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数与式的运算与求值

本专题主要考查实数的运算、整式与分式的化简与求值，纵观5年中考往往以计算题、化简求值题的形式出现，属基础题．复习时要熟练掌握实数的各种运算，并注意混合运算中的符号与运算顺序；在整式化简时要灵活运用乘法公式及运算律；在分式的化简时要灵活运用因式分解知识，分式的化简求值，还应注意整体思想和各种解题技巧．

－1

－12＋(π－

1 实数的运算【例1】计算：|－3|＋2sin45°＋tan60°－－3

3).

【解析】先理清和熟悉每一项的运算方法，把握运算的符号技巧．

针对训练

0

11．(π－5)＋4＋(－1)－3tan60°. 2．|2－3|＋2sin60°＋2

0

2015

－1

0

－(2015).

－232－11334

＋|－2|＋－27.4．计算：(－3－1)×(－)－2÷(－).

22

13．计算(－5sin20°)－－3

0

整式的运算与求法

【例2】先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－(4xy－8xy)÷2xy，其中x＝－1，y＝

【解析】认真观察式子特点，灵活运用乘法公式化简，再考虑代入求值． 【学生解答】

5．化简：(a＋b)＋(a－b)(a＋b)－2ab.

2

3

3

3. 3

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6．已知x－4x－1＝0，求代数式(2x－3)－(x＋y)(x－y)－y的值．

7．已知多项式A＝(x＋2)＋(1－x)(2＋x)－3. (1)化简多项式A；

(2)若(x＋1)＝6，求A的值．

分式的化简求值

2（x－1）x＋62

【例3】(2015菏泽中考)已知x－4x＋1＝0，求－的值．

x－4x【解析】先化简所求式子，再看其结果与已知条件之间的联系，能否整体代入． 【学生解答】

2

2

2

222

x－3·x－4，其中x＝4.

针对训练8．先化简，再求值：x－2x－2x－3

3a－a÷a，再从0，1，2三个数中选择适当的数作为a的值代

9．先化简代数式2

a－2a＋2a－4

入求值．

10．先化简，再求值：

x＋2－x－1÷x－4，其中x是不等式3x＋7>1的负整数解．

x－2xx2－4x＋4

解方程(组)、不等式(组)及其应用题

本专题主要考查方程(组)、不等式(组)的解法以及方程(组)和不等式的应用，贵阳中考中往

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往以解答题的形式出现，属中档题．复习时要熟练掌握方程(组)与不等式(组)的解法以及它们的应用，并会检验解答结果的正确与否．

方程(组)的解法

【例1】解方程组：

2（x－y）（x＋y）1－＝－，3412 3（x＋y）－2（2x－y）＝3.

【解析】先化简方程组，再灵活选择代入法或加减法．

152

1．x＋2·x＋1＝8＋x. 2．解方程：x＋2x－3＝0. 24

x－3y＝1，①3x＋2y＝19，①3．解方程组： 4．方程组：

x＋2y＝6.②2x－y＝1.②

113x1

5．解方程：＝－. 6．解方程：＋2＝1.

2x－124x－2x－1x－1

解不等式(组)

【例2】(2015深圳中考)解不等式组： 9x＋5<8x＋7，①

并写出其整数解． 42

x＋2>1－x.②33

【解析】先求不等式组的解集，在解集中找整数解．

x＋1x－1

7．解不等式：＋≤1.

