云阳县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

云阳县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 若全集U={﹣1，0，1，2}，P={x∈Z|x2＜2}，则∁UP=（ ） A．{2} B．{0，2}

C．{﹣1，2} D．{﹣1，0，2}

+cosx，设x1，x2∈（0，π）（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），若x1，x0，x2成等

2． 已知函数f（x）=2x﹣

差数列，f′（x）是f（x）的导函数，则（ ） A．f′（x0）＜0

B．f′（x0）=0

C．f′（x0）＞0 D．f′（x0）的符号无法确定

3． 在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA1=角的正切值为（ ） A．

B．

C．

，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成

D．

4． 下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m的可能取值集合为（ ）

A．

B．

C．

D．

，f（﹣2）+f（log210）=（ ）

D．2

5． 设函数f（x）=A．11

B．8

C．5

6． 若关于x的方程x3﹣x2﹣x+a=0x2，x3， （a∈R）有三个实根x1，且满足x1＜x2＜x3，则a的取值范围为（ ）A．a＞

B．﹣

＜a＜1 C．a＜﹣1

D．a＞﹣1

7． 如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段A1B上的动点，则下列结论正确的有（ ） ①三棱锥M﹣DCC1的体积为定值 ②DC1⊥D1M ③∠AMD1的最大值为90° ④AM+MD1的最小值为2．

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精选高中模拟试卷

A．①② 8．

B．①②③ C．③④ D．②③④

+（a﹣4）0有意义，则a的取值范围是（ ）

C．a≠2 D．a≠4

A．a≥2 B．2≤a＜4或a＞4

9． 已知集合A，B，C中，A⊆B，A⊆C，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A的子集最多有（ ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个

10．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ） A．11．复数

B．y=x2 C．y=﹣x|x| D．y=x﹣2

的虚部为（ ）

A．﹣2 B．﹣2i C．2 D．2i

12．用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ）

A．a、b都能被5整除 B．a、b都不能被5整除 C．a、b不都能被5整除 D．a不能被5整除

二、填空题

13．f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则常数c的值为 ． 14．已知集合14．在复平面内，复数15．直线ax+

与

，若3∈M，5∉M，则实数a的取值范围是 ． 对应的点关于虚轴对称，且

，则

____．

by=1与圆x2+y2=1相交于A，B两点（其中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐

标原点），则点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最小值为 ．

16．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为 ．

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17．若直线：2xay10与直线l2：x2y0垂直，则a . 18．已知函数

，则

__________；

的最小值为__________．

三、解答题

19．双曲线C与椭圆

20．CE=1，CE为边向Rt△BEC外作正△EBA∠EBC=30°，∠BEC=90°，如图，在Rt△ABC中，现在分别以BE，和正△CED．

（Ⅰ）求线段AD的长；

（Ⅱ）比较∠ADC和∠ABC的大小．

+

=1有相同的焦点，直线y=

x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．

（x1，y1）21．（本小题满分12分）已知过抛物线C:y=2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A

2（x2，y2）和B（x1＜x2）两点，且AB=9． 2第 3 页，共 15 页

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（I）求该抛物线C的方程；

（II）如图所示，设O为坐标原点，取C上不同于O的点S，以OS为直径作圆与C相交另外一点R， 求该圆面积的最小值时点S的坐标．

SyOxR

22．△ABC中，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且cosA=（Ⅰ）求cos2C和角B的值； （Ⅱ）若a﹣c=

23．设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R （Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；

﹣1，求△ABC的面积．

222

，5（a+b﹣c）=3ab．

（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围．

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24．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y(如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）写出从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室。那么药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？

1ta)（a为常数），16

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云阳县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】A

2

【解析】解：∵x＜2 ∴﹣

＜x＜

＜x＜

，x∈Z|}={﹣1，0，1}，

2

∴P={x∈Z|x＜2}={x|﹣

又∵全集U={﹣1，0，1，2}， ∴∁UP={2} 故选：A．

2． 【答案】 A

【解析】解：∵函数f（x）=2x﹣∴

'

+cosx，设x1，x2∈（0，π）（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），

，

∴存在x1＜a＜x2，f（a）=0， ∴

，∴

，解得a=

，

假设x1，x2在a的邻域内，即x2﹣x1≈0． ∵∴

，

，

∴f（x）的图象在a的邻域内的斜率不断减少小，斜率的导数为正， ∴x0＞a，

又∵x＞x0，又∵x＞x0时，f（x）递减，

''

