混沌的复杂度研究方法和Logistic映射分析

2020-09-10 来源：步旅网

第24卷第2期

2006年3月

北京工商大学学报(自然科学版)

JournalofBeijingTechnologyandBusinessUniversity(NaturalScienceEdition)

Vol124No12Mar.2006

　　文章编号:167121513(2006)0220038204

混沌的复杂度研究方法和Logistic映射分析

王云雄1,　翁贻方1,2,　郑德玲2

(11北京工商大学信息工程学院,北京　100037;21北京科技大学信息工程学院,北京　100083)

摘　要:研究和评价了混沌复杂度3种定量分析方法——Lyapunov指数、分维、测度熵,及其它们之间的内在联系,并研究了一种简单有效的测度熵替代方法——近似熵(approximateentropy)方法Λ应用以上方法对Logistic映射复杂度进行了分析Λ结果表明Lyapunov指数和测度熵的值与复杂度基本呈线性关系,分维数与复杂度的函数关系尚难确定,且与Lyapunov指数、测度熵之间的关系也不明确Λ

关键词:混沌;复杂度;Lyapunov指数;分维;测度熵中图分类号:TP30115;N94114　　　　　文献标识码:A　　在非线性科学的研究领域中一直存在着大量的复杂现象,而传统的理论和分析方法在这些现象面前却无能为力Ζ随着非线性科学的发展,到了20世纪80年代中期,一些以复杂度本身为研究对象的研究才陆陆续续地展开,相关的论文和书籍开始出现Ζ但应当指出的是,对于复杂度来说,目前既没有达成统一的理解,更没有统一的科学定义,可以说,对于复杂度的研究现在还处于起步阶段Ζ

混沌,作为非线性动力系统的一个经典复杂现象,近几十年被广泛地应用于保密通信的研究,提出了大量的混沌加密算法Ζ因此,对混沌的复杂度进行深入的研究有着十分重要的意义Ζ一方面,对混沌系统复杂度的分析可以丰富目前尚未系统化的复杂度理论;另一方面,也为混沌加密算法的强度度量提供了新的思路和方法Ζ旨在用非线性动力学的分析方法对混沌的复杂度进行探索性研究,以Logistic映射为对象,研究各种定量分析方法的内在联系Ζ

复杂的系统,具有通常确定性运动所不具备的几何和统计特性:局部不稳定而整体稳定、连续功率谱、奇异吸引子、正的Lyapunov指数、分维、正的测度熵等等Ζ概括地说,混沌具有以下3个主要的定性特征[1]:

1)内随机性:混沌常被称为自发混沌、确定性

的随机性等,是指混沌现象产生的根源在系统本身Ζ内随机性的另一个含义是局部不稳定性Ζ一般,产生混沌的系统具有内在不稳定性而整体稳定性Ζ混沌态与有序态的不同之处在于,它同时具有整体稳定性和局部不稳定性Ζ所谓局部不稳定性是指系统运动的某些方面(如某些维度上)的行为强烈地依赖于初始条件Ζ

2)分维特性:混沌态具有分维性质,但其非整

数维不是用来描述系统的几何外形,而是用来描述系统运动轨道在相空间的行为特征Ζ混沌运动在相空间中的某个区域内无限次的穿越,构成了一个有无穷层次的自相似结构——奇异吸引子Ζ

3)普适性和Feigenbaum常数:混沌是一种无

1　混沌的定性特征

混沌,作为非线性动力系统中的一个既普遍又

周期的“高级”有序运动Ζ在研究混沌的过程中,可以

收稿日期:20051206

基金项目:北京市优秀人才培养专项经费资助项目(20041D0500309)

作者简介:王云雄(1982-),男,四川内江人,硕士研究生,主要研究方向为计算机网络管理与信息安全;

