超混沌系统的混合同步控制

第２７卷第６期　２０１１年１２月　大　学　数　学　ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｖｏ１．２７，Ｎｏ．６　Ｄｅｃ．２０１１　．超混沌系统的混合同步控制　刘永建　（玉林师范学院数学与信息科学学院，广西玉林５３７ｏｏｏ）　［摘　要］基于Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定性理论，提出了一种超混沌系统混合同步控制方法，给出并详细证明了　Ｒｏｓｓｌｅｒ超混沌系统实现自同步的充分条件以及控制律参数的取值范围，并构建了两个不同结构的Ｒｏｓｓｌｅｒ超　混沌系统的异结构快速同步的数学模型。数值仿真表明了所设控制器的有效性和方法的可操作性．　［关键词］Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定性；超混沌同步控制；混合同步控制　［中图分类号］Ｏ４１５．５　Ｅｘ献标识码］Ａ　［文章编号］１６７２—１４５４（２０１１）０６—００６５—０５　１　引　言　混沌是一种在确定性系统中所出现的类似随机而无规则的动力学行为．近年来，它已成为非线性科　学研究领域的热点问题．由于混沌系统具有内随机性，连续宽谱和对初始值极端敏感等特点，使其特别　适应于保密通信，而混沌同步是混沌保密通信中的一项关键技术．混沌同步从总体上说，属于混沌控制　的范畴，但由于混沌自身的特点，同步方法不完全和传统的以抑制混沌为主的控制方法相同．传统的混　沌控制一般是将系统稳定在不稳定的周期轨道上，混沌同步则是实现两个系统的混沌状态的完全重构．　近年来，经过学者们的多方努力，已经提出许多混沌同步控制的方法＿】　］．目前具有代表性的混沌系统　的控制与同步方法有反馈控制、自适应控制、主动控制、脉冲控制等＿３“］．　含有多个正Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数的四阶或四阶以上的混沌系统称为超混沌系统．超混沌系统具有更复　杂的动力学行为．一般低维系统的破译方法如回归映像，Ｓｈｏｒｔ等提出相空间重构和非线性预测等方法　很难破译采用超混沌加密的信号．因此，研究超混沌系统同步更加具有实际意义．所以人们把混沌系统　的同步控制方法和理论应用到超混沌系统同步＿５］，并取得很好的效果．本文以著名的Ｒｏｓｓｌｅｒ超混沌　系统　１一一（５Ｃ２＋－ｚ３），　・　ｚ　一　ｚ　—卜　．　Ｉ　１　　ｌ’　‘ｚ　十　（１）　１　．　１　ｚ　３２３—３＋Ｘ１　３，　．　‘ｚ　一一　ｚ。十　为例，结合混沌控制中的非线性反馈控制方法给出了一种超混沌混合同步控制的方法，即在响应系统的　耦合函数中同时设计线性与非线性反馈函数，分别研究了Ｒｏｓｓｌｅｒ超混沌系统自同步以及两个异结构　Ｒｏｓｓｌｅｒ超混沌系统之间的同步问题．笔者先从理论上进行分析证明，再通过数值试验进行仿真，结果表　明这种方法都是非常有效的．　［收稿日期］２００９—０２—２５　［基金项目］国家自然科学基金（１０８７１０７４）；玉林师范学院重点项目（２０１１ＹＪＺＤ１２）　６６　大　学　数　学　第２７卷　２超混沌Ｒｏｓｓｌｅｒ系统自同步控制　、●●●　●●●　●●●Ｊ●，，Ｊ，●　㈣㈣锄。器　、　．首先研究具有相同参数、不同初值的两个Ｒｏｓｓｌｅｒ超混沌系统之间的同步问题系统（１）Ｎ＋ｉＥ的　Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数　１—０．１０９，　２—０．０２４，超混沌吸引子如图１所示．　～　ｙ　（ａ）ｘ－ｙ—　空间　（ｂ）：ｖ－ｙ一　空间　图１　系统（１）超混沌吸引子　设（１）式为驱动系统，受控响应系统为　、，，，，，１，；，，，１，●，●，１，，●　１一一（　２＋Ｙ。）＋　ｌ（￡），　＼　ｚ—　＋丢　ｚ＋　＋ｕ２㈤，　、　多３—３＋　１　３＋乱３（￡），　一一　（２）　＋　㈤，　其中“　（￡）（ｉ一１，２，３，４）为系统同步控制变量．设响应系统（２）和驱动系统（１）之间的状态误差为　ｅｉ—Ｙｉ～Ｘｉ（ｉ一１，２，３，４），误差向量Ｐ一（Ｐ　，Ｐｚ，　，Ｂ　）　．