∴故选：A．

．

【点评】本题考查导数的性质的应用，是难题，解题时要认真审题，注意二阶导数和三阶导数的性质的合理运用．

3． 【答案】D 【解析】解：双曲线

（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x

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联立方程组，解得A（，），B（，﹣），

设直线x=与x轴交于点D

∵F为双曲线的右焦点，∴F（C，0）

∵△ABF为钝角三角形，且AF=BF，∴∠AFB＞90°，∴∠AFD＞45°，即DF＜DA ∴c﹣

＜

222222

，b＜a，c﹣a＜a∴c＜2a，e＜2，e＜

又∵e＞1

∴离心率的取值范围是1＜e＜故选D

【点评】本题主要考查双曲线的离心率的范围的求法，关键是找到含a，c的齐次式，再解不等式．

4． 【答案】C

【解析】【知识点】样本的数据特征茎叶图 【试题解析】由题知：所以m可以取：0，1，2． 故答案为：C 5． 【答案】B 【解析】解：∵f（x）=∴f（﹣2）=1+log24=1+2=3，

=5，

∴f（﹣2）+f（log210）=3+5=8． 故选：B．

【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

6． 【答案】B

3232

【解析】解：由x﹣x﹣x+a=0得﹣a=x﹣x﹣x， 322

设f（x）=x﹣x﹣x，则函数的导数f′（x）=3x﹣2x﹣1，

，

由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣，此时函数单调递增， 由f′（x）＜0得﹣＜x＜1，此时函数单调递减，

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即函数在x=1时，取得极小值f（1）=1﹣1﹣1=﹣1，

32

在x=﹣时，函数取得极大值f（﹣）=（﹣）﹣（﹣）﹣（﹣）=32

要使方程x﹣x﹣x+a=0（a∈R）有三个实根x1，x2，x3，

，

则﹣1＜﹣a＜即﹣

，

＜a＜1，

故选：B．

【点评】本题主要考查导数的应用，构造函数，求函数的导数，利用导数求出函数的极值是解决本题的关键．

7． 【答案】A

【解析】解：①∵A1B∥平面DCC1D1，∴线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1，又△DCC1的面积为定值，因此三棱锥M﹣DCC1的体积V=

=为定值，故①正确．

②∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，故②正确． ③当0＜A1P＜

时，在△AD1M中，利用余弦定理可得∠APD1为钝角，∴故③不正确；

④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值， 在△D1A1A中，∠D1A1A=135°，利用余弦定理解三角形得AD1=故④不正确． 因此只有①②正确． 故选：A．

=

＜2，

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8． 【答案】B 【解析】解：∵∴

，

+（a﹣4）0有意义，

解得2≤a＜4或a＞4． 故选：B．

9． 【答案】B

【解析】解：因为B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，且A⊆B，A⊆C； ∴A⊆B∩C={0，2}

∴集合A可能为{0，2}，即最多有2个元素， 故最多有4个子集． 故选：B．

10．【答案】D 【解析】解：函数

为非奇非偶函数，不满足条件；

函数y=x2为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，不满足条件； 函数y=﹣x|x|为奇函数，不满足条件；

函数y=x﹣2为偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足条件； 故选：D

【点评】本题考查的知识点是函数的单调性与函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．

11．【答案】C 【解析】解：复数故选；C．

【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．

12．【答案】B

【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证． 命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”． 故选：B．

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===1+2i的虚部为2．

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二、填空题

13．【答案】 6 ．

32222

【解析】解：f（x）=x﹣2cx+cx，f′（x）=3x﹣4cx+c， f′（2）=0⇒c=2或c=6．若c=2，f′（x）=3x2﹣8x+4， 令f′（x）＞0⇒x＜或x＞2，f′（x）＜0⇒＜x＜2，

故函数在（﹣∝，）及（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减， ∴x=2是极小值点．故c=2不合题意，c=6． 故答案为6

【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，会利用待定系数法求函数解析式．

14．【答案】-2

【解析】【知识点】复数乘除和乘方 【试题解析】由题知：所以

故答案为：-2 15．【答案】

．

【解析】解：∵△AOB是直角三角形（O是坐标原点）， ∴圆心到直线ax+即d=

=

by=1的距离d=，

，

22

整理得a+2b=2，

则点P（a，b）与点Q（1，0）之间距离d=∴点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最小值为故答案为：

．

．

=≥，

【点评】本题主要考查直线和圆的位置公式的应用以及两点间的距离公式，考查学生的计算能力．

16．【答案】 3+

．

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【解析】解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式． 前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个， 即