翁贻方(1954-),女,上海人,教授,主要从事控制理论及应用,混浊同步保密通信与信息加密研究Ζ

　第24卷第2期王云雄等:混沌的复杂度研究方法和Logistic映射分析39

发现某种标度的不变性,代替了通常的空间和时间周期性;所谓普适性,是指在趋向混沌时所表现出来的共同特征,它不依具体的系数以及系统的运动方程而变Ζ

n维空间中的一轨道与相邻轨道的初始条件为x0和x0+∃x0,其切向量为W(x0,t),则Lyapunov指

数可以定义为两相邻轨道的平均指数发散率

‖W(x0,t)‖1;Κ(x0,W)=tlimln→∞t‖W(x0,0)‖

对于离散系统

xn+1=f(xn),xn∈R.

(2)

2　混沌复杂度的分析方法

由于到目前为止对复杂度还没有严格的数学定义,在研究混沌的复杂度时,习惯性地将定量描述混沌性质的一些参数(Lyapunov指数、分维、测度熵等)列入复杂度的度量方法Ζ211　Lyapunov指数

Lyapunov指数是混沌过程的一个重要参数,它

(3)

令An=[M(xn)M(xn-1)K・M(x1)]1󰃗,其中M(xn)为f(・)的Jacobi矩阵,同时An设的特征值为∆i(n),则Lyapunov指数可以定义为Κi=limn→∞

ln󰃜∆i(n)󰃜Ζ(4)

其实,前一种定义主要针对Lyapunov指数的几何意义而言,而后一种定义则是针对计算角度来描述的Ζ

一维Logistic映射为

xn+1=Λxn(1-xn),0≤x≤1,0<Λ≤4

(5)

给出了混沌过程对初始状态的依赖程度Ζ在非混沌系统中,相邻轨道一般是收敛的,或者是以小于指数形式的速率发散的;在混沌系统中,相邻轨道是以指数形式发散的Ζ而正的Lyapunov指数对应本征矢方向上的位移初始点,其发展出来的轨道会呈指数化分离趋势;在负的Lyapunov指数对应本征矢方向上,相空间轨道会相互吸引趋近Ζ因此,在非线性动力系统的研究中经常将正的Lyapunov指数作为混沌是否出现的一个判据Ζ对于连续系统

dx=f(x(t)),x(t)∈Rn.dt

(1)

图1表示了Logistic映射的Lyapunov指数随参数Λ的变化趋势,其中迭代次数为2000,初值为013Ζ从图1中可见,Logistic映射的Lyapunov指数

值Κ随着参数Λ变化而发生复杂变化,同时与之对应的是Logistic映射的复杂性态的变化:

1)Λ∈(0,1]时,Κ从一个负值趋向于0,

x值收

a)全局图;b)局部放大图

图1　Logistic映射的Lyapunov指数

敛到不动点0;

2)Λ∈(1,3]时,Κ<0,x收敛到1-1󰃗Λ,其中当Λ=2时,存在一个超稳定点,此时Κ→-∞(由于迭代次数有限,所以在图1中体现为一个有限大的负值);

3)Λ∈(3,31571448]时,系统状态为倍周期分

叉,Κ处于0→-∞→0的循环过程;

4)Λ∈(31571448,3182842]时,系统状态为阵发混沌,这时Κ>0,在某些窗口处,Κ<0;

5)Λ∈(319,4]时,系统处于混沌态,Κ>0Ζ

可见Lyapunov指数表征了Logistic混沌映射的复杂性态Ζ但现在有观点认为,Lyapunov指数不

北京工商大学学报(自然科学版)2006年3月　

能反映介于有序和随机之间的复杂性,更不能用它的数值作为复杂程度大小的度量[2]Ζ这一观点是建立在符号动力学基础上的Ζ一方面,当Λ=4时,也就是满射的时候,Lyapunov指数达到最大值0169,虽然这时Logistic映射具有正的Lyapunov指数,符合关于混沌的许多定义,但从符号动力学的观点来看,由于其完全随机性,可以认为它的符号动力学行为是简单的Ζ另一方面,文献[3]的研究结果表明,当Lyapunov指数的值为0时,系统行为有可能是非常

