数学(北师大版)必修一教学设计：3-2指数概念的扩充 含答案

教学设计

§2 指数扩充及其运算性质

错误!

教学分析

我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数,再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．

本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想（指数幂运算律的推广）、类比的思想、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想（用指数函数的图像研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值．

根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持．

三维目标

1．通过与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂的概念，

学必求其心得，业必贵于专精

进而学习指数幂的性质．掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．

2．掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化\"的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．

3．能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．

4．通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质．展示函数图像，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．

重点难点 教学重点：

（1)分数指数幂和根式概念的理解． (2)掌握并运用分数指数幂的运算性质． (3)运用有理指数幂性质进行化简、求值． 教学难点：

（1)分数指数幂及根式概念的理解． (2）有理指数幂性质的灵活应用． 课时安排

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2课时

错误!

2．1 指数概念的扩充

导入新课

思路1.碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代（半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半）．引出本节课题：指数概念的扩充．

思路2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢?答案是肯定的．这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题—-指数概念的扩充．

推进新课

新知探究

错误! 错误!

活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，

学必求其心得，业必贵于专精

特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比（2)的规律表示，借鉴（2)(3)，我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他学生鼓励提示．

讨论结果:(1）整数指数幂的运算性质：an＝a·a·a·…·a,a0＝1（a≠0）；00无意义；

a－n＝错误!（a≠0）；am·an＝am＋n；(am）n＝amn；(an）m＝amn；（ab）

n＝anbn.其中n,m∈N＋.

（2)①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的

4次方根;④a是a的2次方根．实质上①5

10

5aa10105，②错误!＝a,③482a12＝a，④

错误!

1242a10a10210

结果的a的指数是2,4，3,5分别写成了，错误!，错误!，

5

，形式上变了，本质没变．

根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数

能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）．

(3）利用（2）的规律，错误!＝5，错误!＝7,错误!＝a，错误!＝x。 （4)5的四次方根是5,7的三次方根是7，a的五次方根是a，

3

34345375mn5

537

75x的n次方根是x。

mmn学必求其心得，业必贵于专精

结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的．

（5)如果a＞0，那么a的n次方根可表示为错误!＝a，即a＝错误!

mmnmn（a＞0，m，n∈N＋，n＞1）．

综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书： 规定:正数的正分数指数幂的意义是a＝错误!（a＞0,m,n∈N＋，n＞1）．

错误!

mn①负整数指数幂的意义是怎样规定的？ ②你能得出负分数指数幂的意义吗？

③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义? ④综合上述,如何规定分数指数幂的意义?

⑤分数指数幂的意义中,为什么规定a＞0?去掉这个规定会产生什么样的后果？

⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?

活动：学生回想初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，

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学生合作交流，以具体的实例说明a＞0的必要性，教师及时作出评价．

讨论结果：①负整数指数幂的意义是：a－n＝错误!（a≠0，n∈N

＋

）．

②既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数

指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义．

规定：正数的负分数指数幂的意义是a＋

mn1amn1nam(a＞0，m,n∈N

，n＞1)．

③规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，

零的负分数指数幂没有意义．

④教师板书分数指数幂的意义．分数指数幂的意义就是： 有时我们把正分数指数幂写成根式，即a＋

mnnam(a＞0，m，n∈N

)，正数的正分数指数幂的意义是amnmnnam（a＞0，m，n∈N＋,n＞1），

正数的负分数指数幂的意义是a1amn1nam(a＞0，m，n∈N＋，n＞1）,

零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．

⑤若没有a＞0这个条件会怎样呢？ 如(1)131＝－1，(1)326＝错误!＝1具有同样意义的两个式子出现

了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义

学必求其心得，业必贵于专精

的．因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无a＞0的条件，比如式子a＝a,同时负数开奇次方是有意义的，负数

2

233

开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂,也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上．

⑥规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．

有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：

(1）ar·as＝ar＋s（a＞0，r，s∈Q）, （2)（ar）s＝ars(a＞0，r，s∈Q)，

(3)(a·b）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q)．

我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题，来看下面的例题．

错误!

思路1

16例1 求值：（1)8；(2)25；(3)错误!－5；（4）.

81231234活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算

学必求其心得，业必贵于专精

出数值或化成最简根式，根据题目要求,把底数写成幂的形式，8写成23,25写成52，错误!写成2－1，错误!写成(错误!)4，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来．

解：(1)8＝(2)＝2＝22＝4；

32323323(2)25＝(5)＝512212122＝5－1＝错误!；

（3)错误!－5＝(2－1)－5＝2－1×(－5)＝32；

162(4）＝81334344＝错误!－3＝错误!。

点评：本例主要考查幂值运算,要按规定来解．在进行幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如8＝

233

，82＝64＝4.

