巧建坐标系,妙用解析法证明著名几何定理

语数外学习　Ｎｏ．Ｏ９．２Ｏｌ３　Ｙｕ　Ｓｈｕ　Ｗｌａｊ　Ｘｕｅ　Ｘｉ　２０１３年第９期　巧建坐标系，妙用解析法证明著名几何定理　董雁飞　（大庆实验中学，黑龙江大庆１６３３１６）　摘要：解析法就是应用坐标系这一工具处理问题的方法。坐标系的建立，在形和数之间确定一种对应关系，从而为使用代数方　法解决几何问题奠定基础，对于很多较为复杂的平面几何问题，若能认真分析问题的几何特征，巧妙利用图形的几何特征建立恰当的　直角坐标系处理，常可大大降低题目求解的难度，而且整个过程更加简洁、明了，本文以四个平面几何有名定理为例加以说明。　关键词：坐标系；解析法；几何定理　中图分类号：Ｇ６３３　文献标识码：Ａ　文章编号：１００５—６３５１（２０１３）一ｏ９—００７８—０２　例１：（斯古登定理）设ＡＤ为ＡＡＢＣ顶角Ａ的平分线，求证：　代入上式化简得（６一ｃ）（口’＋ａＺｂ＋　ｃ　４－３ａｂｅ＋ｂＺｃ＋６ｃ　）＝　ＡＤ２＝Ａ８・ＡＣ—ＢＤ・ＤＣ　０，从而得ｂ＝ｃ，定理得证．　证明：如图１所示，以Ａ为坐标原点，以ＡＤ方向为　轴正方　例３：（欧拉线定理）已知在ＡＡＢＣ中，已知Ｐ、Ｇ、Ｈ分别是三　向。建立的平面直角坐标系．　角形的外心、重心、垂心．　设ＡＣ边所在射线的方程为Ｙ＝　（　≥Ｏ）（其中　＞Ｏ），　证明：Ｐ、Ｇ、Ｈ三点共线，且ＰＧ：　＝１：２．　则可知ＡＢ边所在射线的方程为Ｙ＝一　（　≥０），　证明：如图３所示，过Ｐ点作与与ＢＣ平行直线Ｚ，以Ｐ为坐标　设Ｄ（ｍ，Ｏ），直线ＢＣ的方程为Ｙ＝ｔ（　一ｍ）（￡＜一　或ｔ＞　），　原点，以直线ｚ为　轴，以ＢＣ的中垂线为Ｙ轴，建立的平面直角坐　则ｃ（　ｔｒａ，韪），曰ｔｍ　）．　标系．　设ＡＡＢＣ的外接圆半径为　，则Ａ，口，Ｃ点均在以点Ｐ为圆　则ｌＡＢ１．ＩＡＣｌ－ｌＢＤ１．ＩＤＣＩ　心，以Ｒ为半径的圆上，　＝　一　＝ｍ２＝ＩＡＯＩ　．　故可设Ａ（Ｒｃｏｓａ，麟衄），曰（　。　，　ｓｉｒ　），则Ｃ（一　ｃ０　，　Ｒｓｉ￣），ｇｎ－￣ｌ　ＡＣ的中点Ｅ（型　，　）．　ＡＪ　、　以　设Ｈ（　，　），由ＡＤ上　轴，故可得　＝Ｒｅｏｓｃｔ，　由ＢＨ／／ＯＥ氮ＢＲ＝　ｏＥ．　则有（Ｒｃｏｓａ—Ｒｃｏ　，Ｙｎ—Ｒｓｉｎ￣）　谤　。　一　，Ｒ（ｃｏｓｃｔ－ｃｏｓ￣）Ｒ（ｓｉｎａ＋ｓｉｎ／８）、　…　２　’　２　，’　数　可得　＝Ｒ（ｓｉ衄＋２ｓｉｒ￣），即日（Ｒｃｏｓａ，Ｒ（ｓｉｎｏ￣＋２ｓｉｎ￣）），　而Ｇ（Ｒｃｑ．ｏｓａ，塑　塑　１，显然有劢：３　，即Ｐ、Ｇ、Ｈ　烀　例２：（斯坦纳一莱默斯定理）两内角平分线相等的三角形是　ｖ’　等腰三角形．　三点共线，且ＰＧ：ＧＨ＝Ｉ：２．　已知：在ＡＡＢＣ中，已知ＢＤ，ＣＥ是　曰，　Ｃ的角平分线，且　Ｖ　Ｉ　Ｖ　ＢＤ＝ＣＥ，求证：ＡＢ＝ＡＧ．　Ａ　致　证明：如图２所示，以Ｂ为坐标原点，以ＢＤ方向为　轴ｉＦ＿方　二　设ＢＡ边所在射线的方程为Ｙ＝ｈ（　≥０）（其中　＞０），则可　１１　—　、　Ｊ一一　一　”　等　知ＢＣ边所在射线的方程为Ｙ＝一　（　≥０），设Ｄ（ｍ，０），　．　．　