人教版五年级下册数学 1
观察物体(三)
一、能用小正方体摆出从某一方向观察看到指定图形的几何 体。
1.从同一方向观察不同的几何体,看到的图形可能相同。
2.观察由小正方体搭成的几何体时 ,由于前面的小正方体遮挡．．
了后面的小正方体、左面的小正方体遮．挡 了右面的小正方体、右 ．面的小正方体遮挡 了左面的小正方体或者是上面的小正方体遮．挡 ．．．
了下面的小正方体,常会漏数被遮挡的小正方体．．．．．．．．．．．． 。例如:
温馨提示:
从不同的方向观察几何 体,所看到的图形可能相同 , 也可能不同。
图 1 是由 5 个小正方体搭成的,而不是由 4 个小正方体搭成的;
图 2 是由 4 个小正方体搭成的,而不是由 3 个小正方体搭成的。
解决此类问题时,一定要具体问题具体分析。
3.在观察物体时,从正面看可以确定所摆的几何体有几层和几
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
列;．从上面看可以确定所摆的几何体有几行和几列．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．． ． ;从左面看可以
温馨提示:
根据从三个不同的方向 观察到的图形搭成几何体 时,先从上面确定基本形状 , 然后从正面和左面确定层数
确定所摆的几何体有几行和几层。 ．．．．．．．．．．．．．．
二、能根据从不同方向看到的图形搭出几何体。
1.从正面、左面和上面看到的图形确定了 ,这个几何体也就确
．．．．．． 和每层的个数。
定了。．．
2.根据从三个不同方向观察到的图形还原几何体 ,先从上面观
易错点 : 仅根据从某一 方向观察到的平面图形 , 是 无法判断几何体的摆法的 , 更无法确定组成这个几何体 的小正方体的个数。
察到的图形分析确定基本形状 ,推测可能出现的各种情况 ,然后根
据从其他两个方向看到的图形综合分析 ,确定层数和每层小正方体
的个数。
3.数组合成几何体的小正方体的个数时 ,可以先把这个几何体 分层、分行或分列统计,然后把每一部分的小正方体的个数相加。
2
因数与倍数
一、理解因数和倍数的意义,掌握找一个数的因数和倍数的 方法。
1.在整数除法中 ,如果商是整数而没有余数 ,我们就说被．除 ．
温馨提示:
数是除数的倍数。如:在算式．．．．．．．．．． c÷a=b(a、b、 ．．．．．．．,除数是被除数的因数
为了方便 , 在研究因数和
c 均是非 0 自然数)中,a 和 b 是 c 的因数,c 是 a 和 b 的倍数。一 ．
倍数的时候 , 我们所说的数指
1．个数的因数的个数是有限的,最大的因数是．．．．．．． ．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．,其中最小的因数是 ．
的是自然数(．一般不包括． ．．． ．．．．0)。 ．
易 错 点 :1.2=0.3×4, 我 们
它本身。一个数的倍数的个数是无限的,．．．．．．．． 可以说 1.2 是 0.3 的 4 倍,却不 ．．．．．．．．．．．．．．．．． ,最小的倍数是它本身 ． ． ．没有最大的倍数。 ．．．．．．．
能说 1.2 是 0.3 的倍数。倍数
2.找一个数的因数的方法 :(1)列乘法算式找．．．．．．,． 根据因数的意
是相对于因数而言的 , 只适用
义,有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式 ,算式中的 (2每个乘数都是该数的因数。 )列除法算式找．．．．．．,． 用此数除以大于等
于非 0 整数。
温馨提示:
因数和倍数是两个不同的
于 1 而小于它本身的整数 ,所得的商是整数而无余数 ,这些除数
概念 , 但又是一对相．互依存 ．．．的
和商都是该数的因数。以找 24 的因数为例:
(1)列乘法算式:
(2)列除法算式:
概念 ,不能单独存在 ,不能说谁
．．．．．．
24=1×24 24÷1=24
是因数 ,也不能说谁是倍数 ,应 该说谁是谁的因数或谁是谁的 倍数。
=2×12 24÷2=12
