2004考研数三真题及解析

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 若limsinx(cosxb)5，则a =

x0exa，b =.

(2) 函数f(u,v)由关系式f[xg(y),y]xg(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)0，

2f则uv.

11x2xe,x22，则2f(x1)dx(3) 设f(x)1211,x2.

222(4) 二次型f(x1,x2,x3)(x1x2)(x2x3)(x3x1)的秩为

. .

(5) 设随机变量X服从参数为λ的指数分布, 则P{XDX}22(6) 设总体X服从正态分布N(μ1,σ), 总体Y服从正态分布N(μ2,σ), X1,X2,Xn1

和Y1,Y2,Yn2分别是来自总体X和Y的简单随机样本, 则

22n2n1(XiX)(YjY)j1Ei1n1n22.

二、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 函数f(x)|x|sin(x2)在下列哪个区间内有界( ) 2x(x1)(x2)(B) (0 , 1).

(C) (1 , 2).

(D) (2 , 3).

(A) (1 , 0).

1f(),x0(8) 设f (x)在(,)内有定义，且limf(x)a，g(x)x，则( )

x0,x0 (A)x0必是g(x)的第一类间断点. (B) x0必是g(x)的第二类间断点. (C) x0必是g(x)的连续点.

(D) g(x)在点x0处的连续性与a的取值有关.

Born to win

(9) 设f(x)x(1x), 则 ( )

(A) x0是f(x)的极值点, 但(0,0)不是曲线yf(x)的拐点. (B) x0不是f(x)的极值点, 但(0,0)是曲线yf(x)的拐点. (C) x0是f(x)的极值点, 且(0,0)是曲线yf(x)的拐点. (D) x0不是f(x)的极值点, (0,0)也不是曲线yf(x)的拐点. (10) 设有下列命题：

① 若

n1(u2n1u2n)收敛，则un收敛.

n1 ② 若

n1un收敛，则un1000收敛.

n1

un11，则un发散. ③ 若limnunn1 ④ 若

n1(unvn)收敛，则un，vn都收敛.

n1n1则以下命题中正确的是( )

(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④

(11) 设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)0,f(b)0，则下列结论中错误的是( )

(A) 至少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)>f(a). (B) 至少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)> f(b). (C) 至少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)0. (D) 至少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)= 0.

(12) 设n阶矩阵A与B等价, 则必有( )

(A) 当|A|a(a0)时, |B|a. (B) 当|A|a(a0)时, |B|a. (C) 当|A|0时, |B|0. (D) 当|A|0时, |B|0.

(13) 设n阶矩阵A的伴随矩阵A0, 若ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是非齐次线性方程组 Axb的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax0的基础解系( ) (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.

* Born to win

(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.

(14)设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的α(0,1), 数uα满足P{Xuα}α,

若P{|X|x}α, 则x等于( ) (A) uα. (B) u21α2. (C) u1α. (D) u1α.

2三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分8分)

1cos2x). 求lim(2x0sin2xx(16) (本题满分8分)

求

(Dx2y2y)d，其中D是由圆x2y24和

(x1)2y21所围成的平面区域(如图).

(17) (本题满分8分)

设f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足

a证明：

xf(t)dtg(t)dt，x  [a , b)，f(t)dtg(t)dt.

aaabbxbbaxf(x)dxaxg(x)dx.

(18) (本题满分9分)

设某商品的需求函数为Q1005P，其中价格P(0,20)，Q为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性Ed(Ed> 0)； (II) 推导

dRQ(1Ed)(其中R为收益)，并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时， dP降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分9分) 设级数

x4x6x8(x) 242462468的和函数为S(x). 求：

(I) S(x)所满足的一阶微分方程；(II) S(x)的表达式. (20)(本题满分13分)

Born to win

TTTT设α1(1,2,0), α2(1,α2,3α), α3(1,b2,α2b), β(1,3,3),

试讨论当a,b为何值时,

(I) β不能由α1,α2,α3线性表示;

(II) β可由α1,α2,α3唯一地线性表示, 并求出表示式;

(III) β可由α1,α2,α3线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本题满分13分) 设n阶矩阵

1bbb1b A .

bb1(I) 求A的特征值和特征向量; (Ⅱ) 求可逆矩阵P, 使得PAP为对角矩阵. (22) (本题满分13分)

设A，B为两个随机事件,且P(A)1111, P(B|A), P(A|B), 令 432A发生，1,1,B发生，X Y

0，A不发生，0，B不发生.求

(I) 二维随机变量(X,Y)的概率分布; (II) X与Y的相关系数 ρXY; (III) ZXY的概率分布. (23) (本题满分13分)

设随机变量X的分布函数为

221,x，F(x;,) x0，x，其中参数α0,β1. 设X1,X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本,

(I) 当α1时, 求未知参数β的矩估计量; (II) 当α1时, 求未知参数β的最大似然估计量;

Born to win

(III) 当β2时, 求未知参数α的最大似然估计量.

