一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y＝4x的焦点坐标是( )．
A．(0,1)
1
B．(1,0) C．(0，) 16
1
D．(，0)
16
2
2．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为( )．
2516
A．2 B．3 C．5 D．7 3．以抛物线y＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )．
A．x＋y＋2x＝0 B．x＋y＋x＝0 C．x＋y－x＝0 D．x＋y－2x＝0 4．以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是( )．
169
A.
－＝1 1648
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x2y2
x2y2
x2y2
B.－＝1 C.－＝1或－＝1 D．以上都不对
9271648927
x2y2x2y2y2x2
1
5．已知椭圆与双曲线－＝1有共同的焦点，且离心率为，则椭圆的标准方程为( )．
325
A.
＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
20252520255525
x2y2
x2y2x2y2x2y2x2y2
6．已知椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为( )．
4125
A．10 B．20 C．241 D．441
x2y2
x2y2
7．双曲线2－2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )．
ab3
A．2 B.3 C.2 D.
2
8．已知椭圆xsin α－ycos α＝1(0≤α<2π)的焦点在y轴上，则α的取值范围是( )．
3π3ππ3A．(π，π) B．(，π) C．(，π) D．(，π)
444224
12
9．抛物线y＝2x上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1·x2＝－，则m等于( )．
2
35
A. B．2 C. D．3 22
2
2
x2y222
10．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x＋y－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点
ab为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )．
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 54453663二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．)
1
x2y2x2y2x2y2x2y2
11．已知点(－2，3)与抛物线y＝2px(p>0)的焦点的距离是5，则p＝________. 12．若椭圆x＋my＝1的离心率为2
2
2
3
，则它的长半轴长为________． 2
x2y2x2y2
13．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的
ab169
两倍，则双曲线的方程为________．
14．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若△F1PF2
为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．
三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(10分)双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦点，直线y＝3x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．
84
16．(10分)双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，－5)、F2(0，5)，点P(3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．
2
x2y2
17．(10分)已知抛物线y＝2x，直线l过点(0，2)与抛物线交于M，N两点，以线段MN的长为直径的圆过坐标原点O，求直线l的方程．
2
x2y22
18．(12分)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1
ab2
的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.(1)求椭圆的方程；(2)求△CDF2的面积．
3
y＝2x＋m所得弦长AB＝35，
轴上的一点，且△ABP的面积为9，
4
19．(12分)已知抛物线y＝4x截直线(1)求m的值；(2)设P是x求P的坐标．
2
圆锥曲线章末质量评估
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y＝4x的焦点坐标是( )．
A．(0,1) 1
C．(0，)
16
B．(1,0)
2
1
D．(，0)
16
112
解析 将抛物线方程变为x＝2×y，知p＝，又焦点在y轴上，且开口向上，所以它的焦点坐标为
881
(0，)．
16答案 C
2．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为( )．
2516
A．2 B．3 C．5 D．7
解析 点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10，10－3＝7.选D. 答案 D
3．以抛物线y＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )．
A．x＋y＋2x＝0 C．x＋y－x＝0
2
2
2
22
x2y2
B．x＋y＋x＝0
2
2
22
D．x＋y－2x＝0
解析 因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以所求圆的圆心为(1,0)，又圆过原点，所以圆的半径
r＝1，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0，故选D.
答案 D
4．以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是( )．
169
A.C.
－＝1 1648
x2y2
x2x2
y2y2
B.－＝1 927
x2y2
－＝1或－＝1 1648927
y2x2
D．以上都不对
解析 当顶点为(±4,0)时，a＝4，c＝8，b＝43，－＝1；
1648当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，b＝33， －＝1.
927答案 C
1
5．已知椭圆与双曲线－＝1有共同的焦点，且离心率为，则椭圆的标准方程为( )．
325
A.
＋＝1
2025
5
x2y2
y2x2
x2y2
x2y2
B.