在该精度下,随着轨道向前演化,由于混沌轨道附近的指数分离,原来不能区分的轨道就可以区分离开,也就是“混沌创造信息”Ζ而测度熵正是这种信息的平均产生率Ζ设吸引子为一集合,它被边长为Ε的N维立方体完全覆盖,对于Ε,设立方体的个数为

),通过M(Ε)的概率为pi,则测度熵定义为M(Ε

)M(Ε

)=-I(Ε

∑plnP.

i=1(9)

基于以上原理,可知信息量与可以区分的不同轨道数目有关,对于混沌运动,其轨道数目N随时间指数增长:N∝e,其中常数k为测度熵Ζ在一段时间内可以区分的不同轨道数目N越多,其复杂度越大Ζ而轨道数目N是以测度熵k的指数变化的Ζk越大,随机性越强,被恢复的可能性也越小,复杂度也越高[4]Ζ

因此,测度熵可以反映混沌系统的复杂度Ζ但是存在的问题是:测度熵的计算方法K2S熵法需要大量的样本空间,且计算量巨大,实际中较难获得测度熵的具体数值Ζ

复杂的Ζ

尽管如此,Lyapunov指数能准确反映混沌过程对初始状态的依赖程度,而混沌对初始状态的敏感性使混沌的状态难以预测,这正是混沌复杂度的一个表现Ζ212　分维

混沌吸引子具有无穷层次的自相似结构,可以用维数来表征它的离散程度Ζ相轨道的自相似结构使得其相轨线不能填满整个相空间,从而形成了混沌系统所特有的分形结构,具有分数维数的特征,因此分数维数也是判断混沌运动的有效手段Ζ

)是覆盖S所需设S为N维空间中的子集,M(Ε的边长为Ε的N维立方体的数量,则可以用下式来

表示其容量(Hausdorff)维数,

D(S)=lim

Ε→0

3　ApEn复杂度分析算法

文献[5]提出了一种以近似熵ApEn来代替测度熵作为判断复杂度大小的方法,其定义和算法如下:

1)对于一给定的时间序列Λ(1),Λ(2),…Λ(N),按顺序将其组成一个m维的向量集X(i),即

X(i)=[Λ(i),Λ(i+1),…,Λ(i+m-1)],

(i=1,2,3,…,N-m+1);

(10)

2)计算向量X(i)与其余向量X(j)之间的距离d[X(i),X(j)],并将最大值定义为最大反应成分距离

d[X(i),X(j)]=max[󰃜x(i+k)-x(j+k)󰃜],

)lnM(Ε.)ln(1󰃗Ε

(6)

如果一个吸引子的维数D(S)为分数,则可判断其为混沌Ζ但是Hausdorff分维数的计算十分困难,Grassberg和Procaccia于1983年提出了GP算法来

计算另一种分维数Dc(S),也就是关联维数

)lnC(Ε;Dc(S)=limΕ→0lnΕ

)=liC(Εm

n→0

i,j=1

(7)(8)

∑

-󰃜Xi-Xj󰃜);H(Ε

(k=[0,m-1]).(11)

3)定义一个阈值r(r>0),对于每一个i值,记

其中,H(・)是Heaviside阶跃函数Ζ

这种方法的局限性在于,虽然可以通过判断计算出的维数是否为分数进而确定该系统是否为混沌,却无法从分维的具体数值来度量混沌系统动力学行为的复杂程度Ζ213　测度熵

录满足条件d[X(i),X(j)]m

N-m与的比值定义为Ci(r),

(N-m).Ci(r)={d[X(i),X(j)](12)

4)对每一个可能的i值,计算Cmi(r)的自然对

测度熵又称为K2S熵(kolmogorov2sinai),它描述了混沌轨道随时间演化信息的产生率Ζ其几何意义在于:设区分相空间的轨道只能以固定的精度,则

数,这些对数的平均值定义为<(r)=

1N-m+1

N-m+1

∑

i=1

lnCi(r).(13)