由（２）式减去（１）式，获得误差系统方程　ｆｊ　：　一一　Ｐ２一Ｐ１＋寺　２＋ｅ４＋　２（　），　＋　１　。一　。　。一ｚ　ｚ。＋　。（　），　３　ｌ　一　＋　由此可将超混沌Ｒｏｓｓｌｅｒ系统（１）与（２）的同步问题转化为误差系统（３）在原点（Ｏ，０，０，０）的稳定性问　题．若选择适当的控制律ｌｌ一（“　，　，　。，　）　使误差系统（３）稳定，则响应系统（２）与驱动系统（１）实现　同步．　定理１对于驱动系统（１）和响应系统（２），若系统（２）的控制律取　）一ｅ３—　１，　）一ｐｅ　２一ｅ４，　）一一　３一Ｐ３（　１＋ｚ１）一Ｐ１ｚ３，　（４）　）一　＋　，　则当控制器参数　＜一丢，口＜一１，驱动系统（１）和响应系统（２）以指数速率　近同步，即对于任意初　始值（ｚ１（０），ｚ２（Ｏ），３７。（Ｏ），ｚ４（Ｏ））。ｒ和（　ｌ（０），　２（０），　３（Ｏ），Ｙ４（Ｏ））　有　ｌｉｍ　ｌ　ｅ　Ｉ＝＝＝０．　证将控制律（４）式代人误差系统（３）式并整理，得　第６期　刘永建：超混沌系统的混合同步控制　６７　ｅｌ一一ｅｌ—ｅ２，　：～＋　．　（５）　ｅ３一——ｅ３・　・　２０ｑ＋１　一—　一　・　为获得控制器参数Ｐ，ｑ的取值范围，构造如下Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数　Ｖ一妻（Ｐ　＋Ｐ；＋Ｐ；＋Ｐ　）．　（６）　将（６）式沿误差系统（５）求导，同时综合（５）式，有　＝＝＝一ｅ；＋（　＋　１）　；一ｅ；＋（ｑ＋　）ｅ；．　显然，当Ｐ＜一寺，ｇ＜一　时，必有　＜ｏ・误差系统（３）以指数速率收敛于全局平衡点ｅ一０，即驱动　系统（１）和响应系统（２）实现同步．　说明１　由于在响应系统（２）中同时引入线性和非线性反馈函数，因此把这种同步控制方法称为超　混沌系统的线性与非线性混合同步控制．　说明２　当初值条件给定，控制参数Ｐ，ｑ直接影响状态变量３７　与Ｙ　的同步速度．　３超混沌Ｒｏｓｓｌｅｒ系统异结构同步控制　用上述方法还可以实现两个不同结构超混沌系统的异结构同步．选取如下不同结构的Ｒｏｓｓｌｅｒ超　混沌系统　’引：　ｌ一一（ｚ２＋ｚ３），　二　一　＋　，　（７）　３—３＋ｂ１　１＋ｂ２　２＋ｂ３　３＋ｂ４　４＋２１　３，　一一　１　。十　　．１　’　其中ｂ　，ｂｚ，ｂ。，ｂ　为参数．　当ｂ　一ｂ　一０，ｂ２一ｂ。＝一０．３时，系统（７）有正Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数　一０．０９８，　２：：＝０．０３５，此时超　混沌吸引子如图２所示．　一　（ａ）ｙ－ｚ—　空间　（ｂ）ｘ－ｚ—Ｗ空间　图２　系统（７）（６　：ｂ　一０，ｂ　一ｂ。一一０．３）超混沌吸引子　以（７）式作为驱动系统，（２）式为响应系统．设系统误差变量为ｅ　一Ｙ　—　（ｉ：＝＝１，２，３，４），误差向　量ｅ一（ｅ，，ｅｚ，ｅ。，ｅ　）　，则两系统的同步误差系统可描述为　６８　大　学　数　学　ｅ１一一（ｇ２＋ｅ３）＋　１（　），　第２７卷　ｚ—ｅ　＋丢　ｚ＋　￣ｕ２㈤，　．　（８）　３一一ｂｌ　１一ｂ２　２一ｂ３　３一ｂ４　４一Ｙ１Ｙ３一Ｚｌ　３＋　３（　），　一专　ｅ　￣ｕ４㈤．　一　类似前面的讨论，构造Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数　１（Ｐ｝＋ｅ；＋Ｐ；＋Ｐ　），　也可以得到（２）和（７）异结构同步的结果．　定理２　对于驱动系统（７）和响应系统（２），若系统（２）的控制律取　）　ｅ３一ｅ１，　）一ｐｅ　２一　４，　）一ｂ１ｚｌ＋ｂ２　２＋ｂ３ｚ３＋ｂ４　４一ｅ３一幻（Ｐｌ＋ｚ１）一ｅｌｚ３，　）一　＋　，　（９）　则当控制器参数Ｐ＜一　１，ｑ＜一　时，驱动系统（７）和响应系统（２）以指数速率渐近同步，即对于任意　初始值（ｚ１（０），ｚ２（Ｏ），ｚ。（Ｏ），ｚ４（Ｏ））　和（　１（０），Ｙ２（０），Ｙ。（０），　４（０））　，有　ｌｉｍ　　ｌＩ一０．　证Ｐ＜一　１将控制律（９）式代人误差系统（８）式，整理可得到形式上和（５）式一致的误差系统．