高数教学案例

高等数学案例教学教案

（刘凤林）

【案例一】 房贷还款问题

模型背景：

我校王教授今年准备贷款买一套房子，需要贷款50万元，预计20年还清.现行贷款年率为7.04%，如果按9折优惠，计算王教授按以下哪种还款方式更好？一是等额本息还款法；二是等额本金还款法.

模型假设：（1）贷款50万元；

（2）20年还清；

（3）贷款年率为7.04%，按9折优惠，实际月利率0.528%.

符号说明：A0：贷款额；

r：月利率（每期利率）；

x：等额本息还款法中，每月的还款额；

xk：等额本金还款法中，第k个月的还款额；

Ak：第k期结束时的欠款；

n：借款期限（单位：月）.

模型建立：（1）等额本息还款：

第一期后欠款：A1A0A0rxA0(1r)x；

第二期后欠款：A2A1A1rxA1(1r)x；

第三期后欠款：A3A2A2rxA2(1r)x；

k1，2，，n 依此类推，第k期后欠款：AkAk1(1r)x（）.

（2）等额本金还款：

第一期还款：

x1A0A11(A00)rA0[(1)r]nnnn；

第二期还款：

x2A02A12(A00)rA0[(1)r]nnnn；

第二期还款：

x3A03A13(A00)rA0[(1)r]nnnn；

1kxkA0[(1)r]k1，2，，nnn（ 依此类推，第k期还款：）.

模型求解：（1）等额本息还款：

AkAk1(1r)x[Ak2(1r)x](1r)xAk2(1r)2x[1(1r)]

[Ak3(1r)x](1r)2x[1(1r)]Ak3(1r)3x[1(1r)(1r)2]



A0(1r)kx[1(1r)(1r)3(1r)k1]

x[(1r)k1]A0(1r)r.

knnAr(1r)0x[(1r)1]nxA(1r)0n0A0(1r)1，将nnr要想个月还清贷款，则有，此时，解得

A0500000、r0.00528、n240代入上式，得x3679.75（元），

即每月还款3679.75（元），20年共还款883140（元）.

（2）等额本金还款：这种还款额度的计算需要借助于计算机，通过计算机计算，得到

x14712.33（元）、x24701.33（元）、、x2392094.33（元）、x2402083.33（元），20年共还

款815480（元）.

模型分析：比等额本息还款少还款67660（元），但是前期还款压力较大.

【案例二】 分针与时针重合问题

模型假设：(1) 钟面分为 60 格；(2) 分针1min转过1格，1h转过60格，时针1h转过5格.

符号说明：（1）xn：分针位置（追赶序列）；

（2）yn：时针的位置（逃逸序列）；

（3）x：分针与时针重合的位置.

模型建立：

我们不难发现，分针速度是时针速度的12倍，并且在1h内分针与时针最多重合一次.因此从整点k（

k1，2，，11）开始，分针位于时针之前5k格.此时

x00、y05k；

5k5kx15k、y15k12；当分针行走5k格（即追到最先时针位置）时，时针走（逃）了12格，这时

5k5k15k2当分针又走（追）了12格（即此前时针走过的格数）时，时针又走（逃）了121212格，

这时

5k5k5k、y25k1212122；

x25k5k5k15k223当分针再走（追）了12格（即上次时针针走过的格数）时，时针又走（逃）了121212

格，此时

5k5k5k5k5k2、y35k231212121212；

x35k依此类推，

5k5k5k112n15k(1n1)1212121212，

xn5kyn5k5k5k5k5k1112n1n5k(1n1n)12121212121212.

模型求解：

5k5klim(yx)lim0nnn12n12n，显然n，于是k点之后分针与时针

分针与时针位置差为重合的位置为

ynxnxlimxnn（或n5k(1limyn)limn11n1)1212

1n60k12lim5kn1111k1，2，，1112 （）.

1当k1时，

x605.454511，即1点后重合时间大约为1点5分27.27秒；

当k2时，

x12010.909111，即2点后重合时间大约为2点10分54.55秒；

以后再重合的时间分别为3点16分21.82秒、4点21分49.09秒、5点27分16.36秒、6点32分43.64秒、7点38分10.91秒、8点43分38.18秒、9点49分5.45秒、10点54分32.73秒、11点60分0.00秒（即12点整）.

模型分析：由于时针、分针都是匀速运动，且12小时内它们要重合11次，每次重合间

60的时间都应该是相等的，而115分27.27秒，所以它们每隔大约1小时5分27.27秒重合一

次，上面的解也验证了这一事实.

【案例二】 饮料罐形状设计

模型背景：

听装百事可乐罐大体为圆柱体形状，全高为11.7cm、主体部分的高为9.5cm、底与顶盖部分的高为1.2cm、主体部分的直径为6.6cm、底与顶盖部分的直径为5.9cm.容积为352ml但是为安全起见实际只装330ml.另外顶盖部分的材质好于侧面.

模型假设：圆柱形有盖饮料罐

符号说明：r：饮料罐底的半径（单位：cm）；

h：饮料罐底的高（单位：cm）；

k：饮料罐侧面与底材料单位造价（单位：元）；

ak：饮料罐顶盖材料单位造价（单位：元，其中a1）；

W：饮料罐总造价.

模型建立：

饮料的密度与水的密度大体是相等的，所以饮料罐的体积为

h352r2.

352cm32,于是rh352，即

饮料罐侧面造价为：

k2rh704kr（元）；

饮料罐底的造价为：kr； 饮料罐顶盖的造价为：akr（元）；

22饮料罐总造价为：

W704k704akr2kr2k[(a1)r2]rr（r0）.

模型求解：

3523dW704r[]k[22(a1)r]00(a1)，r根据一元函数最值求法，由dr，得唯一驻点

d2Wdr2rr011408k[32(a1)]rr00r，所以r0是W的唯一极小值点，也是最小值点，于是当

13523r0[](a1)（此时h(1a)r0）时，饮料罐的造价最低.

模型结果分析：根据材料的使用与技术要求，顶盖单位造价大约是侧面与底面单位造价的

3倍，这时a3，求得

r0(88)3.0413，h12.15，这与实际情况比较吻合.

其实，你要细心一点就会发现，百事可乐罐不是标准的圆柱体形状，为了美观它的上部是一个高为1cm，上、下底半径分别为2.95cm、3.3cm的圆台，下半部分是一个高9.5cm，半径为3.3cm的圆柱体，这样和起来容积大约是355cm.

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