=3×8
24÷3=8
=4×6 24÷4=6
易错点:在 24÷3=8 中,我
24 的因数有 1,2,3,4,6,8,12,24。
3.找一个数的倍数的方法 :(1)列乘法算式找 ,用这个数依次
．．．．．．
们不能说 24 是倍数,3 是因数,
而要说 24 是 3 的倍数,3 是 24
与非 0 自然数相乘,所乘之积就是这个数的倍数。(2)列除法算式．．．．．
的因数。
找,看哪些数除以这个数 ,商是整数而无余数 ,这些数就是这个数 ．
的倍数。以找 9 的倍数为例:
(1)列乘法算式:
(2)列除法算式: 9÷9=1 18÷9=2
温馨提示:
9×1=9
1 是任何数的因数,一个非
9×2=18
9×3=27 27÷9=3 9×4=36 36÷9=4 9×5=45 45÷9=5 …… ……
9 的倍数有 9,18,27,36,45……
0 自然数既是它本身的因数．． ．．．．．．．．,也
是它本身的倍数 。一个数的倍
．．．．．．．
数的个数是无．限的 在写一个 ．．,
数的倍数时 , 要在写出的倍数
1)列举法;(2)集合表示4.表示一个数的因数和倍数的方法 :(。 ． ．． ．．．．．．．．．．．．． 的后面加省略号
法。．
以表示 42 的因数为例:
(1)列举法表示:
42 的因数有 1,2,3,6,7,14,21,42。 (2)集合表示法:
温馨提示:
同时是 2 和 3 的倍数的特
5.因数与倍数是相互依存的。
二、掌握 2、3、5 倍数的特征,认识奇数、偶数。 1.自然数中个位上是, 2 的倍数。整数中 ．．．．．．．．．．．．．．．．．0,2,4,6,8 的数都是 ．．．．
0,2,4,6,8,且各征:个位上是 ．．．． ．．．．
个．．．．
数位上的数字之和是．．．．．．．．．3 ．．． ．的倍数;
是 2 的倍数的数叫做偶数 ．． (0 也是偶数),不是 2 的倍数的数叫做奇．
同时是 3 和 5 的倍数的特
数。．
征:个位上是5或,的数各个数 ． ．．．． ．．．．0 ． ．． ．
2.个位上是的数都是的倍数。5或5 ． ．．．．．0 ． ．．．． ．．．
3 的倍数3.一个数各个数位上的数字之和是 ．．．,这个数就 ．．．．．．． ．
是 3．．．．．．．．．．．．．．
的倍数。 ．．．
位上的数字之和是．．．．．．．．3 ．．． ．的倍数;
同时是 2 和 5 的倍数的特
征:个位上是; ．的数．．．．0 ．
三、理解质数和合数的意义,能正确判断一个数是质数还是 合数,能找出 100 以内的质数,并熟记 20 以内的质数。
同时是 2、3、5 的倍数的
特征 :个位上是 0．,．且各个数位．．．．． ．．．．
1.一个数,如果只有 1 和它本身两个因数 ,那么这样的数叫
上的数字之和是的倍数。 ．．．．．．．．3 ．．．
做质数．． (或素数)。
一个数,如果除了 1 和它本身还有别的因数 ,那么这样的数
易错点 : 判断质数与合数
．．．．．．．
叫做合数。．．
时,．与因数的个数有关．．．．．．．． ;判断奇 ．．．．
3.1。 既不是质数．．．．．,也不是合数 ．．．．．．．
数与偶数时．．．．．．．．．．．,与能否被 2整除有 ．．．
2,3,5,7, , 13, 17,194.20 以内的质数有 ．．．．11．．．．
。 ． ． ． ．
四、和与积的奇偶性。
关,它们之间没有必然的联系 , ．
但有交叉部分 , 所有的偶数都 是合数(2 除外);质数与质数的
奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 偶数+偶数=偶数 奇数×奇数=奇数 奇数×偶数=偶数 偶数×偶数=偶数
和也有可能是质数,如 2+3=5。
3
长方体和正方体
一、认识长方体和正方体的特征及它们的展开图。
1.长方体是由 6(特殊情况有两个相对的面是正方 个长方形． ．
形)围成的立体图形。在一个长方体中 ,相对的面完全相同．． ．．．．．．．．,相对 ．
特别注意:
的棱长度相等。长方体有条棱。 8．．． ．．．．．． 个顶点．．．,12 ．．