亨同　设Ｉ　ＢＣ　，ｌ＿ｏ，ｃＩ　Ａ　ｌ＝６，’１ｌ　ＡＢｌ－＿ｃ　Ａ，易知Ａ（Ｉ　高，孝　，　■　ｌ，　Ｂ　图３　图４　ｌ　ｃ（南，　，　例４：（蝴蝶定理）如图４，　是００的弦ＡＢ的中点，ＣＤ，ＧＨ是　Ｉ　由角平线的性质可知　＝　＝詈，赢＝　，　过肘点的两条弦，连结ＣＨ，ＤＧ分别交ＡＢ于Ｐ，Ｑ两点，则ＭＰ＝　ＭＱ．　证明：如图４所示，取　为原点，弦ＡＢ为轴，建立平面直角坐　ｌ　故Ｅ（　丽，　，　标系，　设Ｐ（０，Ｐ），Ｑ（Ｏ，ｐ），设ＧＯ的方程为（　一口）　＋Ｙ　＝ｒ２．　设ＤＣ，ＧＨ的斜率分别为　．，ｋ　，则直线ＣＤ的方程为Ｙ＝　。　，　Ｉ　又由Ａ，Ｄ，ｃ三点共线可知—　卫：ｍ　—　卫，解之　直线ＧＨ的方程为Ｙ＝ｋｚｘ．　设Ｃ（　Ｉ，　Ｉ　Ｉ），Ｄ（　２，　１　２），Ｇ（　３，　２　３），日（　‘，　２　４）．　联立直线ｃＤ与ｏ０方程，化简得（１＋ｋ　）　一２ａｘ＋口　一ｒ２＝　２口　ｎ　一ｒ２　，　ｕ，　，　ｚ　丽，　：　ｌ　由　＝Ｉ　ＣＥ　Ｉ￣（　（南一　）　一（　联立直线Ｇ日与００方程，化简得（１＋　）　一２ａｘ＋口　一／．２＝　２０　口。一ｒ２　Ｉ（南“２［　，　ｕ，　３　４　蕊，　３　・　故有　：　，　＋　：　＋上，Ｉ化简得　＋　＝南　Ｉ　２　３　ｌ　２　３　札　上一ｌ　　：　一÷，３　４　　进一步变形得　二　：　二　，　Ｌ：一　＿４．（１）　Ｉ可　＝　Ｉ　３　２　４　ｌ一　３　Ｘ２一　（下转第７９页）　Ｉ．．．．．．．．．．．一７１Ｒ　语数外学习　Ｎｏ．Ｏ９．２Ｏｌ３　Ｙｕ　Ｓｈｕ　Ｗａｉ　Ｘｕｅ　Ｘｉ　２０１３年第９期　论如何培养学生的数学质疑能力　邹健　（江阴市周庄中学，江苏无锡２１４４２３）　摘要：培养初中生的数学质疑能力有利于学生创造思维的培养。我国当前初中数学教学过程中，教师教育现念和教育方式不恰　当以及学生自身知识不足均是学生质疑能力欠缺的原因，可以从创设质疑氛围，改善师生关系、采取多种教学方法，课堂内外相结合传　授学生质疑方法，树立学生质疑信心等方面提高初中生的数学质疑能力。　关键词：初中生；数学；质疑能力　中图分类号：Ｇ６３３　文献标识码：Ａ　文章编号：１００５—６３５１（２０１３）一０９—００７９一Ｏ１　一、数学质疑能力的重要性　中，宽松的学习氛围能够为学生提供主动提问的机会，不局限于　所谓质疑，就是指个体经历的现实情况与自身原有的经验和　已有的答案，对同一问题提出自己的见解，形成个体的差异性。　知识发生认知冲突，引起个体进行思考的一种思维活动。质疑能　教师在数学教学中，应留给学生独立思考的时间，充分解放学生　力的强弱是个体对已看到的现象或已有的结论的真实性提出疑　的思维，创设有利于学生独立思考的氛围。教师在创设环境培养　问，产生自己想法并指导自己行为的一种能力。数学是一门与实　学生数学质疑能力时，必须给予学生鼓励。在课堂教学中，教师　际生活紧密结合的学科，培养数学质疑能力是个体积极思考，发　也要注意师生关系的优化，注重培养平等民主的学习氛围。把师　现问题、提出问题并解决问题的过程，它是创新的先导。学校及　生关系定位为教学相长的朋友关系，从情感上缩短教师与学生的　教师在组织学生参与数学教学活动中，要结合外界环境对学生情　关系，能为学生提出问题创设良好氛围。　感的影响，抓住学生的心理特点，利用学生主动性和好奇心的因　（－－）采取多种教学方法，课堂内外相结合　素，引导学生在思考数学问题的过程中，逐步提高质疑能力，从而　在课堂教学中，教师要根据学生的原有基础和教学内容的需　培养学生的创新思维，促进素质教育的开展。