Born to win

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题

(1)【答案】a1,b4

【详解】本题属于已知极限求参数的反问题. 方法1：根据结论：limf(x)＝A，(1) 若g(x)0，则f(x)0；(2) 若f(x)0，g(x)且A0，则g(x)0

因为

sixnn(cxobs)0，所以(cxobs)5，且lismixxx0x0ealimx0lim(exa)0(否则根据上述结论(2)给极限是0，而不是5)，

)由 lime(ax0xx0leixmx0alima1得a = 1. 0

极限化limsinxx(cosxb)等价无穷小lim(cosxb)1b5，得b = 4.

x0ex1x0xsinx(cosxb)5，其中lim0，解出

x0exa因此，a = 1，b = 4.

方法2：由极限与无穷小的关系，有

ex(5)(cosxb)sinxa,

5ex(5)(cosxb)sinx(cosxb)sinxlimexlim101 上式两端求极限，alimx0x0x055(5)(ex1)把a = 1代入，再求b，bcosx，两端同时对x0取极限，得

sinx(5)(ex1)blim(cosx)

x0sinx(5)(ex1)(5)xlimcosxlim1lim154 x0x0x0sinxx因此，a = 1，b = 4.

Born to win

(2)【答案】 g(v) g2(v)【详解】应先写出f (u , v)的表达式，再求偏导数

令uxg(y)，vy，从而：xuu，于是由f[xg(y),y]xg(y)， g(y)g(v)推知 f (u , v) =

ug(v)， g(v)f1g(v)f12f所以 ， 2ug(v)uvvuvg(v)g(v)

(3)【答案】【详解】

方法1：作积分变换，令x1t，则x:1 2112t:1 221212所以

212f(x1)dx12122112f(t)dt＝f(t)dt1(1)dt

212121211112xxedx1(1)dx21exdx2(1)ex2222211110.

222(也可直接推出

1212xedx0，因为xexdx积分区间对称，被积函数是关于x是奇

x212122函数，则积分值为零) 方法2：先写出的f(x1)表达式

1113x12(x1)2x1e,x1(x1)e,x2222f(x1)即：f(x1)

31,x111,x22所以

212f(x1)dx(x1)e3212(x1)2dx3(1)dx

2321122111113311(x1)2(x1)244(ee)012ed(x1)2e. 12222222222

(4)【答案】 2.

Born to win

【详解】

222方法1：因为f(x1,x2,x3)(x1x2)(x2x3)(x3x1)

2x12x22x32x1x22x1x32x2x3

由二次型f(x1,x2,222,xn)aijxixj中，aijaji，所以二次型对应的矩阵的

i1j1nni行,j列元素是xi与xj乘积项系数的一半，其中ij.

121于是题中二次型的矩阵为A121, 由初等变换得

1121211121121行的(2)倍加到2行,2行互换2110332行(1)3行033A1， 1行的(1)倍加到3行112033000从而 r(A)2, 由二次型的矩阵的秩等于二次型的秩，知二次型的秩为2.

222方法2：因为f(x1,x2,x3)(x1x2)(x2x3)(x3x1)

2x12x22x32x1x22x1x32x2x3 2(x1其中y1x1222113322x2x3)2(x2x3)22y1y2, 222211x2x3, y2x2x3. 22

2x122x222x322x1x22x1x32x2x3对x1配方2(x12x1x2x1x3)2x222x322x2x3111212222(x1x2x32)xxxx2x2x32 x2x32323222221132322(x1x2x3)2x2x33x2x3

22221132(x1x2x3)2(x2x3)2

222二次型的秩r(f)=矩阵的秩r(A)=正负惯性指数之和pq，所以此二次型的秩为2.

(5) 【答案】

1 e【详解】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算.