当长方体相对的两个面是
2.相交于同一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的
正方形时 , 其他四个面是大小
长、宽、高。 ．．．．．
和形状完全相同的长方形。
温馨提示:
长方体的长、宽、高的位
置不是固定不变的。长方体的
摆法不同,长、宽、高也就不同。
3.长方体 12 条棱的长度和叫做长方体的棱长总和。
+=条高+×44 ．4长方体的棱长总和条宽(长+宽高)．。 ．．条长+．．．．．．．．．．．． ． ．．．．．．．．．=4 ．．．
a+b+h4。 用字母表示:C=(．)×．．．．．．．． ．．
4.正方体是由 6,正方体有 个完全相同的正方形围成的立体图形．．．．．．．．． ．
8 个顶点,12 ．,12 ．条棱条棱的长度都相等。．．．．．．．．．．． ．．．．．
温馨提示:
长方体的上面和下面、前
5.正方体是长、宽、高都相等的长方体 ,正方体是特殊的长 ．．．．．．．．
面和后面、左面和右面分别是
方体。．．
相对的面。
a．126.正方体的棱长总和=棱长×12。用字母表示:C=。 ．．．．
7.认识长方体和正方体的展开图。
温馨提示:
长方体和正方体的展开图 并不是唯一的 , 左图只是其中
的一种。
特别注意:
二、掌握长方体和正方体表面积的计算方法 ,并能运用所学
在解决实际生活中有关长
知识解决一些简单的实际问题。
方体物品的表面积问题时 , 首
1.长方体或正方体 6 个面的总面积．．． ,叫做它的表面积。 2.长方体的表面积=．×+×+宽(长宽长高．．．．．．．．．．．．．． ×高)×2。
先要根据实际情况确定要求的
是哪些面的面积之和。
S=ab+ah+bh用字母表示:．．(． ．．．．．．．．．．． )×2。
3.正方体的表面积= 棱长××6棱长。 ．．．．．．．
2S=a6用字母表示:．． ．． 。
4.如果把一个长方体沿一个面截成 n 块,就增加了 2 (n-1．．．．．． )个 ．
截面,每个截面的 4 条棱就是增加的棱,总共增加了 8 (n-1 )条棱 。．．
．要根据具体情况灵活运用 ．．．．．．．
三、了解体积的意义及计量单位,会进行单位之间的换算。
不同的计量单位进行计算 , 问
1.物体所占空间的大小叫做物体的体积。
．．．．．．．．． 题的单位和已知条件的单位不 2.常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米 ,可以分 ．．．．．．．．．．．．．
统一时 ,可以先计算,再换算单 ．．．．． ．．．3、dm3。m3别写成 cm、．．．． ．． ．
位;也可以先换算单位。,再计算．．．．． ．．．．．
3.棱长是1c的正方体; ．cm．．．．．． ．．．1 ．．．,体积是 ．
温馨提示:
1棱长是的正方体 ．dm．．．．dm． 3;． ．．．1 ．．．,体积是 ． ．
3m棱长是的正方体。 m．．．．．．．．．．．1 ．．．．,体积是 1
四、掌握长方体和正方体体积的计算 ,并会运用公式解决实 际问题。
特别注意:
有时候可以把物体的横．截 ．
××1.长方体的体积=长宽．．．．． 高。
用字母表示:V=abh．．．．． 。
面积看作底面积。 ．．．．．．．
温馨提示:
在同类的计量单位中 , 较
×2.正方体的体积=棱长棱长．．．．．．．． ×棱长。
3． 用字母表示:V=a 。．．．
大的单位叫高级单位 , 较小的
单位叫低级单位 , 高级单位和
3.长方体和正方体体积的统一公式:
低级单位是相对而言的。由高
×长方体和正方体的体积=底面积．．．．． 高。
用字母表示:V=Sh．．．． 。
级单位换算成低级单位 , 要乘
进率 ; 由低级单位换算成高级
4.体积单位间的进率: 1 立方分米=1000 立方厘米
1 立方米=1000 立方分米
单位,要除以进率。
相邻的两个体积单位间的进率是 ．．．． ．．．．．．．．．．．．．．1000。
5.体积单位的换算与以前学过的长度、面积单位的换算方 法基本相同,只是相邻的两个体积单位间的进率是 1000。
