科技信息高校理科研究Ｉ了用换元法求船相限韩山师范学院数学与信息技术系［摘要］本文举例子探讨换元法在求函数极限过程中的妙用。［关键词］极限洛必达法则等价无穷小换元法林群极限是高等数学的基本概念，求解极限的方法灵活多样。其中，洛必达法则和等价无穷小代换因具有广泛的适用范围而倍受重视。而换元的基本思想是指通过变量代换，使原问题化繁为简、化难为易，发生有利的转化，从而达到解题的目的。在求解极限的过程中，如果能根据问题的特点．灵活巧妙地结合换元法解题，就叮以给解题带来方便．达到事半功倍的效果。下面举例谈谈换元法在求极限过程中的妙用。原式＝凹两ｌｎｘ－面ｘ＋１＝慨怒器＝１．ｉ。ｒａ半笋＝凹鼍｝＝蚀赢一｝点评：解法一在通分后直接使用洛必达法则。分母是对两个函数的乘积求导，比较繁琐。而解法二先用换元法把分子和分母变形。再用等价无穷小，将分母替换，两种方法结合使用，相得益彰，大大简化了计算过程。例３．求ｌｉｒａ．［ｓｍｘ－－－ｓｉｎ（。ｓｉｎｘ｝ｌｓｉｎｘ（、２００８年考研数学一试题）解法一（标准答案提供）：原式＝ｌｉｒａ．ｓｉｎｘ－ｓｉｌｎ（ｓｉｎｘ）＿＿ｌｉｒａｅｏｓｘ－ｃｏｓ．｛ｓｉｌｎｘ）ｘｅｏｓｘ一上一１例１．求ｌｉｍ害！‰＿＿．．Ｌ【１ｒ一２ｘＪ‘解法一：这是导型未定式，应用洛必达法则．得原式＝，ｌｉｒａ旱夏ｓｉｌｎ乏ｘ顽酉一，［ｔｉｍ｝酉ｅ两ｏｔｘ上Ⅻｘ一墨等一｝解法二：设ｘ一旱－－ｔ，当一｝时卜＋ｏ。则原式＝酱可Ｉｎｃｏ广６ｔ＝凹－Ｉｎ（１＋４ｅｔｏ：ｓｔ－１）－：ｌｉｍ＿．ｅｘ８ｘ（１－，－ｅｏ：ｓ（ｓｉｎｘ））：ｌｉｍ—ｓｉｎ（ｓｉｎ。ｘ）ｘｅｏ—ｓｘ：ｌｉｍ粤：｝解法二：设ｓｉｎｘ－－ｔ，当ｒ＋ｏ时卜＋ｏ，则原式＝ｌｉｒａ．ｓｉｎｘ－．ｓｉｎ，（ｓｉｎｘ）＿－ｌｉｍＨｓｍ＇ｘⅢｒ＝恸等＝姆二等一｝＝ｌｉｍ掣＝ｌｉｍ粤＝｝ＨＴＩ－ｓｉｎｔ…Ｏｔ点评：解法一直接应用洛必达法则，分子是对复合函数求导，不仅繁琐．而且很容易出错。而解法二先用换元法把分子和分母“改头换面”，转化成我们熟悉的初等甬数，再用洛必达法则计算，从而使问题化难为易，化繁为简，达到事半功倍的效果。由上可见．换元法在高等数学的教学中有着广泛的应用，解题时必须根据问题的特点，灵活应用，这样能给解题带来方便。因此，在数学学习时．特别是解数学问题时，要有意识地训练运用换元法的技能，有效提高解题的应变能力与思维能力，从而增强学生学习数学的兴趣。参考文献［１］华中理工大学教学系．高等数学（上册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社．［２］同济大学数学系．高等数学（上册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社．２００７．６第６版．［３］吉艳霞．用等价无穷小量代换求极限的探讨［Ｊ］．运城教育学院学报，２００７，（２）：１６．载：图４为有控和无控情况下的粱端位移时程曲线。其中虚线表示无控时，实线表示有空时。当无控时．帆板端的最大位移为１０．２ｍｍ，当采取主动控制时．帆板端的最大位移减小到了０．４３ｒａ，减小了９５．８％，主动控制有效地抑制ｒ帆板的振动。６．结论在航天器的机动过程中，利用本文设计的ＳＭＡ驱动器，可以实现帆板的最优主动＝降制，有效地减小帆板的振动．