23

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2x＋1≥－1①，

8．解不等式组：1＋2x并把不等式组的解集在数轴上表示出来．

＞x－1②，3

5x＋2y＝11a＋18，

9.已知关于x，y的方程组的解满足x>0，y>0，求实数a的取值范围．

2x－3y＝12a－8

方程(组)、不等式(组)的应用

【例3】随着铁路客运量的不断增长，重庆火车站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程．其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需的时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月；

(2)若甲队每月的施工费100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？(甲、乙两队的施工时间按月取整数)

【解析】(1)利用两队单独完成此项工程所需的时间关系列出一元二次方程求解即可．(2)利用“甲队工程款＋乙队工程款≤1500”列出不等式求解．

【学生解答】

10．(2015菏泽中考)食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A，B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克．已知270克该添加剂恰好生产了A，B两种饮料共100瓶，问A，B两种饮料各生产了多少瓶？

11．在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一

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1

批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？

2

12.某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．

(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？

(2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%(不考虑其他因素)，那么每件衬衫的标价至少是多少元？

13．为建设“秀美幸福之市”，石家庄市绿化提质改造工程正如火如荼地进行．某施工队计划购买甲乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．

(1)若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？ (2)若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？

14．实验中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同)，若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．

(1)求购买一个足球、一个篮球各需多少元？

(2)根据实验中学实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？

一次函数和反比例函数结合

纵观近中考试题，一次函数与反比例函数的综合是中考命题的重点内容．侧重考查用待定系数确定反比例函数和一次函数解析式及解决相关问题．

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利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式

【例1】如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴，y轴分别交于A(1，0)，B(0，－1)m

两点，且与反比例函数y＝(m≠0)的图象在第一象限交于C点，C点的横坐标为2.

x

(1)求一次函数的解析式；

(2)求C点坐标及反比例函数的解析式．

【解析】(1)将点A(1，0)，B(0，－1)代入y＝kx＋b即可．(2)将C点的横坐标代入公式ym

＝kx＋b即可求出纵坐标，再代入y＝中即可．

x

【学生解答】

1．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函

4

数y＝x的图象

3

m

经过点A，点A的纵坐标为4，反比例函数y＝的图象也经过点A，第一象限内的点B在这个反

x比例函数的图象上，过点B作BC∥x轴，交y轴于点C，且AC＝AB.

求：(1)这个反比例函数的解析式； (2)直线AB的表达式．

与面积有关的问题

n

【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx与双曲线y＝相交于A(－1，a)、B两点，

xBC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1.(1)求m、n的值；

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(2)求直线AC的解析式．【解析】(1)因为A(－1，a)，所以B的横坐标为1，即C(1，0)．再n

由S△AOC＝1，得A(－1，2)，再代入y＝mx与y＝即可．(2)将A、C坐标代入即可．

x

【学生解答】

2．(2014广东中考)数y＝kx＋b与反比例函BD⊥y轴于D.

(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ (2)求一次函数的解析式及m的值；

(3)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．

1如图，已知A－4，，B(－1，2)这两点是一次函

2m

数y＝(m≠0，m<0)图象的两个交点，AC⊥x轴于C，

x

与最小(大)值有关的问题

k

【例3】一次函数y＝mx＋5的图象与反比例函数y＝(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)

x和B(4，1)两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M.

(1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求△OAM的面积S；

(3)在y轴上求一点P，使PA＋PB最小．

【解析】(3)作点A关于y轴的对称点N，连接BN交y轴于点P，则点P即为所求．

【学生解答】

3．(2015宿迁中考)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(8，1)、B(0，－3)，反比例函数

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k

y＝(x>0)的图象经过点A，动直线x＝t(0(1)求k的值；

(2)求△BMN面积的最大值； (3)若MA⊥AB，求t的值．

与平移有关的问题

1k1

【例4】如图，直线y＝x与双曲线y＝(k>0，x>0)交于点A，将直线y＝x向上平移4个

2x2k

单位长度后与y轴交于点C，与双曲线y＝(k>0，x>0)交于点B，若OA＝3BC，求k的值．

x

313x，xx，x＋4【解析】分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，设A，可得B. 22【学生解答】

4k4

4．如图，已知函数y＝x与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点A，将y＝x的图象向下平

3x3k

移6个单位后与双曲线y＝交于点B，与x轴交于点C.

x

(1)求点C的坐标；

OA

(2)若＝2，求反比例函数的解析式．

CB

三角形、四边形中的相关证明及计算

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纵观近5年中考题，三角形常与旋转、折叠、平移等知识点结合起来考查；四边形中要特别关注平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定，以及运用其性质解决有关计算的问题．

三角形的有关计算及证明

【例1】(2014重庆B卷中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG.