Born to win

指数分布的概率密度为

x1e,若x0f(x)，其方差DX2.

若x00于是，由一维概率计算公式，PaXb P{X

(6)【答案】.

2

bafX(x)dx，有

1DX}=P{X}1exdx=ex11 e【详解】根据公式E(XY)E(X)E(Y)和样本方差是总体方差的无偏估计量， 又X1,X2,Xn1和 Y1,Y2,Yn2分别是来自总体简单随机样本，X和Y都服从正态分布

1n11n122(XiX)]D(X)，E[(YiY)2]D(Y)2. 即是E[n1i1n1i1所以有E[(Xi1n1iX)]n1， E[(YiY)2]n12

22i1n1对于题给式子将分子分离出来即可出现上式，也就不难求出结果.

n2n122(XX)(YY)jin1n21i1j12EE[(XiX)]E[(YjY)2]

n1n22i1n1n22j11[(n11)2(n21)2]2,故应填 σ2.

n1n22

二、选择题 (7)【答案】(A) 【详解】

方法1：如果f(x)在(a,b)内连续，且极限limf(x)与limf(x)存在，则函数f(x)在

xaxb(a,b)内有界.

当x  0 , 1 , 2时f(x)连续，而

Born to win

x1limf(x)limx1xsin(x2)sin(12)sin3，

x(x1)(x2)2(11)(12)218x0limf(x)limx0xsin(x2)sin(02)sin2， 22x(x1)(x2)(01)(02)4xsin(x2)sin(02)sin2，

x(x1)(x2)2(01)(02)24x0limf(x)limx0limf(x)limx1x1xsin(x2)sin(12)lim， 22x1x(x1)(x2)(x1)(12)xsin(x2)sin(x2)1limlim，

x2x2x(x1)(x2)2x2(x2)2limf(x)limx2x2所以，函数f (x)在(1 , 0)内有界，故选(A).

方法2：因为limf(x)存在，根据函数极限的局部有界性，所以存在0，在区间[,0)x0上f(x)有界，又如果函数f (x)在闭区间[a , b]上连续，则f (x)在闭区间[a , b]上有界，根据题设f(x)在[1,]上连续，故f(x)在区间上有界，所以f(x)在区间(1,0)上有界，选(A).

(8)【答案】 (D) 【详解】考查极限limg(x)是否存在，如果存在，是否等于g(0)，通过换元ux01， x可将极限limg(x)转化为limf(x).

x0x因为 limg(x)limf()ulimf(u)= a，又g(0)0，

x0x0u1x1x所以， 当a0时，limg(x)g(0)，即g(x)在点x0处连续，

x0当a0时，limg(x)g(0)，即x0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在

x0点x0处的连续性与a的取值有关，故选(D).

(9) 【答案】C

【详解】由于是选择题，可以用图形法解决，也可用分析法讨论.

11方法1：由于是选择题，可以用图形法解决, 令(x)x(x1)，则(x)x，

242 Born to win

是以直线x111为对称轴，顶点坐标为,，开口向上的一条抛物线，与x轴相224交的两点坐标为0,0,1,0，yf(x)(x)的图形如图.

点x0是极小值点；又在点(0,0)左侧邻近曲线是凹的，右侧邻近曲线是凸的，所以点(0,0)是拐点，选C.

方法2：写出yf(x)的分段表达式： f(x)x(1x),1x0,

x(1x),0x1从而f(x)12x,1x02,1x0, f(x),

0x10x112x,2,x0x0limf(x)lim12x10，所以0x1时，f(x)单调增， x0x0limf(x)lim12x10，所以1x0时，f(x)单调减， 所以x0为极小值点.

当1x0时, f(x)20，f(x)为凹函数； 当1x0时,

f(x)20，f(x)为凸函数, 于是(0,0)为拐点.

(10)【答案】(B)

【详解】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性. ①是错误的，如令un(1)，limun0，所以

nnn1un发散，而

(un12n1u2n)1111收敛.

②是正确的，因为级数

n1un1000比级数un少了前1000项，改变、增加或减少级

n1数的有限项，不改变级数的敛散性，所以这两个级数同敛散.

Born to win

un1un11，从而有lim③是正确的，因为由lim1，于是正项级数un在项数

nununn1n充分大之后，通项严格单调增加，故limun0，从而limun0，所以

nnn1un发散.