没有问题，就不会　要，采取预习引导、课堂创设情境等不同方法选择有利于学生思　有解决方案，一个好问题比一个好答案更有价值。在数学教学　考和质疑的教学方法，引导学生主导思考，大胆设想，发表见解，　中，要充分发挥学生的主观能动性，培养学生在听课、恩考、记笔　探索问题的解决途径。这种循序渐进的方法有利于学生进行深　记、做作业之外的质疑能力。　入思考，充分发挥自己的看法，提高创新思维能力。数学知识之　二、数学教学中初中生质疑能力培养不受重视的原因　间总是存在多种多样的联系，学会运用知识迁移规律引导学生质　（一）教师的因素　疑，达到触类旁通的目的，将提高数学学习的效率。与此同时，教　学生数学质疑能力低下的原因质疑就是教师教育观念及方　师可以组织班级学生通过开展形式多样、内容丰富的课外活动，　式的不适当。当前很多数学教师仍然把知识教育看成是教育的　如小实验、小制作、数学游戏等，提高学生对生活经验的感性认　终结，灌输式教育方式仍是当前数学教育的主流，没有留给学生　识，提高质疑能力。　思考的时间，长此以往学生养成了思维惰性，学生数学质疑能力　（三）传授学生质疑方法，树立学生质疑信心　低下。这样的教学方式不利于学生质疑能力的培养。数学教师　“授人以鱼不如授人以渔”，教师传授学生质疑的方法本身比　自身的知识素养的高低对学生质疑能力的高低有重要作用，如果　传授学生知识点本身对学生质疑能力的培养更有裨益。学生在　教师自身知识欠缺，就不能引导学生进行深入思考，将直接影响　学习时，提出问题却无法解答时，这就需要教师强化对学生质疑　学生质疑能力的发展。　的指导，让学生在提出问题和解决问题的过程中逐渐形成质疑的　（二）学生的因素　能力。教师在培养学生数学质疑能力时必须传授学生一些质疑　学生数学基础薄弱影响质疑能力的发挥，丰富的知识储备是　方法的指导，切实提高学生的质疑水平。数学质疑方法主要有因　质疑的基础，其决定质疑的宽度和深度，质疑是对已有知识不合　果质疑、比较质疑碰向质疑等，各种质疑的方法有其运用的条　理的部分提出自己独到的想法和见解，如基础知识不丰厚，当然　件，但并不是绝对的，需要学生在解决数学问题的时候结合具体　不能提出深层次的问题。部分学生担心自己提出的问题简单遭　到同学的嘲笑，也害怕教师指责自身上课分心而不愿意提出质　疑，这种自我否定的心理因素使其失去了质疑的欲望。家长对学　生成绩的重视，但却忽视促使其成绩提高的质疑能力的培养，也　涟数球字寸数学教育　是学生数学质疑能力不高的重要原因。　三、培养初中生数学质疑能力的途径　（一）创设质疑氛围，改善师生关系　良好的质疑氛围，是培养学生质疑习惯的基础。在课堂教学　（上接第７８页）　Ｘ　Ｃ，Ｐ，Ｇ三点共线可得　＝　，　同理由。，Ｑ，Ｈ三点共线可得　ｋｌｘ２－ｑ＝　，口＝　（ｋ２一ｋｔ）　２　‘　２－－Ｘｚ，　’　结合（１）式可知Ｐ＝一口，从而ｌ　ＭＰ　ｌ＝』肘Ｑ　ｌ定理得证．　评注：用解析法证平面几何题，思路明确，有规可循，而且可　以减少或避免添加辅助线，可以减少“寻求隐含条件”的困难。有　很大的优势，其解题步骤主要是：通过建立坐标系，设定所给图形