四年级奥数抽屉原理

抽屉原理

一、知识点介绍

抽屉原理，又称鸽笼原理或XXX原则，是德国数学家XXX首先提出的数学原理，用于解决组合数学中的问题。该原理可以解决许多看似复杂的问题，常常能够起到令人惊奇的作用。

二、抽屉原理的定义 1）举例

如果将十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，必定会有至少一个抽屉里面至少放两个苹果。这种现象被称为抽屉原理，也被称为鸽巢原理。

2）定义

将n＋1或多于n＋1个物品放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个物品。

三、抽屉原理的解题方案

一）利用公式进行解题

将物品数量除以抽屉数量，得到商和余数。余数为1时，至少有（商＋1）个物品在同一个抽屉里；余数为x时，至少有（商＋1）个物品在同一个抽屉里；余数为0时，至少有“商”个物品在同一个抽屉里。

二）利用最值原理解题

通过极限讨论，将复杂的问题变得简单，利用特殊值方法解决问题。

四、应用抽屉原理解题的具体步骤

第一步：分析题意，确定“物品”和“抽屉”。

第二步：构造抽屉，根据题目结论和数学知识，设计和确定解决问题所需的“物品”及其数量。

第三步：运用抽屉原理，结合题设条件，恰当运用原理或综合多个原理，解决问题。

例题精讲

例1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子。

解析】将6只鸽子放入5个笼子，至少有一个笼子里有2只鸽子。因为6只鸽子减去5个笼子最多只能放1只鸽子，所以必定有一个笼子里有2只鸽子。

巩固】教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业。这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业。

解析】将5名学生分配到4个科目的作业中，至少有两个人在做同一科作业。因为5名学生减去4个科目最多只能有1个人没有做作业，所以必定有两个人在做同一科作业。

例2】XXX有730个学生，至少有几个学生的生日是同一天？

解析】将730个学生的生日分配到365个天数中，至少有两个学生的生日是同一天。因为730减去365最多只能有365个不同的生日，所以必定有两个学生的生日是同一天。

巩固】一个2×5的方格图中，用红、黄、蓝三种颜色任意涂色，是否存在两列的小方格颜色完全相同？

例10】在一个长度为10的整数序列中，任何一个数都不是另外两个数的和，试证明：这个序列中最多

只能有几个数？

巩固】在一个长度为15的整数序列中，任何一个数都不是另外两个数的和，试证明：这个序列中最多只能

有几个数？

例11】在一个长度为7的整数序列中，任何一个数都不是另外两个数的和，试证明：这个序列中最多

只能有几个不同的数？

巩固】在一个长度为12的整数序列中，任何一个数都不是另外两个数的和，试证明：这个序列中最多只能

有几个不同的数？

将每一个小方格涂上红色、黄色或蓝色，使得每一列的三小格涂的颜色不相同。不论如何涂色，其中至少有两列，它们的涂色方式相同。你同意吗？

有一个布袋中有40个相同的小球，其中编上号码1、2、3、4的各有10个。一次至少要取出14个小球，才能保证其中至少有3个小球的号码相同。

有一个布袋中有5种不同颜色的球，每种都有20个。一次至少要取出9个小球，才能保证其中至少有3个小球的颜色相同。

年级一班学雷锋小组有13人。教数学的XXX师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日。”这是因为一年有12个月，而小组人数超过了12人，所以必然有两个人在同一月过生日。

100个苹果最多分给8个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个。

试说明400人中至少有两个人的生日相同。这是因为一年有365天，而400人的生日分布在这365天中，根据抽屉原理，必然有两个人的生日相同。

任给11个数，其中必有6个数，它们的和是6的倍数。这是因为6个数中至少有3个数的和是3的倍数，而11个数中至少有6个数，所以根据抽屉原理，必然有6个数的和是3的倍数，进而是6的倍数。

有10只鸽笼，为保证至少有1只鸽笼中住有2只或2只以上的鸽子，需要有11只鸽子。

XXX五年级学生身高的厘米数都是整数，并且在140厘米到150厘米之间（包括140厘米到150厘米），那么，至少从22个学生中保证能找到4个人的身高相同。

篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少需要有7个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的。

红、黄、白三种颜色的小球各10个，混合放在一个布袋中。一次至少摸出7个小球，才能保证有5个小球是同色的。