显然，当　，ｑ＜一　１时，误差系统（５）以指数速率收敛于全局平衡点ｅ一０，即驱动系统（７）和响应　系统（２）实现同步．　说明３定理２的方法也可以应用到其它超混沌系统的异结构同步控制问题．　４仿真实例　为了验证上述理论分析的正确性和有效性，我们采用Ｍａｔｌａｂ软件对以上讨论的结果进行数值仿　真．设驱动系统（１）仿真初始值取Ｉｚ　（Ｏ）一一２，ｚ。（０）一１，　。（Ｏ）一７，　（０）一一２，响应系统（２）初始　值取　１（Ｏ）一３，Ｙ２（Ｏ）一２，　。（Ｏ）：８，３｝　（Ｏ）一３，控制器参数取　＝＝：一１，ｑ一一０．５，Ｒｏｓｓｌｅｒ超混　沌系统自同步误差收敛曲线如图３（ａ）所示．设驱动系统（７）初始值取　（０）一一１，　ｚ（Ｏ）一一２，　。（Ｏ）　＝＝＝６，　（Ｏ）一一６，响应系统（２）初始值取Ｙ　（Ｏ）＝一３，Ｙ　（Ｏ）一１，Ｙ。（Ｏ）：７，Ｙ　（０）一一２，控制器　参数取Ｐ＝一１，ｑ＝＝＝一０．５，Ｒｏｓｓｌｅｒ超混沌系统的异结构同步误差收敛曲线如图３（ｂ）所示．仿真结果　表明，控制律（４）能使Ｒｏｓｓｌｅｒ超混沌系统（１）和（２）快速单调同步，控制律（９）也能使Ｒｏｓｓｌｅｒ超混沌（２）　和（７）快速单调同步．同时由于最终误差ｅ皆趋近于零，因此控制律　也将趋近于零，从而不会改变响应　系统（２）的混沌动力学特性．　（ａ）自同步误差曲线　图３　（ｂ）异结构同步误差曲线　第６期　口　刘永建：超混沌系统的混合同步控制　］］］］］　６９　５　结　论　本文以稳定性理论为基础，针对著名的Ｒｏｓｓｌｅｒ超混沌系统，提出了超混沌系统混合，同步控制方　法，并证明了该方法能够实现同、异结构超混沌系统精确同步．数值仿真结果表明，所设计的混沌控制器　有效性和鲁棒性．　文中的理论分析和数值试验的结果一致，为超混沌同步控制的实际应用提供了理论基础．在同一个　系统中，选取不同的控制器分别能够实现系统的自同步、异结构同步．在实际应用中特别是超混沌系统　的同步应用中，文中提出的设计同步控制器方法设计的控制器能够使不同结构的驱动系统与响应系统　之间实现同步，使得超混沌系统同步更具有实际意义．　［参　考　文　献］　陈志盛，孙克辉，张泰山．混沌系统的非线性反馈同步控制ｌ－Ｊ］．物理学报，２００５，５４（６）：２５８０—２５８３．　朱夜明，乔宗敏．Ｃｈｅｎ混沌系统的非线性全局同步控制ＥＪ］．大学数学，２００８，２４（３）：４９—５１．　陈关荣，吕金虎．Ｌｏｒｅｎｚ系统族的动力学分析、控制与同步Ｉ－Ｍ］．北京：科学出版社，２００３．　黄润生，黄浩．混沌控制及其应用［Ｍ］．武汉：武汉大学出版社，２００３．．　闵富红，王执铨．新型四维超混沌系统广义投影同步及自适应同步［Ｊ］．系统工程理论与实践，２００８（６）：　１０Ｏ一１Ｏ５．　Ｉ－６］　Ｒｏｓｓｌｅｒ　０　Ｅ．Ａｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｈｙｐｅｒｃｈａｏｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ　Ｌｅｔｔ，１９７９，７１Ａ：１５５—７．　［７］　Ｎｉｋｏｌｏｖ　Ｓ，Ｃｌｏｄｏｎｇ　Ｓ．Ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅ　ｏｆ　ｒｅｇｕｌａｒ，ｃｈａｏｔｉｃ　ａｎｄ　ｈｙｐｅｒｃｈａｏｔｉｃ　ｂｅｈａｖｉｏｒ　ｉｎ　ａ　ｆａｍｉｌｙ　ｏｆ　ｍｏｄｉｆｉｅｄ　Ｒｏｓｓｌｅｒ　ｈｙｐｅｒｃｈａｏｔｉｃ　ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｃｈａｏｓ，Ｓｏｌｉｔｏｎｓ　ａｎｄ　Ｆｒａｅｔａｌｓ，２００４，２２：４０７—４３　１　Ｅ８］　Ｎｉｋｏｌｏｖ　Ｓ，Ｃｌｏｄｏｎｇ　Ｓ．Ｈｙｐｅｒｃｈａｏｓ—ｃｈａｏｓ—ｈｙｐｅｒｃｈａｏｓ　ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ　ｉｎ　ｍｏｄｉｆｉｅｄ　Ｒｏｓｓｌｅｒ　ｓｙｓｔｅｍｓ１，Ｊ］．Ｃｈａｏｓ，Ｓｏｌｉｔｏｎｓ　ａｎｄ　Ｆｒａｃｔａｌｓ，２００６，２８：２５２—２６３．　