＋＝1 2520
x2y2
C.
x2
25
＋＝1 5
y2
D.＋＝1 525
2
2
2
2
x2y2
解析 双曲线－＝1中a1＝3，b1＝2，则c1＝a1＋b1＝5，故焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，
32
x2y2
x2y2c12222
故所求椭圆2＋2＝1(a>b>0)的c＝5，又椭圆的离心率e＝＝，则a＝5，a＝25，b＝a－c＝20，
aba5
故椭圆的标准方程为＋＝1.
2520答案 B
6．(2011·山东烟台期末)已知椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为( )．
4125
A．10 B．20 C．241 D．441
解析 |AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|B F2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝441. 答案 D
x2y2
x2y2
x2y2
7．双曲线2－2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )．
ab3
A．2 B.3 C.2 D.
2
x2y2bbbb2c2－a2
解析 双曲线2－2＝1的两条渐近线方程为y＝±x，依题意·(－) ＝－1，故2＝1，所以2＝
abaaaaa1即e＝2，所以双曲线的离心率e＝2.故选C. 答案 C
8．已知椭圆xsin α－ycos α＝1(0≤α<2π)的焦点在y轴上，则α的取值范围是( )．
3
A．(π，π)
4π
C．(，π)
2解析 椭圆方程化为π3B．(，π)
44π3D．(，π)
24
2
2
2
x2
1sin α
＋－
y2
1cos α
＝1.
∵椭圆焦点在y轴上，∴－
11
>>0. cos αsin α
π3π
又∵0≤α<2π，∴<α<. 24答案 D
12
9．抛物线y＝2x上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1·x2＝－，则m等于( )．
2
35
A. B．2 C. D．3 22
6
解析 依题意，得kAB＝
2
2
y2－y1
＝－1， x2－x1
而y2－y1＝2(x2－x1)，得 1x2＋x1y2＋y1
x2＋x1＝－，且(，) 2
2
2
在直线y＝x＋m上，即
y2＋y1x2＋x1
2＝
2
＋m，
y2＋y1＝x2＋x1＋2m，
∴2(x2＋x1)＝x2＋x1＋2m，
32
2[(x2＋x1)－2x2x1]＝x2＋x1＋2m，2m＝3，m＝.
2答案 A
2
2
x2y222
10．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x＋y－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点
ab为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )． A.－＝1 54C.－＝1 36
x2y2x2y2
B.－＝1 45D.－＝1 63
3bx2y2x2y2
解析 圆心的坐标是(3，0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx±ay＝0，c＝3，根据已知得3bxy222
＝2，即＝2，解得b＝2，得a＝c－b＝5，故所求的双曲线方程是－＝1.
354答案 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．) 11．已知点(－2，3)与抛物线y＝2px(p>0)的焦点的距离是5，则p＝________.