求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.

【解析】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到；(2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF＝BG，则只要证明BG＝2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG＝2DE，再证明DG＝BG即可．

【学生解答】

1．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O.(1)求证：△AOE≌△COD；

(2)若∠OCD＝30°，AB＝3，求△AOC的面积．

2．图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上．若DE＝DF，AD＝2，BC＝6，求四边形AEDF的周长．

3．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，∠ABE＝∠CBE.

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(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由； (2)求证：BG－GE＝EA.

2

2

2

4．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.

(1)求证：BE＝CF；

(2)在AB上取一点M，使BM＝2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME. 求证：①ME⊥BC；②DE＝DN.

四边形的有关计算及证明

【例2】(2014邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．

(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；

(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．

【解析】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30°，利用锐角三角函数可求出AE、BE，进而求出AD、DE，即可求出菱形BFDE的面积．

【学生解答】

5．(2015鄂州中考)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE.

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(1)求证：BE＝CE. (2)求∠BEC的度数．

6．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F.

(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；

(2)若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．

7．如图(1)，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F，(1)证明：PC＝PE；(2)求∠CPE的度数；(3)如图(2)，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

圆的有关计算、证明与探究

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圆的有关计算与证明是中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系．

与圆的有关性质

【例1】(2015黔西南中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠13

＝∠C.求证：CB∥PD；(2)若BC＝3，sin∠P＝，求⊙O的直径．

5

【解析】(1)通过圆周角转换找出一组内错角相等；(2)通过连接直径所对圆周角构造直角三角形，利用三角函数解决直径问题．

【学生解答】

1．(2015黄石中考)如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C︵

是AB的中点．

(1)求证：AB平分∠OAC；

(2)延长OA至P使得OA＝AP，连接PC，若⊙O的半径R＝1，求PC的长．

圆的切线的性质与判定

【例2】(2015雅安中考)如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E.

(1)求证：CD为⊙O的切线；

(2)若BD的弦心距OF＝1，∠ABD＝30°，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 【学生解答】

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2．(2015黄冈中考)已知：如图，在△ABC中 ，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P.求证：

(1)∠BCP＝∠BAN； AMCB(2)＝. MNBP

3．(2015深圳中考)如图(1)，水平放置着一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB＝BC＝6cm，OD＝3cm，开始的时候BD＝1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．

(1)当B和O重合的时候，求三角板运动的时间； (2)如图(2)，当AC与半圆相切时，求AD；

(3)如图(3)，当AB和DE重合时，求证：CF＝CG·CE.

4．(2015临沂中考)如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD.

(1)求证：AD平分∠BAC；

(2)若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积．(结果保留π)

2

圆与相似及三角函数综合

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【例3】(2015资阳中考)如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD.

(1)求证：△CDE∽△CAD；

(2)若AB＝2，AC＝22，求AE的长．

【解析】(1)利用圆的知识证角相等得出相似；(2)利用勾股定理及相似知识解决线段长度的计算．

【学生解答】

5．(2015乐山中考)已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD＝DC，延长CB交⊙O于点E.

(1)图甲的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；

(2)如图乙，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F. ①若CF＝CD时，求sin∠CAB的值；

②若CF＝aCD(a>0)时，试猜想sin∠CAB的值．(用含a的代数式表示，直接写出结果)

直角三角形的应用

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解直角三角形的应用是中考的必考内容之一，它通常以实际生活为背景，考查学生运用直角三角形知识建立数学模型的能力，解答这类问题的方法是运用“遇斜化直”的数学思想，即通过作辅助线(斜三角形的高线)把它转化为直角三角形问题，然后根据已知条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程来求解．

仰角、俯角问题

【例1】(2015东营中考)热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高．(3≈1.732，结果保留小数点后一位)