11④是错误的，如令un,vn，显然，un，vn都发散，

nnn1n1而

1111(uv)nnnnnnn1收敛. 故选(B).

(11)【答案】(D) 【详解】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，或应用举例法找出错误选项. 方法1：举例说明(D)是错误的. 例：f(x)4x,1x1，

2f(1)2xx120,f(1)2xx120.但在[1,1]上f(x)30.

方法2：证明(A)、(B)、(C)正确.

由已知f(x)在[a,b]上连续，且f(a)0,f(b)0，则由介值定理，至少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)0，所以选项(C)正确；

另外，由导数的定义f(a)limxaf(x)f(a)0，根据极限的保号性，至少存

xa在一点x0(a,b)使得

同理，f(b)limxbf(x0)f(a)0，即f(x0)f(a)，所以选项(A)正确.

x0af(b)f(x)根据极限的保号性，至少存在一点x0(a,b)0，

bx使得f(x0)f(b). 所以选项(B)正确，故选(D).

(12)【答案】(D ) 【详解】

方法1：矩阵等价的充分必要条件：矩阵A与B等价A,B是同型矩阵且有相同的秩,故

由A与B等价，知A与B有相同的秩.

因此，当|A|0时, r(A)n, 则有r(B)n, 即|B|0, 故选(D).

方法2：矩阵等价的充分必要条件：A与B等价存在可逆P,Q，使得PAQB. 两边

Born to win

取行列式，由矩阵乘积的行列式等于行列式的积，得PAQPAQB. P,Q可逆，由矩阵A可逆的充分必要条件：A0，故P0Q0，但不知具体数值.由

PAQB，知A0时，B不能确定.但A0有B0.故应选(D).

方法3：由经过若干次初等变换变为矩阵的初等变换对矩阵的行列式的影响有：

(1)A中某两行(列)互换得B ，则BA. (2)A中某行(列)乘k(k0)得B，则BkA. (3)A中某行倍加到另一行得B，则BA.

又由A与B等价，由矩阵等价的定义：矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，知BkA.

故当A0时，BkA0，虽仍不等于0，但数值大、小、正负要改变，但

|A|0，则B0，故有结论：初等变换后，矩阵的行列式的值要改变，但不改变行

列式值的非零性，即若|A|0B0，若A0B0.故应选(D).

(13)【答案】(B)

【详解】由定理：若x1,x2是Axb的解，则x1x2是对应齐次方程组Ax0的解，及

12，得120是Ax0的解.由齐次线性方程组有非零解的充要条件，知r(A)n.

A*0,由伴随矩阵的定义，知A中至少有一个代数余子式Aij0,即A中有n1子式不为

零，由秩(A)r的充要条件是A的非零子式的最高阶为r,故r(A)n1,再由上面的

r(A)n，得r(A)n1，故基础解系所含向量个数为n(n1)1 ，故选(B).

(14)【答案】(C)

【详解】利用正态分布概率密度函数图形的对称性，对任何x0有

PXxPXx1PXx. 或直接利用图形求解. 2方法1：由标准正态分布概率密度函数的对称性知，P{Xu}，于是

11P{Xx}P{Xx}P{Xx}P{Xx}2P{Xx}

Born to win

即有 P{Xx}方法2：

1，可见根据分位点的定义有xu1，故应选(C). 22y f(x) PXu

f(x) y PXx

1 2O O 图一 图二

x x 如图一所示题设条件.图二显示中间阴影部分面积，P{Xx}.两端各余面积

1，所以P{Xu1}，答案应选(C). 22

三、解答题

(15)【详解】求“”型极限的首要步骤是通分，或者同乘、除以某一式以化简.

1cos2xx2sin2xcos2x等价x2sin2xcos2xlim(22)通分limlim 224x0sinxx0x0xxsinxxsinxx212121xsin2x2xsin4xxsin2x4lim42lim 洛=lim43x0x0x0x4xx4212xsin4x2sin22x等2(2x)241cos4x2limlimlim. 洛lim2x0x0x06x2sin2x2xx06x26x334x

(16)【详解】利用对称性与极坐标计算.