6.已知长方体的体积、长、宽、高四个量中的任意三个量 ,
特别注意:
都能求出另一个未知量。
体积和容积是两个不同的
a=V÷b÷h ．．．．．．．
b=V÷a÷h ．．．．．．． h=V÷a÷b ．．．．．．．
概念 ,对同一个物体来说 ,两者
五、认识容积的意义及计量单位 ,会进行容积单位和体积单 位的互化。
的大小是不同的。
1.容器所能容纳物体的体积,通常叫做它们的容积。
2.计量容积,一般用体积单位。计量液体的体积,如水、油等, 常用容积单位升和毫升,也可以写作 L 或 mL。
特别注意:
用排水法测量不规则物体
3.容积单位的换算:1 升=1000 毫升
的体积时 , 不规则物体必须完
容积单位和体积单位的关系:1 升=1 立方分米
1 毫升=1 立方厘米
全浸入水中,才能测量。
4.长方体或正方体容器容积的计算方法跟体积的计算方法
相同,但要从容器里面量长、宽、高。
六、测量不规则物体的体积。
测量不规则物体的体积,通常采用排水法:
1.利用有刻度的量筒或量杯 ,记录下放入不规则物体前后的 刻度,上升的那部分水的体积就是不规则物体的体积。
2.容器内装满水,把不规则物体放进容器里 (完全浸没),溢出
的水的体积就是不规则物体的体积。
七、把棱长为 1 厘米的小正方体拼成棱长为 n 厘米的大正
方体后涂色,涂色面的规律是:
1.三面涂色的小正方体的个数=正方体的顶点个数=8;
2.两面涂色的小正方体的个数 =正方体的棱长总数乘棱长
减 2 的差=12×(n-); ．．．2
3.一面涂色的小正方体的个数=正方体的面数乘棱长减 2 的
差的平方=6×(n-) 2。 ．．．2
4分数的意义和性质
系。
一、了解分数的产生 ,理解分数的意义 ,明确分数与除法的联
1.实际生活中,在进行测量、分物或计算时,往往不能正好得到．．．．．．
温馨提示:
整数的结果,在这种情况下就产生了另一种数——分数．．．．． ．． 。
把谁平均分,就应该把谁
2.一个物体、一个计量单位或是一些物体等都可以看．．．． 作一个
看作单位“1”。
整体,这个整体可以用自然数1．”。 1 表示,通常把它叫做单位．． ．． ．．“
分成若干份是指分成除
0 以外的任意整数份,分时一
3.把单位“ 1”平均．． 分成若干份 ,这样的一份或几份都可以用分
定是平均分,只有平均分才可
数来表示。
以用分数来表示。
4.把单位“平均分成若干份叫做分数单 表示其中一份的数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1” ,
．．．
分数与除法之间的联系
位。．
非常紧密,但分数不等同于除 法, 二者之间有一定的区别 :
一个分数的分母是几 ,它的分数单位就是几分之一 ,分子是几,
除法是一种运算,分数是一种
它就有几个这样的分数单位。
被除数 5.两个数相除 ,商可以用分数来表示 ,即被除数 ÷除数=． , ．．．．．．
除数
数。
≠用字母表示为 a÷b=0．)。反之,分数也可以看作两个数相除．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．( b ． ,
分数的分子相当于被除数。 ,分数线相当于除号．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．,分母相当于除数
特别注意:
6.求一个数是另一个数 (0 除外)的几分之几的问题的解题方 法:一个数 ÷另一个数 =
一个数
．．．．．÷标准量 =．
因为除法算式中的除数 不能为 0,所以在分数中分母
比较量 标准量
,即比较量．．．．
另一个数
,商表示 ．．．． 也不能为 0。
的是两个数的倍比关系 (也可以称部分与整体的关系 ), 没有单位名 ．．．．．．．．．． ．．．．．．．． ．．．．．
称。．
7.分数不但可以表示部．．．．．．．．,还可以表示具．．． 分与整体的关系
体的
温馨提示:
任何整数(0 除外)都可以
数量。当分数表示具体的数量时,可以加单位名称。 ．．
化成分母是 1 的假分数。
二、认识真分数、假分数和带分数,能把假分数化成带分数或