【解析】作AD⊥BC构造直角三角形求解． 【学生解答】

1．(2015黄石中考)如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点A到最高点B的距离为103，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE.在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°.(仰角即视线与水平线的夹角)

(1)求AE的长；

(2)已知旗杆上有一面旗在离地1米的F点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？

2．(2015达州中考)学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：

(1)在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH＝30°；

(2)在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器(C、D与B在同一直线上，且C、D之间的距离可以直接测得)，测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH＝45°；

(3)测得测倾器的高度CF＝DG＝1.5米，并测得CD之间的距离为288米；已知红军亭高度EA为12米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB.(3取1.732，结果保留整数)

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方位角问题

【例2】(2014邵阳中考)一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号．一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．(温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)

【学生解答】

3．(2015攀

枝花中考)如图所示，港口B位于港口O正西方

向120km处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向(北偏西30°)以vkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．

(1)快艇从港口B到小岛C需要多长时间？

(2)若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离．

坡度、坡比问题

【例3】(2015内江中考)如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高

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度，他们在这棵树正前方一座楼亭的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1∶3(即AB∶BC＝1∶3)，且B，C，E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计)．

【学生解答】

33

4．(2014烟台中考)小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC的长为米，2钓竿OA的倾斜角是60°，其长为3米，若OA与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．

生活中的解直角三角形问题

【例4】如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度(单位：cm)如下：

伞架 长度 (1)求AM的长；

(2)当∠BAC＝104°时，求AD的长(精确到1cm)．

(备用数据：sin52°＝0.788，cos52°＝0.6157，tan52°＝1.2799) 【学生解答】

DE 36 DF 36 AE 36 AF 36 AB 86 AC 86 网格中的图形变换

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纵观中考试题，图形的轴对称、平移、旋转是中考的热点，尤其网格中的图形变换，主要考查利用图形变换的性质，在网格中作图以及相关计算．

网格中的平移、旋转

【例1】如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A(－2，2)，B(0，5)，C(0，2)．(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形；(2)平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为(－2，－6)，请画出平移后对应的△A2B2C2的图形；(3)若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．

【解析】(1)分别画出点A、B以点C为旋转中心的对称点A1、B1，再顺次连接A1、B1、C即得到所求作为△A1B1C.(2)根据平移后点A对应的点A2坐标确定出△ABC平移的距离和方向，按此画出B、C平移后的对应点B2、C2，顺次连接A2、B2、C2即可．(3)由图可知，△A1B1C绕点(0，－2)旋转180°得到△A2B2C2.

【学生解答】

1．(2014眉山中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－3，2)，B(－1，4)，C(0，2)．

(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C； (2)平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为(－5，－2)，画出平移后的△A2B2C2； (3)若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标．

网格中的位似

【例2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点均在格点上，A(－1，3)，B(－3，

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1)，C(0，1)．(1)画出在网格内把△ABC向右平移3个单位，再向上平移1个单位所得到的图形△A1B1C1；

(2)在网格内把△ABC以原点O为位似中心放大，使放大前后对应边的比为1∶2，画出放大后的图形△A2B2C2.

【解析】(1)把△ABC的三个顶点分别向右平移3个单位，再向上平移1个单位，找到对应的点，即可画出平移后的三角形．(2)把△ABC以原点O为位似中心放大，使放大前后对应边的比为1∶2，连接AO并延长到A2，使OA2＝2OA，得到A的对应点A2，同理得到B2与C2，然后顺次连接即得△A2B2C2.