3

例2 用分数指数幂的形式表示下列各式的b. (1)b5＝32;(2）b4＝35；（3)b－5n＝π3m（m，n∈N＋）．

活动：学生观察、思考,根据解题的顺序，先化为根式，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时,要由里往外依次进行,把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的解题步骤,教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结．

解：（1）b＝错误!＝32; （2）b＝错误!＝3；

5415学必求其心得，业必贵于专精

（3）b＝

－5n，π＝(m,n∈N＋）．

3m3m5n点评:利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先化为根式,再把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算．对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数．

例3 计算下列各式: (1)27； （2）4.

活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，根据方根的意义来解．

解：(1）因为3＝27，所以27＝3； (2)因为8＝4,所以4＝8。

变式训练

求值：(1）3错误!·错误!·错误!； （2）错误!.

解：（1)3错误!·错误!·错误!＝3·3·3·3＝327m（2)错误!＝3m366125n5n3463346121316111123613323

1323

32＝32＝9；

＝(3)436436(m)436(5)(n)466＝错误!＝错误!m2n－4。

学必求其心得，业必贵于专精

例4 计算下列各式： （1）（错误!－错误!)÷错误!； （2)错误!(a＞0)．

活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，化为同底．利用分数指数幂计算，在第（1）小题中,只含有根式，且不是同次根式，比较难计算,但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第（2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,最后写出解答．

解:（1)原式＝（2521323122161312512）÷25＝(51423532)÷512

＝5－5＝5－5＝错误!－5; (2）错误!＝

a2aa1223＝a12223a6a5.

56思路2

例1 比较错误!，错误!，错误!的大小．

活动：学生努力思考，积极交流，教师引导学生解题的思路,由于根指数不同，应化成统一的根指数，才能进行比较,又因为根指数最大的是6，所以我们应化为六次根式，然后，只看被开方数的大小就可以了．

解：因为错误!＝错误!＝错误!，错误!＝错误!，而125＞123＞121，所以错误!

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＞错误!＞错误!。所以错误!＞错误!＞错误!。

点评：把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法． 例2 求下列各式的值： （1）481923；

（2)2错误!×错误!×错误!.

活动：学生观察以上几个式子的特征，既有分数指数幂又有根式，应把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,如果根式中根指数不同，也应化成分数指数幂，然后分析解答，对(1）应由里往外,481923＝43(3)44132,对(2)化为同底的分数指数幂，及时对学生活动

进行评价．

解：（1)4819＝34(3)23413214＝31224314＝（(31314134)＝3＝3错误!;

2

11133763(2）2错误!×错误!×错误!＝2×3×2×(3×2)＝2·3111236＝2×3

＝6。

例3 计算下列各式的值： （1）[(a(2)1a1232b2）·(ab12－1

132)·（b)7］；

121aaaa1;

（3）(错误!错误!)－3÷错误!。

学必求其心得，业必贵于专精

活动：先由学生观察以上三个式子的特征，然后交流解题的方法，把根式用分数指数幂写出，利用指数的运算性质去计算,教师引导学生，强化解题步骤,对（1）先进行积的乘方，再进行同底数幂的乘法,最后再乘方，或先都乘方，再进行同底数幂的乘法,对(2）把分数指数化为根式，然后通分化简，对（3)把根式化为分数指数，进行积的乘方，再进行同底数幂的运算．

解：（1)原式＝(a另解:原式＝(ab3232b)(ab)1232213136·(b)＝ab72312217231223bbba1612791126b217326＝ab230a23；

－2ab·b)＝(ab37222)＝（ab)＝a；

20

23（2)原式＝错误!－错误!＝错误!－错误!＝错误!－错误! ＝1

（1－错误!)＝错误!＝错误!；

12a（3）原式＝(a＝a－1＝错误!。

b23)÷(ba)＝ab÷（b－3

－4－1

1232－2－2

a12）＝a3122b－2＋2

例4 已知a＞0，对于0≤r≤8，r∈N＋，式子（错误!)8－r·错误!r能化为关于a的整数指数幂的情形有几种?

活动：学生审题，考虑与本节知识的联系，教师引导解题思路，把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,即先把根式转化为分数指数幂,再进行幂的乘方，化为关于a的指数幂的情形，再讨论，及时评价学生的作法．

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解：(a）

8－r·错误!＝a·a＝ar8r2r48rr24a163r4.

16－3r能被4整除才行，因此r＝0,4，8时上式为关于a的整数指数幂．

点评：本题中确定整数的指数幂时，可由范围的从小到大依次验证，决定取舍．利用分数指数幂进行根式运算时，结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式．

例5 已知f（x）＝ex－e－x,g（x)＝ex＋e－x。 (1）求[f(x)]2－［g（x)］2的值；

gx＋y(2)设f（x)f（y)＝4，g(x)g(y)＝8，求的值．

gx－y活动：学生观察题目的特点，说出解题的办法,整体代入或利用公式，建立方程，求解未知，如果学生有难度,教师可以提示引导，对（1)为平方差，利用公式因式分解可将代数式化简，对(2)难以发现已知和未知的关系，可写出具体算式,予以探求．

解：（1)［f（x）］2－［g（x）］2＝［f(x)＋g(x）］·[f（x）－g(x）] ＝（ex－e－x＋ex＋e－x）（ex－e－x－ex－e－x)＝2ex(－2e－x）＝－4e0