整数。
1.分子比分母小的分数叫做真分数,真分数小于．．．．．． ．．．．．1。 ．
2.分子比分母大或分子等于分母 的分数叫做假分数 ,假分数．．．．．．．．．．．．． ．．．
举例:
大于或等于 ．．．1 ．．．1。 ．
3.由整数除外,带分数大于．．．．．．．．．．．叫做带分数 ．．．．(0． ．)和真分数合成的数 ．．．． 1。 ．
÷=3……因为 131, ．．．．．4．．．．
所以 13÷4=3。 ．
4.带分数的读法 :先读带分数的整数部分 ,再读分数部分 ,分数
部分和整数部分中间加一个“又”字。
5.带分数的写法 :“又”前面是整数部分 ,后面是分数部分 ,先写
温馨提示:
整数部分,再写分数部分。
分数的基本性质与除法
6.假分数化成整数或带分数的方法 :根据分数与除法的关系 , 把假分数化成整数或带分数的方法是用分 子除以分母 。当分子
．．． 是．．．．．． 分母的整数倍时,商就是这个整数．．．．．．．,能化成整数．．．．．． ．．．．．．．． 当分子不是分母的 ; ．．．．．．．
中商不变的规律类似,要注意
不为 0 的条件。
整数倍时商是带分数的整数部分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．,能化成带分数 ,． ,余数是分数部分
温馨提示:
的分子。 ．．．．．．．．,分母不变
在铺地砖问题中,要使地
三、理解并掌握分数的基本性质,会比较分数的大小。
面铺满且使用的地砖是整块
1.分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数 ．．除外 ．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(0 ．．),分数
时, 就是求长和宽的公因数 ,
的大小不变。 ．．．．．．．．．．．．．．．．,这叫做分数的基本性质
要求地砖的边长最大是多少 ,
2.根据分数的基本性质 ,可以把一．．．．．．．．．．．． 个分数化成分母不同而大
就是求长和宽的最大公因
数。
小不变的分数。 ．．．．．．,也可以把一个分数化成指定分母的分数．．．．．．．．．．．．．．．．．．
四、理解公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数的意义,
能找出两个数的最大公因数和最小公倍数 ,能比较熟练地进行通
特别注意:
分。
有些实际问题可转化为
1.几个数公有的因数 ,叫做这几个数的公因数 ,其中最大的公
求几个数的公因数,如果题目
因数,叫做它们的最大公因数。
是求“最长”“最多”等问题 ,就
2.求两个数最大公因数的方法:
是求几个数的最大公因数。
(1)列举法:先分别找出两个数的因数 ,从中找出公因数 ,再找出
温馨提示:
公因数中最大的那个;
每个数的因数的个数是
(2)筛选法:先找出两个数中较小数的因数 ,从中圈出另一个数
有限的,因此两个数或多个数
的因数,再看哪一个最大;
的公因数的个数也是有限
(3)分解质因数法 :先把每个数都写成几个质因数相乘的形式 ,
的。
再从这些质因数中找出这两个数公有的质因数 ,这些公有的质因
数的乘积就是这两个数的最大公因数;
(4)短除法 :先把这两个数公有的质因数按从小到大的顺序依
次作除数,连续去除这两个数,直到得出的两个商只有公因数 1 为
止,再把所有的除数相乘,所得的积就是这两个数的最大公因数。以
温馨提示:
求 12 和 18 的最大公因数为例:
约分的方法:
(1)逐步约分法。用分数
的分子和分母的公因数(1 除
12 和 18 的最大公因数是 2×3=6。
外)逐次去除分子和分母 , 直
3.求两个数的最大公因数的特殊情况:
(1)当两个数成倍数关系时,较小数就是它们的最大公因数;
到得出一个最简分数。
(2)一次约分法。用分数
(2)当两个数的公因数只有 1 时,它们的最大公因数就是 1。
的分子和分母的最大公因数
4.把一个分数化成和它相等 ,但分子和分母都比较小的分数 , 叫做约分。约分依据的是分数的基本性质。