方法1：令D1{(x,y)|x2y24},D2{(x,y)|(x1)2y21}，根据二重积分的极

坐标变换：D{(x,y)|,r1rr2}，则：

Dfx,ydfrcos,rsinrdr

r1r2 Born to win

D1x2y2d化为极坐标：D1{(x,y)|x2y24}{(x,y)|02,0r2}

2020202所以

D1x2y2ddrcosrsinrdr2222dr2dr；

0D23x2y2d化为极坐标：D2{(x,y)|(x1)2y21}{(x,y)|,0r2cos}

22所以

D2xydd222322cos0rcosrsinrdrd22222322cos0r2dr

所以

Dx2y2dx2y2dx2y2d

D1D220d322rdr202d2cos2rdr020rrd3032323232cosd

033388cos8822d221sin2dsin

3233323288sin16821632162sin2(32) 33333339923区域D关于x轴对称，

yd中被积函数y为y的奇函数，根据区域对称性与被

D积函数的奇偶性：设fx,y在有界闭区域D上连续，若D关于x轴对称，fx,y对

y为奇函数，则fx,yd0，所以yd0

DD所以

2222(xyy)dxydydDDD16(32). 9方法2：

(Dx2y2y)dx2y2dyd2DDD上半x2y2d0

22极坐标变换2[203rr322drdrdrdr]2[02cos23223022d]

2cos888cos388161sin2dsin 2d33323323 Born to win

161616sin3sin(32). 33392

(17)【详解】令F(x)（，G(x)fx）g（x）所以 G(x)aF(t)dt. 因为已知af(t)dtag(t)dt，

xxaaxxxxaaF(t)dtxaft）g（t）（dtf(t)dtg(t)dt0，x[a,b]

G(a)F(t)dt0,

a又

af(t)dtag(t)dt，

bb所以 G(b)从而

baF(t)dtf(t)gtdtf(t)dtgtdt0

aaabbbbaxF(x)dxG(x)F(x)babaxdG(x)分部积分xG(x)aG(x)dx

abbGaGb0G(x)dx，

由于G(x)0,x[a,b]，故有也即是 因此

(18)【详解】(I) 由于需求量对价格的弹性Ed> 0，所以

aabG(x)dx0, 即xF(x)dx0

ababbaxf(x)g(x)dx(dx)0 xf(x)dxxgxxf(x)dxxg(x)dx.

abbabEdPPPPdQ； Q1005PP(0,20)1005P1005P20P20PQdP(II) 由RPQ，得

PdQdRdPQdQPQ(1)Q(1QP)Q(1Ed)

QdPdPdPdP20P要说明在什么范围内收益随价格降低反而增加，即收益为价格的减函数，证Q(1Ed)0Ed1，换算成P为

dR0，即dPP1，解之得：P10，又已知P(0,20)，

20P所以20P10，此时收益随价格降低反而增加.

(19)【详解】对S(x)进行求导，可得到S(x)所满足的一阶微分方程，解方程可得S(x)的表达式.

Born to win

x4x6x8， 易见 S(0)(I) S(x)， 0242462468x4x6x8S(x)242462468x3x5x72242464x36x58x7242462468

x2x4x6x2x()x[S(x)]

2242462x2因此S(x)满足下述一阶线性微分方程及相应的初始条件：S(x)x[S(x)]，S(0)0.

2x3即 S(x)xS(x)，S(0)0

2

x3(II) S(x)xS(x)为一阶线性非齐次微分方程，其对应的线性齐次微分方程为：

2S(x)xS(x)0，

分离变量：

xdS(x)C1，S(x)exdx，两边积分：lnS(x)2S(x)x222x2C12Ce

x22用常数变易法来求非齐次方程的通解：令S(x)Cxe 于是：S(x)xCxex22Cxe

222x22xxxx3x3222代入S(x)xS(x)：xCxeCxexCxe

22所以, Cxx2e3x22dxc

222222x3xxx2xx2xx2xxS(x)e2dxce2e2dce2de2ce2

2222xxxx2xxx2x2x2x2x22222分部eedceeece1ce2

22220x202x1ce20c1, 所以S(x)e21； 因为S(0)0，所以S022222222222 Born to win

x3或直接由通解公式，方程S(x)xS(x)的通解为

2Sxe[xdx3xxdxxedxC]22x222x21Ce2

x21. 由初始条件S(0)0，得C1. 故S(x)e2

(20)【详解】β可否由α1,α2,α3线性表示的问题可以转化为线性方程组1x12x23x3是否有解的问题.