Ｃｏｍｂｉｎｅｄ　Ｓｙｎｃｈｒ０ｎｉｚａｔｉＯｎ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｆ　Ｈｙｐｅｒ－ｃｈａｏｔｉｃ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　Ｌ　Ｕ　Ｖｏｎｇ－ｊｉａｎ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｙｕｌｉｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙｕｌｉｎ，Ｇｕａｎｇｘｉ　５３７０００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｌｙａｐｕｎｏｖ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｔｈｅｏｒｙ，ａ　ｃｏｍｂｉｎｅｄ　ｓｙｎｃｈｒ０ｎｉｚａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｈｙｐｅｒ—ｃｈａｏｔｉｃ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｉｓ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ；ｔｈｅ　ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｒａｎｇｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ’ｓ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｆｏｒ　ｓｅｌｆ＿ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｒｏｓｓｌｅｒ　ｈｙｐｅｒ—　ｃｈａｏｔｉｃ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ａｒｅ　ｄｅｒｉｖｅｄ　ａｎｄ　ｃａｒｅｆｕｌｌｙ　ｐｒｏｖｅｄ．　Ａｎｄ　ｔｈｅ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ｄｉｖｅｒｓｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ　ｏｆ　Ｒｏｓｓｌｅｒ　ｈｙｐｅｒ－ｃｈａｏｔｉｃ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ．Ｔｈｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ　ａｌｓｏ　ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ　ｔｈｅ　ｅｆｆｅｖｔｉｖｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｍａｉｎ　ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｍａｎｅｕｖｅｒａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｏｂｔａｉｎｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．　．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｔｈｅ　Ｌｙａｐｕｎｏｖ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ；ｈｙｐｅｒ－ｃｈａｏｔｉｃ　ｃｈａｏｔｉｃ　ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ　ｃｏｎｔｒｏｌ；ｃｏｍｂｉｎｅｄ　ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ　ｃｏｎｔｒｏ１