种)。 如果C不站中间,那么可以先在其他4个位置给c选一个让他站, 有4种站法,然后再考虑A、B、D、E 4人,依然是分步,按A、B、D、E的顺 序安排4人站法,分别有4、3、2、1种选择,所以有4×4×3×2×1=96 (种)。
解答
C必须站中间时,不同的站法有： 4 × 3×2×l=24(种)
c不站中间时,不同的站法有： 4×4 × 3×2×1=96(种) 【例7] A、曰、c、D、E5个人排成一排,A、B两人必须相邻,共有多 少种排法? 分析与解答
要求A、曰两人必须相邻,那么可以将A、B两人捆在一起,当做一个 人,得到的结果再乘以2(A、B互换位置)就可以了,将A、B视为一人后, 就相当于4个人的任意排列,对位置来说,第4个人的任意排列就是4个 位置由这4个人随便站,那么第一个位置有4个人,这个人选定后,安排 第二个位置时只剩下3个人,安排第三个位置时只有2人可选,最后的一 个位置只能由最后的那个人来站了,因此共有站法： (4×3×2×1)×2=24×2=48(种)
【例8】 A、B、c、D、E、F6个人排成一排照像,如果A、日不相邻,共 有多少种不同的排法? 解答
☆解法一
一种想法是根据A与B之间有几个人进行分类,分别求出有l、2、3、4 个人的排法,然后根据加法原理,得出结果。这种做法请自行思考解决。 下面介绍另一种解法：A、B不相邻,那就先不管A、B,先让其余4个人站 好,然后再将A、曰二人插入队中即可,其余4个人的全排列,共有24种。 假设C、D、E、F4个人排好如图4所示,每条斜线代表一个人,A、日要往 队中插入,要求他们二人不相邻,那么就从“空”中找出两个位置给他们二 人站即可。先看此时的“空”的总数目：／／／／。第一、二两人之间；第二、三两人之间；第三、四两人之间的空位,还有第一个人的外边和第四个人的外边,共5个“空”。
A从这5个“空”中选一个,有5种选择。再让B选,由于A、B不相
邻,B只能从其余四个空位选一个,共有5×4=20(种)。因此A与B不相 邻的排列共有24×20=480(种)。 A、B不相邻的排列有：
(5×4)×(4×3 x 2×1)=20×24=480(种) 答：共有480种不同排法。 ☆解法二
先不考虑条件约束,让6个人随便站在一排,这就是6个人的全排 列,共有6×5×4×3×2×1=720(种),这其中有A、B相邻的情况,不符合 要求,于是可以从720中减去A、B相邻的排法种数。相邻的问题就可用 上题中的捆绑法解决。A与B相邻的排法共有(5×4×3×2×1)×2=120 ×2=240(种),因此A与B不相邻的排法数有720—240=480(种)。 A与B不相邻的不同排法共有：
6×5×4×3×2×l-(5×4×3×2×1)×2=720-240=480(种) 答：共有480种不同排法。
[例9] 平面上共有6个点,其中任意3个点均不在同一条直线上, 问：①共可画多少条直线?②共可画多少个三角形? 思路剖析
由于2个点可以确定一条直线,3个点可以确定一个三角形(这3个 点不在同一条直线上)。但是过点A、点B的直线和过点B、点A的直线 是同一条,因此对点的选择是无序的,所以本题是组合问题。先看可以画 的直线条数。只要知道从6个点选2个点的不同选法数就可以了(过这2 个点可以画一条直线),而从6个点中选2个点可以分成两步,一步选一 个。但是这中间有重复的,如先选A后选曰与先选B后选A所得到的直 线是同一条,而且刚好多出了一倍,所以可以画的直线条数为6×5÷2= 15(条)。
要画三角形时,3个点依然无序,从6个点中取3个点可以分三次,一 次取一个,共有6×5×4种,但是这其中也有重复的三角形,例如选出3点 A、B、C后,所确定的三角形只有一个,但是选出来的方法共有(A、B、c)、 (A、C、B)、(B、A、C)、(B、C、A)、(C、A、B)、(C、B、A)6种,因此所画出三 角形的个数实际上是依次选三个点选法数的1/6,因此共有6×5×4÷6=
20(个)。
解答
①可以画直线：6×5÷2=15(条) ②可以画三角形：6×5×4÷6=20(个)
[例10】 在产品检验时,经常是从产品中抽出一部分进行检验。现 有100件,其中2件次品,如果从这100件产品中任意抽出3件检验,其中 至少有l件次品的抽法一共有多少种? 分析与解答
至少有l件次品可分为两类：有1件次品,有2件次品,于是分别求出 两类的种数再根据加法原理得到结果。
当3件产品中只有一件次品时,那么另两件就是从98件合格产品中
9．运动会上,有3名同学只会打乒乓球,有4名同学只会游泳,还有2 名同学既会打乒乓球,又会游泳,现要从这9人中选派4名同学去打乒乓 球,4名同学去游泳,一个人不能两项都参加,问有多少种选派方法?
当3件产品中有两件次品时,只要再从合格品中选1件即可,有98 种,此时次品只有1种抽法,所以至少有一件次品的抽法有：
答：至少有一件是次品的抽法有9604种。
选出的。次品有2种选法,合格品有
种选法。
1．用O、1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的三位数? 2．用0～9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的四位偶数? 3．班委改选,由8人竞选班长、学习委员、生活委员、文娱委员和体育 委员五种职务。最后每种职务都有一个人担当,一共有多少种结果? ’ 4．A、B、C、D、E、F6个人排成一排,如果C不在两端,那么共有多少 种排法?
5．6个同学排成一排照像,如果有两个人A、B不在两端,共有多少种 不同排列方法?
6．A、B、C、D、E、F六个人排一排,A、B、C三人是一个挨一个的,请 问共有多少种排法?
7．上层书架中有l0本不同的故事书,下层书架有8本不同的科技 书,现在要从这18本书中拿出2本借给小华,共有多少种不同的借法? 8．6种不同的玩具分给甲、乙、丙3人,如果每人分得2种,有多少种 分法?
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