因此，设可有数x1,x2,x3,使得1x12x23x3. (*) 记A(α1,α2,α3). 对矩阵(A,β)施以初等行变换, 有

111111111行(-2)+2行0a

(A,β)2a2b23b103aa2b303aa2b311112行3+3行0ab1.

00ab0(I)当a0时, b是任意数时，有

1111.

(A,)00b100b0可知，r(A)r(A,β). 由非齐次线性方程组有解的充要条件：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，知方程组(*)无解, β不能由α1,α2,α3线性表示.

(II)当a0, 且ab时, 由

1111

(A,β)0ab100ab0可知，r(A)r(A,β)3, 由非齐次线性方程组有解得充要条件：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组(*)有解，由定理：设A是mn矩阵，方程组Axb，则，(1)有唯一解

Born to win

r(A)r(A)n；(2)有无穷多解r(A)r(A)n(3)无解：r(A)1r(A)

可知方程组(*)有唯一解.由同解阶梯形方程求解，得：

x1111, x2, x30． aa11)α1α2． aa此时β可由α1,α2,α3唯一地线性表示, 其表示式为 β(1(III)当a0，ab0时, 对矩阵(A,β)施以初等行变换, 由

1111(A,)0aa100001112行a01100011001a111行2行011， aa000001可知，r(A)r(A,β)2,由定理：设A是mn矩阵，方程组Axb，则，(2)有无穷多解r(A)r(A)n，知方程组(*)有无穷多解，其全部解为

11, x2c, x3c， 其中c为任意常数． aa11 β可由α1,α2,α3线性表示, 但表示式不唯一, 其表示式为β(1)α1(c)α2cα3．

aax11

(21)【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 可以直接用|λEA|0求特征值，和(λEA)x0求特征向量或将A分解令AB(1b)E，其中Bb[1]nn，则

Af(B)，f是多项式，求B的特征值、特征向量.

【详解】

(I) 方法1：1 b0时，

|EA|1bb1bbb1bbb

11b2,,n行分[1(n1)b]别加到1行1b11[1(n1)b][(1b)]n1

故，A的特征值为λ11(n1)b，λ2λn1b． 对λ11(n1)b，

Born to win

b(n1)bb(n1)b1EAbbb(n1)1b1(n1)b(n1)b11111n110111 (n1)1,n111n1(n1)行分别加到n行11001

0111n11列,n列互换11000n111 n110111n11行(1)110001n11 n1101n0011n0n nn011行分别加到2,10(n-1)行0002,10(n1)行n001100011n01 1102,10(n1)行(-1)分别加到1行000100001011 10因为矩阵的秩为r(1EA)(n1)，故方程组(1EA)x0，基础解系的个数

Born to win

为nr(1EA)n(n1)1，故有一个自由未知量.选x1为自由未知量，取x11, 解得ξ1(1,1,1,,1)，所以A的属于λ1的全部特征向量为

Tkξ1k(1,1,1,,1)T (k为任意不为零的常数)．

对λ2λn1b，

bbbbiEAbb11001行(b)00bbbb1行(1)分别00加到2,n行b0010,i2,0b0 0,n.

矩阵的秩为r(iEA)1,i2,,n. 故方程组(iEA)x0,i2,,n，基础

解系的个数为nr(iEA)n1，i2,,n.故有n1个自由未知量. 选

x2,x3,,xn为自由未知量,将他们的n1组值(1,0,,0);(0,1,,0);(0,0,,1)，

得基础解系为

ξ2(1,1,0,,0)T，ξ3(1,0,1,,0)T，,ξn(1,0,0,,1)T．

故A的属于λ2的全部特征向量为

k2ξ2k3ξ3knξn (k2,k3,,kn是不全为零的常数)．

2 当b0时，

λ1|λEA|000000λ1(λ1)n,

λ1特征值为λ1λn1，任意非零列向量均为特征向量．

Born to win

1bb1方法2：Abbbbbbbb11b1,1,1其中B,1,1,Tbb(1b)bbbb(1b)1bbb1b0b01bb00b

b(1b)11(1b)E 1b011011b1b11,1(1b)EbB(1b)E，

,1

T若B有特征值，特征向量，则当f是多项式时，f(B)有特征值f()，其特征向量仍是.

T因()()n,故，n是的特征值，其对应特征向量为

TT11,1,1nb1TT,1T.从而有

AbT(1b)，E有特征值

b1(n1)b，其对应特征向量仍是11,1,T,1.

