向量基础知识

1.数乘： 叫作向量的数乘，记作： 规定：（1）为实数， a为向量。

（2）a仍为一个

（3）方向：①当>0, a与a方向 . ②当<0, a与a方向 .

③当=0, a= . ∴a与a一定 .

(4)长度︱a︱= ;

2.两个向量共线的充要条件：a∥b

（1）方向：①当>0, b与a方向 . ②当<0, b与a方向 .

③当=0, b= . ∴b与a一定 .

(2)长度 ︱b︱= . 3.平面向量基本定理：

若e1、e2是同一平面内的两个 的向量，那么对于这一平面内的任一向量a， 一对实数1，2，使得a=1e1+ 2e2．其中e1, e2称为 . 4.向量的夹角

(1) 向量a、b的夹角范围为

当=0°时，a与b ，当=180°时，a与b ，当=90°时，a与b ， 5.向量的坐标运算

（1）分别取与X轴、Y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对一个向量a，有且公有一对实数 x,y, 使得 ，则有序实数对（x,y）称为向量a的坐标。 记作: 向量a=

(2)在直角坐标平面中,以原点O为起点的向量OA,则向量OA终点A的坐标就是向量OA的坐标.反之,向量OA的坐标就是 ，两者是一一对应的关系。 （3）向量的坐标运算

1

①加、减、数乘：若a(x1,y1)，b(x2,y2)则ab 。ab 。a 。

②已知点A(x1,y1)，点B(x2,y2)，则向量AB= 。

③平行判定：（向量法）a∥b （坐标法）a∥b ④垂直判定：（向量法）a⊥b （坐标法）a⊥b 6．向量的数量积：

（1）．向量的夹角：

已知两个非零向量a与b，作OA=a, OB=b,则∠AOB= （001800）叫做向量a与b的夹角。

（2）．两个向量的数量积：

①已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·b= ． 其中︱b︱cos称为 的投影．特别的：a ·a= ②当[0,90)时，a·b ，当=90°时，a·b ， 当(90,180]时，a·b ，

③当a·b=ab时，则 ， 当a·b=—ab时，则 由上可知： a·b 7.小结归纳

①若a=（x1,y1）, b=（x2,y2）则a ·b= ; ②向量垂直的判定a⊥b  （a，b为非零向量）; ③向量平行的判定a∥b  ④求向量的夹角：cos= = ． ⑤求向量的模： 若a=(x,y) ，则︱a︱= = ;

2