去除分子和分母,即可得到最
简分数。
5.分子和分母只有公因数 1 的分数是最简分数。约分时,通常
要约成最简分数。
6.几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数 ,其中最小的一
温馨提示:
个,叫做这几个数的最小公倍数。
公因数只有 1 的两个数
7.求两个数最小公倍数的方法:
叫做互质数。
(1)列举法:先分别找出两个数的倍数 ,从中找出公倍数 ,再找出
最小的那个;
特别注意:
(2)筛选法:先找出两个数中较大数的倍数 ,从中圈出另一个数
一个数的倍数的个数是
的倍数,再看哪一个最小;
无限的,因此两个数的公倍数
(3)分解质因数法 :把每个数都写成几个质因数相乘的形式 ,其
的个数也是无限的,只有最小
中相同的质因数与各自独有质因数的乘积就是这两个数的最小公
公倍数,没有最大公倍数。
倍数;
特别提醒:
(4)短除法 :先把这两个数公有的质因数按从小到大的顺序依
利用公倍数和最小公倍
次作除数,连续去除这两个数,直到得出的两个商只有公因数 1 为
数可以解决生活中的很多问
止,再把所有的除数和最后所得的商连乘 ,所得的积就是它们的最
题, 如学生在排队的时候 , 每
小公倍数。以求 12 和 18 的最小公倍数为例:
排 5 人或 6 人都正好站完。
求一共有多少人,就是求 5 和
6 的公倍数;求最少有多少人,
12 和 18 的最小公倍数是 2×3×2×3=36。 8.同分母分数、同分子分数的大小比较方法:
就是求 5 和 6 的最小公倍数。
(1)分母相同的两个分数,分子大的分数比较大;
特别提醒:
(2)分子相同的两个分数,分母小的分数反而大。
在比较异分母分数的大
9.通分的意义及通分的方法:
(1)通分的意义 :把异分母分数分别化成和原来分数相等的同
小时 ,如果分母较大 , 且分数
的分子较小,这时可以化成同
分母分数,叫做通分。
分子分数进行比较。
(2)通分的方法 :通分时用原分母的公倍数作公分母 ,为了计算
简便,通常选用它们的最小公倍数作公分母 ,然后把各分数化成用
这个最小公倍数作分母的分数。
10.分数的大小比较:
比较异分母分数的大小 :先通分化成分母相同的分数 ,再比较
特别提醒:
大小。
分母如果只含有 2 和 5
五、掌握分数与小数的互化方法。
这两个因数,这样的分数可以
1.小数就是表示十分之几 ,百分之几,千分之几……的数 ,所以 可以先直接写成分母是 10,100,1000……的分数,再化简。
化成有限小数;分母如果含有
2 和 5 以外的质因数,这样的
2.小数化分数的规律:一位小数化分数,用 10 作分母,一位小数
分数就不能化成有限小数。
去掉小数点作分子;两位小数化分数,用 100 作分母,两位小数去掉
小数点作分子……把小数化成分数,能约分的都应约成最简分数。
3.分数化成小数的方法:
(1)分母是 10,100,1000……的分数化成小数 ,可以直接去掉分
母,看分母中有几个 0,有几个 0 就在分子中从右边起向左数出几
位,点上小数点;
(2)分母不是 10,100,1000……的分数化成小数 ,用分子除以分
母,除不尽时,要根据需要按“四舍五入”法保留几位小数。
(3)把带分数化成小数 ,方法与上面相同 ,带分数的整数部分作
为小数的整数部分,分数部分化成小数,作为小数的小数部分。
=+.=1 .4。 104． 如 1．．．．．．．．
5图形的运动(三)
一、认识图形的旋转,探索图形旋转的特征和性质,体会图 形旋转的基本要素。
1.旋转的含义:
温馨提示:
物体绕某一点或轴运动,这种运动现象称为旋转。
把钟面看作一个圆周 ,是 360
2.旋转的特征:
旋转中心的位置不变 ,所有边旋转的方向相同 ,旋转的角
度。钟面上有 12 个大格,每个大格
12=30(度),也就是说,指针 是 360÷
每走 1 个大格就旋转了 30 度。
度也相同;旋转后图形的形状、大小都没有发生变化,只是位置
变了。
3.把与钟表上指针的旋转方向相同的方向称为顺时针方
向,与钟表上指针的方向相反的方向称为逆时针方向。
4.图形旋转的性质:
温馨提示:
图形绕某一点旋转一定的度数,图形中的对应点、对应线
描述物体的旋转时 ,一定要说
段都旋转相同的度数,对应点到旋转点的距离相等,对应线段、
清旋转中心、旋转方向和旋转角
对应角都分别相等。
度。旋转后的图形与旋转前的图
5.旋转的三要素:
形相比较,每条边、每个点都旋转
(1)旋转中心:
了相同的角度 ,但图形的大小、形
物体旋转时所绕的点,也叫旋转中心。
状都没有发生改变。
(2)旋转方向:
顺时针方向或逆时针方向。
(3)旋转角度:
对应线段的夹角或对应顶点与旋转点连线的夹角的度
数。
6.描述图形旋转的方法:
易错点:用平移和旋转拼组图
图形绕哪个点按什么方向转动了多少度。
形时,要先观察和思考变化前后各
二、能在方格纸上进行旋转作图。
部分的位置,再确定位置改变的图
1.把一个简单图形旋转一定角度的画法: (1)找出原图形的几个关键点所在的位置;
形 是 如 何 通 过 平 移 或 旋 转得 到
的。
(2)确定关键点到旋转点的距离;
(3)确定关键点的对应点 ,对应点与旋转点所连线段和相
应关键点与旋转点所连线段形成的夹角和旋转的度数一致 ,
对应点到旋转点的距离与相应的关键点到旋转点的距离相
等;
(4)把描出的对应点按顺序连线。
2.图形旋转时,它的中心点、角上的点都可以作为旋转中 心,可根据实际需要来选择。哪一点在旋转过程中位置没有改
平 移 作 图 :① 选 好 基 本 图 案 ;②确定平移的方向 ;③确定平
变,就是绕那一点旋转的。
移的距离;④画出平移后的图形。
3.图形旋转 180 度时,顺时针和逆时针得到的结果是相同
的,所以可以不必注明旋转方向。
三、在具体的操作过程中探索多个图形拼组新图形的运
旋 转 作 图 :① 选 好 基 本 图
动变化,学会用图形变换解决实际问题。
案 ;②确定旋转中心 ;③确定旋转
1.用平移和旋转拼组图形时 ,先确定原来的每个图形在
角度和方向;④依次画出每次旋转 后的图形。
拼成的图形上的位置 ,再确定每个图形是如何通过平移或旋
转得到的。
2.在探究图形的运动时 ,要多角度思考 ,图形的运动有时
不只一种形式,有可能是多种运动相结合。
6分数的加法和减法
一、理解同分母分数加、减法的算理,掌握同分母分数加、
减法的计算方法。
1.分数加法的意义:与整数加法的意义相同,就是把两个数
合并成一个数的运算。
温馨提示:
2.分数减法的意义:与整数减法的意义相同,就是已知两个
同分母分数相加、减,分母不
加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算。
变,只把分子相加、减 ,计算的结
3.分数单位相同,也就是计数单位相同,计数单位相同的数
果要约成最简分数。
可以直接相加、减。
4.同分母分数加、减法的计算方法:
(1)同分母分数相加,只把分子相加,分母不变。用字母表示
= ; 是 +．．
温馨提示:
可以用验算的方法检验计
算结果是否正确。分数加、减法
(2)同分母分数相减,只把分子相减,分母不变。用字母表示
的验算方法与整数加、减法的验
是 -．=-． 。
算方法相同。
二、理解异分母分数加、减法的算理,掌握异分母分数加、
减法的计算方法。
1.异分母分数相加、减 ,先通分 ,把它们化成同分母分数 ,
再按照同分母分数加、减法的法则进行计算。
2.分子是 1 的分数相加、减的简便运算:
;(1) + = ．．
如: + = ．．
=
特别提醒:
(2) -．．;
=-
虽然实际生活中不会有分 子是 0 的情况,但是在计算过程 中有时会出现分子是 0 的情况,
如: - = ．．
=
分子是 0 的分数,它的分数值是 0。
例如:
(分子是 1 的分数相加、减,如果分母 a 和 b 是互质数,那么 计算结果一定是最简分数;如果分母 a 和 b 不是互质数,那么计
算结果一定不是最简分数,要约成最简分数。)
- = =0。
(3)一个分数如果由两个相邻自然数的积作分母,1 作分子, 形如
0 ．(a ), 为不等于的自然数．．．．．．．． ．．．那么可以把这个分数拆分
．,即成 -．．
= - ．．
.