解析 ∵抛物线y＝2px(p>0)的焦点坐标是(，0)，由两点间距离公式，得
25.解得p＝4. 答案 4
12．若椭圆x＋my＝1的离心率为解析 当0 2 2 2 2 2 a2＋b2 p（＋2）＋（－3）＝2 p22 3 ，则它的长半轴长为________． 2 y2x2 a2－b23 ＋＝1，e＝2＝1－m＝， 11a4m2 m＝，a2＝＝4，a＝2； 4m11 7 当m>1时，＋＝1，a＝1.应填1或2. 11 x2y2 m答案 1或2 x2y2x2y2 13．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的 ab169 两倍，则双曲线的方程为________． 解析 由题意知，椭圆的焦点坐标是(±7，0)，离心率是727c.故在双曲线中c＝7，e＝＝，故44aa＝2，b＝c－a＝3，因此所求双曲线的方程是－＝1. 4 3 答案 222 x2y2 x2y2 4 －＝1 3 14．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若△F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________． 解析 由题意，知PF2⊥F1F2，且△F1PF2为等腰直角三角形，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2·2c， 从而2a＝|PF1|＋|PF2|＝2c(2＋1)， 2c1所以e＝＝＝2－1. 2a2＋1答案 2－1 三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(10分)双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦点，直线y＝3x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程． 84 x2y2 x2y2 解 设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)． ab由椭圆＋＝1，求得两焦点为(－2，0)，(2，0)， 84∴对于双曲线C：c＝2. 又y＝3x为双曲线C的一条渐近线， ∴＝3，解得a＝1，b＝3， ∴双曲线C的方程为x－＝1. 3 16．(10分)双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，－5)、F2(0，5)，点P(3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程． 2 x2y2 ba22 y2 y2x2 解 由共同的焦点F1(0，－5)、F2(0，5)，可设椭圆方程为2＋2＝1； aa－25y2x2 双曲线方程为2－＝1，点P(3，4)在椭圆上， b25－b2 8 16 a2 ＋92 ＝1，a＝40， a－25 2 双曲线的过点P(3，4)的渐近线为 y＝ b2 x，即4＝×3，b＝16. 22 25－b25－by2 x2 2 b所以椭圆方程为＋＝1；双曲线方程为－＝1. 4015169 17．(10分)已知抛物线y＝2x，直线l过点(0，2)与抛物线交于M，N两点，以线段MN的长为直径的圆过坐标原点O，求直线l的方程． 解 由题意，知直线l的斜率存在， 设为k，则直线l的方程为y＝kx＋2(k≠0)， y＝kx＋2，2 解方程组2消去x得ky－2y＋4＝0， y＝2x， y2x2 1 Δ＝4－16k>0⇒k<(k≠0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 424 则y1＋y2＝，y1·y2＝， kk1x＝y214 ⇒x·x＝(y·y)＝ 14kx＝2y1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 22 OM⊥ON⇒kOM·kON＝－1，∴x1·x2＋y1·y2＝0， 44 ∴2＋＝0，解得k＝－1. kk所以所求直线方程为y＝－x＋2，即x＋y－2＝0. x2y22 18．(12分)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1 ab2 的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2. (1)求椭圆的方程； (2)求△CDF2的面积． 解 (1)易得椭圆方程为＋y＝1. 2 (2)∵F1(－1，0)，∴直线BF1的方程为y＝－2x－2， x2 2 y＝－2x－2，2 2 由x得9x＋16x＋6＝0. 2 ＋y＝1，2 ∵Δ＝16－4×9×6＝40>0， 所以直线与椭圆有两个公共点， 9 2 16 x＋x＝－，9 设为C(x，y)，D(x，y)，则 2 x·x＝3， 1 2 1 1 2 2 1 2 ∴|CD|＝1＋（－2）|x1－x2| ＝5·（x1＋x2）－4x1x2 ＝5·162210 （－）－4×＝2， 939 45 ， 5 2 2 又点F2到直线BF1的距离d＝ 14 故S△CDF2＝|CD|·d＝10. 29 19．(12分)已知抛物线y＝4x截直线y＝2x＋m所得弦长AB＝35， (1)求m的值； (2)设P是x轴上的一点，且△ABP的面积为9，求P的坐标． y＝4x，22 解 (1)由得4x＋4(m－1)x＋m＝0， y＝2x＋m， 2 2 由根与系数的关系，得x1＋x2＝1－m，x1·x2＝， 4|AB|＝1＋k＝1＋2 2 2 m2 （x1＋x2）－4x1x2 2 2 （1－m）－4·＝5（1－2m）. 4 m2由|AB|＝35，即5（1－2m）＝35⇒m＝－4. (2)设P(a，0)，P到直线AB的距离为d， 则d＝ |2a－0－4| 2|a－2|＝， 22 2＋（－1）5 1 又S△ABP＝|AB|·d， 22·S△ABP则d＝， |AB| 2|a－2|2×9 ＝⇒|a－2|＝3⇒a＝5或a＝－1， 535故点P的坐标为(5，0)和(－1，0)． 10 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容