从Ｉ『ｉｉ保持机动过程平稳，并迅速实现高精度姿态定位，改善系统的性能。参考文献［１Ｊ杨庆生．智能复合材料的热力学特性［Ｊ］．固体力学学报，１９９６，１７（４）：３３９－３４２点评：解法一直接应用洛必达法则，分母是对复合甬数求导，比较麻烦。而解法二先用换元法把分母形式简化，分子则用等价无穷小ｈｎ（１＋ｘ）－ｘ，（ｒ＿删转换。两种方法结合使用，使计算大大简化。例２．求ｌｉｍ（ｊ＿一士）ｔ…１解法一：这是＊一。型未定式，通过“通分”将其化为罟型未定式，得腓酱器：曾兰＝ｌ，ｉｒａ。衄ｌ－＋ｘ丁＝蜘击一－争解法二：设ｘ—ｌ＝ｔ，当ｘ—ｌ时卜＋ｏ，则（上接图４受迫载荷下有空和无控时的位移时程曲线为说明前述的控制方法的有效性，编制了ＭＡＴＬＡＢ程序对一帆板受迫振动时的主动振动控制进行了计算机模拟。帆板的尺寸为长３５０ｒａｍ，宽２５ｒａｍ．高ｌｍｍ。本文选用的ＳＭＡ的直径为０．２ｍｍ．初始马氏体百分含馈为３０％，初始应变为２％，环境温度２０℃。在本例中。每个ＳＭＡ驱动器由４根ＳＭＡ丝组成．每个ＳＭＡ丝的编号如图３所示。在本文中，帆板固定端输入的载荷为频率为３．１８Ｈｚ的余弦受迫荷［２］王军．鄙正能，叶宁．形状记忆合金智能结构的主动振动抑制研究［Ｉ］．航空学报，２００２，２３（５）：４２７－４３０［３］刘建涛应用形状记忆合金（ＳＭＡ）的主动结构控制研究［Ｄ］．天津，天津大学硕士学位论文［４］ＬｉａｎｇＣ。ＲｏｇｅｒｓＣＡ．ＤｅｓｉｇｎｏｆｓｈａｐｅｍｅｍｏｒｙａｌｌｏｙｓｐｒｉｎｇｓｗｉｔｈｏｆＶｉｂｒａｄｏｎ，Ａｃｏｕｓｔｉｃｓ，Ｓｔｒｅｓｓ·ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｉｎｖｉｂｒａｔｉｏｎｃｏｎｔｒｏｌｌＪ］．ＪｏｕｒｎａｌａｎｄＫｅｈａｂｉｌｉｔｙｉｎＤｅｓｉｇｎ。１９９３，１１５（１）：１２９—１３５‘［５］王勘成，邵敏有限单元法基本原理和数值方法（第二版）［Ｍ］．北京：清华人学出版社，１９９７［６］ＹａｎｇＪＮ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｔｒｏｌｔｈｅｏｒｙｃｉｖｉｌｅｎｇｍｅｍｎｇｇ呻ｃｔｕｒ∞【ＩＪ．ＡＳＣＥ．１９９５，１０１（ＥＭ６）：８１９—８３８一８０一万方数据巧用换元法求解极限
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
林群
韩山师范学院数学与信息技术系科技信息
SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION2009，\"\"(6)0次
1.华中理工大学教学系 高等数学2.同济大学教学系 高等数学 2007
3.吉艳霞 用等价无穷小量代换求极限的探讨[期刊论文]-运城教育学院学报 2007(02)
1.期刊论文 林清华 探讨洛必达法则求解极限 -湖北广播电视大学学报2008,28(12)
极限作为重要的思想方法和研究工具贯穿于高等数学课程的始终.本文通过对洛必达法则求极限的深入探讨,针对不同题型归纳总结出具体的化简转化的方法;利用数列极限和函数极限的关系间接地应用洛必达法则求数列未定式,充分体现了洛必达法则应用的广泛性,给求极限提供了强有力的工具.