【学生解答】

2．如图，△ABC的顶点坐标分别为A(1，3)、B(4，2)、C(2，1)．

(1)作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；

AB1

(2)以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使＝，并写出点A2的坐标．

A2B22

网格中的对称

【例3】如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A(3，2)、B(1，3)．△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1.(直接填写答案)

(1)点A关于点O中心对称的点的坐标为________；(2)点A1的坐标为________；(3)在旋转︵︵

过程中，点B经过的路径为BB1，那么BB1的长为________．

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3．(2015丹东中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，4)，B(4，2)，C(3，5)(每个方格的边长均为1个单位长度)．

(1)请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；

(2)将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长．

4．(2015聊城中考)在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是(－3，－1)．

(1)将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标； (2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．

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统计与概率

纵观中考试题，对本内容多以解答题的形式出现，侧重对统计图表的理解和分析．概率知识在中考中以选择题、填空题为主，也常常把概率和统计及其他知识点结合考查．

统计知识的应用

【例1】(2015梅州中考)在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期计划购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：(直接填写结果)

(1)这次调查获取的样本数据的众数是________； (2)这次调查获取的样本数据的中位数是________；

(3)若该校共有学生1000人，根据样本数据，估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有________人．

【解析】(1)众数就是出现次数最多的数，据此即可判断；(2)中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义判断；(3)求得调查的总人数，然后利用1000乘以本学期计划购买课外书花费50元的学生所占的比例即可求解．

【学生解答】

1．(2015宿迁中考)某校为了解初三年级1000名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重(均为整数，单位：kg)分成五组

(A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5)，并依据统计数据绘制了如下两个不完整的统计图．

解答下列问题：

(1)这次抽样调查的样本容量是________；

(2)C组学生的频率为________，在扇形统计图中D组的圆心角是________度； (3)请你估计该校初三年级体重超过60.5kg的学生大约有多少名．

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概率知识的应用

【例2】(2015连云港中考)九(1)班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克中点数为“2”、“3”、“3”、“5”、“6”的五张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的4张牌中抽出1张牌，记录两张牌点数后放回，完成一次抽奖．记每次抽出两张牌点数之差为x，按下表要求确定奖项．

奖项 |x| 一等奖 |x|＝4 二等奖 |x|＝3 三等奖 1≤|x|<3 (1)用列表或画树状图的方法求出甲同学获一等奖的概率； (2)是否每次抽奖都会获奖，为什么？ 【学生解答】

2．(2015丹东中考)一个不透明的口袋中装有4个分别标有数字－1，－2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同．小红先从口袋中随机摸出一个小球记下数字为x；小颖在剩下的3个小球中随机摸出一个小球记下数字为y.

(1)小红摸出标有数字3的小球的概率是________；

(2)请用列表法或画树状图的方法表示出由x，y确定的点P(x，y)所有可能的结果； (3)若规定：点P(x，y)在第一象限或第三象限小红获胜；点P(x，y)在第二象限或第四象限则小颖获胜．请分别求出两人获胜的概率．

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3．(2015聊城中考)在阳光体育活动时间，小亮、小莹、小芳和大刚到学校乒乓球室打乒乓球，当时只有一张空球桌，他们只能选两人打第一场．

(1)如果确定小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求恰好选中大刚的概率；(2)如果确定小亮做裁判，用“手心、手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场，游戏规则是：三人同时伸“手心、手背”中的一种手势，如果恰好有两人伸出的手势相同，那么这两人上场，否则重新开始，这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的．请用画树状图的方法求小莹和小芳打第一场的概率．

统计与概率的综合应用

【例3】(2014菏泽中考)课前预习是学习数学的重要环节，为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，王老师对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A.很好；B.较好；C.一般；D.较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

(1)王老师一共调查了多少名同学？

(2)C类女生有________名，D类男生有________名，并将上面的条形统计图补充完整； (3)为了共同进步，王老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．

【解析】(1)根据A(或B)类人数以及所占百分比，求总人数；(2)利用总人数以及扇形图求各类别人数，从而得出C组女生人数和D组男生人数；(3)利用列表或树状图得到所有可能结果，然后利用概率公式求解．

【学生解答】

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4．(2015安顺中考)某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A.篮球；B.乒乓球；C.羽毛球；D.足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图．请回答下列问题：

(1)这次被调查的学生共有________人； (2)请你将条形统计图补充完整；

(3)在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现在决定从四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．(用树状图或列表法解答)

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