ApEn可以表示向量集随着m增大产生新模式

　第24卷第2期王云雄等:混沌的复杂度研究方法和Logistic映射分析41

的概率,产生新模式的概率越大,ApEn值就越大,即时间序列的复杂度越大Ζ实际上,N不可能取无穷大,所以通常只能在N足够大的时候对ApEn进行估计,

mm+1

ApEn(m,r,N)=<(r)-<(r).

熵方法,从不同角度给出混沌复杂度的量化值,其中Lyapunov指数和测度熵的值与复杂度基本呈线性

关系,而分维数的值与复杂度的函数关系尚难确定,且分维数与Lyapunov指数、测度熵之间的关系也不明确ΖApEn(近似熵)方法是测度熵的一种替代算法,简单可靠,值得深入研究Ζ对Logistic映射的复杂度分析验证了上述结论Ζ

参考文献:

[1]　赵耿,方锦清.现代信息安全与混沌保密通信研究的

(14)

根据经验,Pincus建议m取2,r取011～012倍

原始数据的标准差Ζ只需用很短时间序列(约1000个数据点)就可以估算出可靠的ApEn值Ζ

对于Logistic映射xn+1=4xn(1-xn),0≤x≤1,取N=5000,m=2,r=0115,得到其ApEn值约为0169;同时还发现Lyapunov指数值(Λ=4)也为0169Ζ根据Pesin公式)=I(Ε进展[J].物理学进展,2003,23(2):212252.

[2]　谢惠民.动力系统的复杂性刻划[J].力学进展,1996,

26(3):289302.

[3]　KellerG.Lyapunovexponentsandcomplexityfor

intervalmaps[J].LectureNotesinMath,1991,1486:216226.

[4]　蔡觉平,李赞,宋文涛.一种混沌伪随机序列复杂度分

∑Κ.

Κi>0

(15)

可知,处于混沌状态的Logistic映射,其Lyapunov指数和测度熵在数值应该是近似相等的,而ApEn值就等于测度熵的值Ζ所以,对于Logistic映射,

ApEn算法较为准确地计算出了测度熵的值,但其

析法[J].物理学报,2003,52(8):18711875.

[5]　PincusSM.Approximateentropyasameasureof

systemcomplexity[J].ProceedingsoftheNationalAcademyofSciences,1991,88(6):22972301.

对于高维连续混沌系统的普遍适用性还有待研究Ζ

4　结论

混沌复杂度研究的Lyapunov指数、分维和测度

STUDYONTHECHAOS’COMPLEXITYANALYSIS

METHODOLOGYANDAPPLICATIONTOLOGISTICMAP

11,22

WANGYun2xiong,　WENGYi2fang,　ZHENGDe2ling

(11CollegeofInformationEngineering,BeijingTechnologyandBusinessUniversity,

Beijing100037,China;21SchoolofInformationEngineering,UniversityofScienceand

TechnologyBeijing,Beijing100083,China)

Abstract:Threekindsofchaos’complexityanalysismethods,Lyapunovexponent,fractalandK2Sentropy,aswellastheirrelationship,areinvestigated.Approximateentropy(ApEn)methodisalsostudied.TheyareappliedtoanalyzethecomplexityofLogisticmap.TheconclusionisthatLyapunovexponentandK2Sentropyhaveapproximatelylinearrelationwithcomplexity,whileitisdifficulttodeterminetherelationbetweenfractalandcomplexity.FurthermorethecorrelationoffractalandLyapunovexponent,K2Sentropyisnotclearnow.Finally,ApEnmethodoffersasimpleandvalidanalysismeantosubstituteK2Sentropy.Keywords:chaos;complexity;Lyapunovexponent;fractal;K2Sentropy

(责任编辑:邓清燕)

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