出题学校：西北工业大学
满分：120 分 时间：3 小时
一、小球在高脚玻璃杯中的运动 (20分)
一半球形高脚玻璃杯，半径r =5cm，其质量m 1=0.3 kg，杯底座半径R =5 cm，厚度不计，杯脚高度h =10 cm。如果有一个质量m = 0.1kg 的光滑小球自杯子的 2边缘由静止释放后沿杯的内侧滑下，小球的半径忽略不计。已知杯子底座与水平 面之间的静摩擦因数f s = 0.5。试分析小球在运动过程中：（1）高脚玻璃杯会不会滑动；（2）高脚玻璃杯会不会侧倾（即一侧翘起）。
二、杂耍圆环 (40分)
1.杂技演员将一个刚性圆环沿水平地面滚出，起始圆环一跳一跳地向前滚动，随后不离开地面向前滚动，为什么？
2.杂技演员拿出一个匀质圆环，沿粗糙的水平地面向前抛出，不久圆环又自动返回到演员跟前。设圆环与地面接触瞬时圆环中心O 点的速度大小为V0，圆环的角速度为ω0，圆环半径为r，质量为m，圆环与地面间的静摩擦因数为f s，不计滚动摩阻，试问： （1）圆环能自己滚回来的条件是什么？
（2）圆环开始向回滚动直到无滑动地滚动，在此运动过程中，圆环所走过 的距离是多少？ （3）当圆环在水平地面上无滑动地滚动时，其中心的速度大小为v1，圆环平面保持在铅垂平面内。试分析圆环碰到高为h(h
3.演员又用细铁棍推动题2 中匀质圆环在水平地面上匀速纯滚动，假设圆环保持在铅垂平面内滚动，如图所示。又知铁棍与圆环之间的静摩擦因数为f t ，圆环与地面间的滚动摩阻系数为δ 。试求为使铁棍的推力（铁棍对圆环的作用力）最小，圆环上与铁棍的接触点的位置。
三、趣味单杠 (30分)
单杠运动是奥运会、世界体操锦标赛、世界杯体操比赛中男子体操比赛项目之一。单杠是体操比赛中最具观赏性的项目，也是观众最喜欢的运动，在学校和健身场所拥有众多的爱好者，小李和小张就是其中之一。一天，他们准备在单杠上进行大回环比赛。假设单杠的横杆和立柱均为直径D=28mm 的钢杆，弹性模量E=200GPa，许用应力[σ]=160MPa，横杆长L=2.4m，立柱高H=2.6m。立柱与地面、横杆与立柱之间均为固定联结。假设两人旋转到单杠所在平面内时的惯性载荷均为F=1000N，不计人的自重。
1. 试分析两人同步旋转到单杠所在平面内时，结构中的最大应力。
2. 若两人相差 180°旋转到单杠所在平面内，对结构中的最大应力有什么影响。
3. 为提高结构承载能力，有人提出在单杠距地面 0.6m 处增加一个直径20mm 的拉杆。试定性分析该杆对上述两种情况的影响。
四、跳板跳水 (30分)
举世瞩目的第 29 届北京奥林匹克运动会上，具有“梦之队”之称的中国跳水队获得了跳水比赛8 枚金牌中的7 枚，囊括了3m跳板跳水的4 枚金牌。
Duraflex的Maxiflex Model B 跳水板是奥林匹克跳水比赛和国际级跳水比赛唯一指定使
用的产品，它的具体尺寸如图所示，其中横截面尺寸为b = 0.5m，h = 0.05m，跳板的弹性模量E = 70GPa ，比重γ = 25kN/m3，a = 3.2m，l =1.6m。运动员从跳板上上跃至距地面最高点后落至跳板端点C，再从跳板上弹起至空中完成动作后落 水。若运动员体重G = 700N，最大弹跳高度H = 0.6m，取g = 9.8m/s2。
1. 根据所学知识，建立相应的力学分析模型。
2. 为保证运动员落水安全，运动员从空中落入水中时，在跳板所在平面处，运动员质心距跳板C 端最小距离s 应大于0.5m。试求运动员从跳板上跃时所需最小水平速度（假设水平方向为匀速运动）？ 3. 不计跳板质量，将运动员视为刚体时，运动员冲击跳板时，跳板中的最大动应力为多少？ 4. 如运动员为弹性体，定性说明在冲击时跳板中的最大动应力增大还是减小？ 5. 如考虑跳板质量，试计算跳板中的最大动应力。
第七届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案
一、小球在高脚玻璃杯中的运动(20 分)
当小球自杯子的边缘由静止释放后沿杯子的内侧滑下到与铅垂方向夹角 （一侧翘起） 。
时，高脚玻璃杯侧倾
二、杂耍圆环(40 分)
1. 圆环不是匀质的，质心不在圆环的中心。开始滚动角速度大，圆环一跳一跳地向前滚动；随后角速度减小，所以圆环不离开地面向前滚动。
2.（1）圆环自己滚回的条件为： 方向如图所示。
（2）距离：
（3）圆环能不脱离接触地爬上台阶所应满足的条件为 ：
3．当接触点 A与圆环中心 C 的连线与铅垂线间的夹角 时，推力 F 取最小值。
三、趣味单杠(30 分)
（1）结构中的最大应力
（2）结构中的最大应力
（3）在结构中增加拉杆后， （2）中为反对称结构，在对称面上只有反对称内力，故 AB 杆轴力为零，无影响； （1）中为对称结构，在对称面上只有对称内力，故 AB杆轴力不为零，有影响。
四、跳板跳水(30 分)
（1）根据跳板的受力情况，可以将其简化为下图所示外伸梁。
（2）最小水平速度为
（3）跳板的最大动应力为
（4）如运动员为弹性体，冲击时跳板中的最大动应力将减小。
（5）跳板的最大动应力为
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