三、掌握分数加减混合运算的运算顺序 ,能正确进行分数
加减混合运算。
1.分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的
顺序相同。有括号的,先算括号里面的,再算括号外面的;没有括
特别提醒:
号的,按从左往右的顺序依次进行计算。
假分数也可以作为分数计
2.异分母分数的混合运算:
算的最后结果 ,但一定要约成最
算式中如果没有括号,几个分数可以一次通分进行计算 ,也
简分数。
可以分步通分 ,分步计算 ;有括号的 ,要先将括号里的分数通分 ,
计算出结果,再与括号外面进行计算。
3.一个数连续减去几个分数 ,等于从这个数里减去这几个
分数的和。
4.在有括号的分数加减混合运算中 ,括号前是减号,去掉括
号后,原括号里的加、减运算符号要变成相反的运算符号 ;减号
后加括号,括号里的加、减运算符号也应和原来的运算符号相
易错点 :分数加减混合运算
反。如:
的运算顺序容易产生错误 ,改变
- - ．= ． -． +．=1+ ．．
- ． +．= - ． -．= 0 ． -．．= ．
算式的运算顺序时 ,一定要按照
运算定律和运算性质进行。
=1 ．
5.在计算的过程中,“1”可以化成任意一个在计算中需要的
分子和分母相同的分数,最后结果要约成最简分数。
四、理解整数加法的运算定律对于分数加法同样适用 ,并
能灵活运用这些运算定律进行一些分数加法的简便运算。
整数加法的交换律和结合律对于分数加法同样适用。
7
折线统计图
一、认识单式折线统计图,了解单式折线统计图的特点,能根 据需要用折线统计图直观地表示数据。
1.折线统计图 :先用一定的单位长度表示一定的数量 ,根据
温馨提示:
数量的多少描出各点,然后把各点用线段顺次连接起来。
折线统计图的特点 : 先根
2.折线统计图的作用 :既可以表示出数量的多少 ,又能反映
据数量的多少描出各点的位
出数量的增减变化。
置 , 然后把各点用线段顺次连
3.绘制折线统计图的方法:
接起来。观察折线统计图,各点
(1)画出横轴和纵轴 (补画统计图时 ,此步骤已给出 );(2)确定
反映的是数量的多少 , 折线反
一个单位长度表示数量的多少
( 补画统计图时 , 此步骤已给
映的是数量的增减变化。在实
出);(3)描点,描点时应注意先找准横轴上的点,再找准纵轴上相对 应的点,过两点分别作横轴、纵轴的垂线,两条垂线的交点就是所
际问题中 , 如果需要了解数量
的增减变化 , 选用折线统计图
要描的点,在交点处点上实心点 ;(4)用线段顺次连接所有点 ,并标
比较方便。
注数据;(5)标注好日期和标题。
折线陡 ,说明数量上升 (或
4.折线统计图的应用:
下降)得较快;折线平缓 ,说明数
可以根据折线统计图发现问题、解决问题 ,并进行合理的推
量上升(或下降)得较慢。
测。
连线时要用直尺 , 且顺次
二、认识复式折线统计图,了解复式折线统计图的特点,能根
连接 ,不能漏掉点 ,数据不要写
据需要用复式折线统计图直观地表示数据 ,并能对数据进行简单
在折线上。
的分析。
在表示路程和时间的有关
1.复式折线统计图 :如果在统计过程中存在两组 (或多组)数
行程问题的折线统计图中 , 折
据,且需要在一幅统计图中表示出这两组 (或多组)数据,就要用两
线上升 ,表示向目的地运动 ;折
种(或多种)不同颜色(或不同形式)的折线来表示不同数量的变化
线处于水平状态 , 表示在同一
情况,这种统计图就是复式折线统计图。
地点停留 ;折线下降 ,表示返回
2.复式折线统计图的特点:复式折线统计图不但能表示出各
出发地。
组数据的多少 ,数据的增减变化情况 ,而且便于比较各组相关数
复式折线统计图的最大优
据的差异和变化趋势。
势是便于比较两组数据的变化
3.复式折线统计图的绘制方法 :与单式折线统计图的绘制方
趋势 , 所以看图时要善于对比
法基本相同,只是用不同的折线表示不同的量,需标明图例。
观察。
8
数学广角——找次品
一、会用天平找次品,掌握“找次品”这类问题的解题方法 , 寻找解决问题的最优方案。
1.在找次品的活动中 ,可以通过天平演示 ,也可以不实际
温馨提示:
称量,利用天平平衡的原理找出次品。
“保证能”就是指每一条“可能
2.实验记录,发现规律:
的路径”都要考虑到 ,不能停留在
“运气好”的情况。
零件个数 分成的份数
每份的数量
保证能找出次品至 ．．． ．
少需要称的次数 ．
8
4
2,2,2,2
3
8
2
4,4
3
温馨提示:
“至少”就是指在保证一定能 找出次品的各种方法中 , 称量次
8 3 3,3,2 2
3.用天平找次品的最优策略(称量次数最少): (1)把待测物品平均分成 3 份;
数最少的那种方法。 1,
(2)不能平均分时 ,也应使多的一份与少的一份只相差
这样才能使称量的次数最少。
二、能利用“找次品”的数学方法解决生活中的实际问题。
用天平找次品时,所测物品数目与至少需要称的次数有以
下关系:
特别注意:
在称量找次品的过程中 , 有
要辨别的物品数目
保证能找出次品至少需要称的次数
时一次就能找到次品 , 但这是偶
2~3
1
然的情况,不具有一般性。
4~9
2
10~27
3
28~81
4
82~243
5
…… ……
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