TT又()，B是实对称阵，由

1111TB11111行(1)分别加到2,11100,n行0010 0可知r(B)1，由实对称矩阵的特性：r(EA)nk，其中k为特征值的重数，故

0是BT的n1重特征值，其对应的特征向量应满足

xn0，其基础解系的个数为

(0ET)xTx0，即只需满足x1x2n1，故有n1个自由未知量.选x2,x3,(1,0,,0);(0,1,,0);,xn为自由未知量,将他们的n1组值

(0. ,0得基础解系为ξ2(1,1,0,,0)T，

Born to win

ξ3(1,0,1,,0)T，,ξn(1,0,0,,1)T．

从而知Ab(1b)E有n1重特征值f(0)b0(1b)1b.对应的特征向量仍是2,3,是不全为零的常数)．

(Ⅱ) 1当b0时，由A与对角矩阵相似的充要条件：A有n个线性无关的特征向量，知，令P(ξ1,ξ2,,ξn)，则

T,n，其全部特征向量为 k2ξ2k3ξ3knξn(k2,k3,,kn1(n1)b1bP1AP 1b2 当b0时，AE，对任意可逆矩阵P, 均有P1APE．

(22)【分析】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强.通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意。

先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数.

【详解】(I) 由于P(AB)P(A)P(B|A)P(AB)11, ，P(B)P(AB)612所以 P{X1,Y1}P(AB)1， 121， 61, P{X0,Y1}P(AB)P(B)P(AB)12 P{X1,Y0}P(AB)P(A)P(AB) P{X0,Y0}P(AB)1P(AB)=1P(A)P(B)P(AB)(或P{X0,Y0}1故(X,Y)的概率分布为

Y

X 0 1

2 31112)， 126123 Born to win

2 31 1

6 0

(II) X,Y的概率分布分别为

1 121 12213, 3124111P{X1}P{X1,Y1}P{X1,Y0},

6124111P{Y1}P{X0,Y1}P{X1,Y1},

12126215P{Y0}P{X0,Y0}P{X1,Y0}.

366P{X0}P{X0,Y1}P{X0,Y0}所以X,Y的概率分布为

X 0 1 Y 0 1 P

3151 P 446611133由01分布的数学期望和方差公式，则EX,EY，DX，

4644161515DY =, 所以E(XY)0PXY01PXY1PX1,Y1=,

6636121Cov(X,Y)15，从而XY. 2415DXDY故Cov(X,Y)E(XY)EXEY(III)Z的可能取值为：0,1,2 .

P{Z0}P{X0,Y0}2， 31， 4P{Z1}P{X1,Y0}P{X0,Y1}P{Z2}P{X1,Y1}即Z的概率分布为： Z P 0 1 2 1， 12 112 3412

(23)【详解】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数, 从而先由分布函数求导得密度函数.

Born to win

,x1当α1时, X的概率密度为f(x,)x1, 有了概率密度函数f(x;)就

0，x1不难写出似然函数L()f(x;).

ii1n(I)由于EXxf(x;)dx1xxdx11,令

XβX, 解得β, β1X1X1n所以, 参数β的矩估计量为, 其中XXi

ni1X1(II) 对于总体X的样本值x1,x2,,xn, 似然函数为

βn,xi1(i1,2,,n), L(β)f(xi;α)(x1x2xn)β1i10,其他.n当xi1(i1,2,,n)时，L()0，L()与lnL()在相同的点取得最大值； 所以等式两边取自然对数得 lnL(β)nlnβ(β1)lnxi1ni,

d[lnL(β)]nnlnxi， 对β求导数，得

dββi1d[lnL(β)]nnlnxi0，解得β令

dββi1nlnxi1n，

iˆ于是β的最大似然估计量为βnlnxi1n．

i2α2,xα，(III) 当β2时, X的概率密度为f(x,β)x3 0，xα，对于总体X的样本值x1,x2,,xn, 似然函数为

Born to win

2nα2n,xiα(i1,2,,n), L(β)f(xi;α)(x1x2xn)3i10,其他.n当xiα(i1,2,,n)时, α越大，L(α)越大, 但是必须满足条件xi(i1,2,,n)；

ˆmin{x1,x2,,xn}, 所以α的最大似然估计值为 α于是α的最大似然估计量为

αˆmin{X1,X2,,Xn}．