2.期刊论文 王悦 关于利用洛必达法则求极限的几点探讨 -科技信息2009,\"\"(2)
<高等数学>是大学中的基础课程,极限是学生一开始就要接触的最基本的知识.其中有一类未定式的极限不能用\"商的极限等于极限的商\"这一法则,而要用洛必达法则.洛必达法则内容很简单,使用起来也方便,但在具体使用过程中,一旦疏忽,解题就可能出错.对于初学者来讲,若盲目使用此法则,会导致错误.本文就利用该法则解题中的几点注意作以分析与探讨,并举例说明.
3.期刊论文 杨黎霞 使用洛必达法则求极限的几点注意 -科教文汇2008,\"\"(25)
如果当x→a或x→∞时,两个函数∫(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大,那么极限lim x→a x→∞∫(x)/F(x)可能存在,也可能不存在,洛必达法则是计算此类未定式极限行之有效的方法,然而,对于本科一年级的初学者来讲,若盲目使用此法则,会导致错误.本文就使用该法则解题过程中的几点注意作了分析与探讨.
4.期刊论文 吴维峰.Wu Weifeng 对等价无穷小代换与洛必达法则求极限的探讨 -潍坊教育学院学报2008,21(2)
本文对用等价无穷小代换与洛必达法则求函数的极限进行了探讨.
5.期刊论文 于祥 洛必达法则应用误区的分析 -北京电力高等专科学校学报2010,28(2)
洛必达法则是在柯西中值定理的基础之上推出的一种求不定式极限的重要定理,它的应用避免了因机械使用极限四则运算法则\"商的极限等于极限的商\"而产生的错误.但不可忽视的是由于对洛必达法则的使用不当,在计算不定式极限时同样得不到正确结果,究其因为主要是对洛必达法则的使用条件把握不够准确.本文结合具体例子对洛必达法则应用中易产生的误区进行了探讨和分析.
6.期刊论文 夏滨 利用洛必达法则求极限的方法与技巧探讨 -现代企业教育2008,\"\"(4)
本文主要通过一些典型例题介绍利用洛必达法则求极限的方法与技巧,从而更好地解决未定式问题.
7.期刊论文 汤茂林.TANG Mao-lin 用洛必达法则求不定式极限的技巧 -职大学报2007,\"\"(2)
本文介绍用洛必达法则求不定式极限的技巧.
8.期刊论文 张波.李秀菊.赵广华 关于\"洛必达法则\"求未定式极限的几点思考 -网络财富2009,\"\"(11)
本文通过洛必达法则的内客,给出了应用此法财的几类需要注意的情况.
9.期刊论文 冯志敏.薛瑞 使用洛必达法则的实质及其注意事项 -中国科技信息2009,\"\"(15)
本文主要总结了洛必达法则在求未定式极限中的应用,需要注意的问题,并深入分析了在使用洛必过法则的时候实质是对无穷小或无穷大进行降阶,从而经过有限次的使用法则将未定式转化成一般的极限问题,再利用极限的四则运算法则求出极限.另外指出在使用的时需要注意条件的满足,与其它求极限的方法如无穷小的替换的结合.
10.期刊论文 刘蒲凰 洛必达法则应用两则 -高等数学研究2004,7(2)
指出洛必达法则在证明二重极限不存在时的一个应用,并指出了洛必达法则的一个推广
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