个，

个，

因此第n行第3个数是全体正整数中第3+即为3+故答案为：3+

17．【答案】1 【解析】

．

．

试题分析：两直线垂直满足21-a20，解得a1，故填：1. 考点：直线垂直

【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系，属于基础题型，当直线是一般式直线方程时，

l1:a1xb1yc10，l2:a2xb2yc20，当两直线垂直时，需满足a1a2b1b20，当两直线平行时，

abc需满足a1b2a2b10且b1c2b2c1，或是111，当直线是斜截式直线方程时，两直线垂直

a2b2c2k1k21，两直线平行时，k1k2，b1b2.1

18．【答案】

【解析】【知识点】分段函数，抽象函数与复合函数 【试题解析】当当故

时，时，的最小值为

故答案为：

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：设双曲线方程为由椭圆

+

（a＞0，b＞0）

=1，求得两焦点为（﹣2，0），（2，0），

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∴对于双曲线C：c=2． 又y=∴=

x为双曲线C的一条渐近线，

，

．

解得a=1，b=

∴双曲线C的方程为

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）在Rt△BEC中，CE=1，∠EBC=30°，∴BE=在△ADE中，AE=BE=由余弦定理可得AD=

（Ⅱ）∵∠ADC=∠ADE+60°，∠ABC=∠EBC+60°， ∴问题转化为比较∠ADE与∠EBC的大小． 在△ADE中，由正弦定理可得∴sin∠ADE=∴∠ADE＜30° ∴∠ADC＜∠ABC．

＜=sin30°，

，

，DE=CE=1，∠AED=150°，

=

；

，

【点评】本题考查余弦定理的运用，考查正弦定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用正弦、余弦定理是关键．

21．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查抛物线标准方程、抛物线定义、直线和抛物线位置关系等基础知识，意在考查转化与化归和综合分析问题、解决问题的能力．

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因

为y1y2，y20，化简得y1y225616222256yy322y3264， ，所以12222y2y2y22当且仅当y22562即y2＝16，y2=?4时等号成立. 2y22121y141圆的直径OS=x+y=+y12=(y12+8)2-64,因为y12≥64，所以当y12＝64即y1=±8时，

416． （16，±8）OSmin85，所以所求圆的面积的最小时，点S的坐标为

22．【答案】

【解析】解：（I）由∵cosA=∴sinA=

222

∵5（a+b﹣c）=3

，0＜A＜π，

=， ab，

∴cosC=∵0＜C＜π， ∴sinC=

=，

=，

2

∴cos2C=2cosC﹣1=，

∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣∵0＜B＜π， ∴B=（II）∵

．

=

，

×+×=﹣

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∴a=∵a﹣c=∴a=

=c，

﹣1，

，c=1，

×1×

=．

∴S=acsinB=×

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，两角和与差的正弦公式等知识．考查学生对基础知识的综合运用．

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∴当

∴f（x）的单调递增区间是当∴当

即方程f（x）=α有三解．

；当

，单调递减区间是

的图象有3个不同交点，

，

（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，

10t,0t0.124．【答案】（1）y1t0.1；（2）至少经过0.6小时才能回到教室。

(),x0.116【解析】

试题分析：（1）由题意：当0t0.1时，y与t成正比，观察图象过点0,0，(0.1,1)，所以可以求出解析

11ta110.1a时，y与t的函数关系为y()，观察图象过点(,1)，代入得：1()，1016101610t,0t0.11t0.1所以a0.1，则解析式为y()，所以含药量y与t的函数关系为：y1t0.1；（2）观

16(),x0.116察图象可知，药物含量在0,0.1段时间内逐渐递增，在t0.1时刻达到最大值1毫克，在t0.1时刻后，药

式为y10t，当t物含量开始逐渐减少，当药物含量到0.25毫克时，有(所以至少要经过0.6小时，才能回到教室。 试题解析：（1）依题意，当易求得k＝10，∴ y＝10t，

，可设y与t的函数关系式为y＝kt，

1t0.11)0.25，所以t0.10.5，所以t0.6，164第 14 页，共 15 页

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∴ 含药量y与时间t的函数关系式为

（2）由图像可知y与t的关系是先增后减的，在 然后

时，y从1开始递减。 ∴

时，y从0增加到1； ，解得t＝0.6，

∴至少经过0.6小时，学生才能回到教室

考点：1.分段函数；2.指数函数；3.函数的实际应用。

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