＝－4;

另解：(1)［f(x)］2－［g（x)］2＝（ex－e－x）2－（ex＋e－x）2 ＝e2x－2exe－x＋e－2x－e2x－2exe－x－e－2x＝－4ex－x＝－4e0＝－4；

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（2）f（x)·f（y）＝（ex－e－x)(ey－e－y）＝ex＋y＋e－（x＋y）－ex－y－e－(x－y）＝g(x＋y)－g(x－y）＝4，

同理，可得g(x)g（y）＝g（x＋y）＋g(x－y）＝8，

得方程组错误!解得g(x＋y）＝6，g(x－y）＝2。所以错误!＝错误!＝3。 点评：将已知条件变形为关于所求量g（x＋y)与g（x－y)的方程组，从而使问题得以解决,这种处理问题的方法在数学上称之为方程法，方程法所体现的数学思想即方程思想，是数学中重要的数学思想．

错误!

1．(1)下列运算中,正确的是( ）．

A．a2·a3＝a6 B．（－a2）3＝（－a3)2 C．(错误!－1)0＝0 D．(－a2)3＝－a6 （2)下列各式①

4

，－4

2n，②错误!，③错误!，④错误!（各式的

n∈N,a∈R）中，有意义的是（ ）．

A．①② B．①③ C．①②③④ D．①③④ （3）（错误!)2·（错误!)2等于（ )．

A．a B．a2 C．a3 D．a4 （4)把根式－2错误!改写成分数指数幂的形式为( ）． A．－2(a－b） B．2(ab)2552

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C．－2（a25b1225） D．－2（a121352b52）

51166（5)化简(ab)(3ab)(ab)的结果是(

323 )．

A．6a B．－a C．－9a D．9a 2．计算：(1)0.027－

13－2错误!

＋256－3－1＋（错误!－1)0＝__________.

34(2）设5x＝4,5y＝2,则52x－y＝__________. 3．已知x＋y＝12,xy＝9且x＜y，求x1212y1212的值．

xy答案：1.（1）D (2)B (3)B （4)A （5）C 2。（1)19 (2)8 3．解：x1212y1212(xy)(xy)(xy)(xy)1212121212121212xyx2xyy。

xy1212因为x＋y＝12，xy＝9，所以（x－y）2＝(x＋y）2－4xy＝144－36＝108＝4×27。

又因为x＜y，所以x－y＝－2×3错误!＝－6错误!。 所以原式错误!＝－错误!.

错误!

131．化简

x1xx12313x1x113xx13.

x1活动：学生观察式子特点，考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路，应对原式进行因式分解，根据本题的特点，注意到：

x－1＝(x)－1＝（x－1)·(x3

3

131323x1）；

13学必求其心得，业必贵于专精

x＋1＝(x）＋1＝（x＋1）·(x3

3

131313131323x1)；

1313x－x＝x［（x）－1]＝x（x－1)（x＋1）．

2

1313构建解题思路,教师适时启发提示． 解:＝(x13x1xx113232313＋

13x1x113－xx＝

x11323131313(x)123131333＋(x1313313)13－x13xxx1132313

xx113x1131)(xx1)xx12313(x1)(xx1)x113x(x1)(x1)(x1)13

＝x－1＋x23x13＋1－x23xx1313。

12点拨：解这类题目，要注意运用以下公式，(a(ab)1212b)(ab)＝a－b，

1212122

＝a±2ab＋b，（a±b)（a121212131323abb131323＝a±b.

2．已知aa12＝3，探究下列各式的值的求法．

3212（1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3）a解：(1)将a12a3212.

aaa12＝3，两边平方，得a＋a－1＋2＝9,即a＋a－1＝7；

(2)将a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49,即a2＋a－2＝47; (3）由于a所以有a321232a321232＝（a)－（a)3，

123

12a(aa)(aaaa)aa1212121211212＝a＋a－1＋1＝8。

aa点拨：对“条件求值\"问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．

学必求其心得，业必贵于专精

错误!

活动：教师,本节课同学们有哪些收获?请把你的学习收获记录在你的笔记本上，同学们之间相互交流．同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点：

(1)分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是a＝

错误!

mn(a＞0,m,n∈N＋，n＞1)，正数的负分数指数幂的意义是amn1amn＝

错误!

（a＞0，m，n∈N＋，n＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分

数指数幂没有意义．

（2）规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．

（3)有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s,均有下面的运算性质:

①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)，②（ar）s＝ars(a＞0，r，s∈Q），③(a·b）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．

（4）说明两点：

①分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系．

②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用．因而分数指数幂与根式可以互化，也可以利用(a)mnnanmn＝am来计

学必求其心得，业必贵于专精

算．

错误!

习题3—2 A组1，2，3，4。

错误!

本节课是分数指数幂的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充，要让学生反复理解分数指数幂的意义，教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解,用观察、归纳和类比的方法完成,由于是硬性的规定，没有合理的解释,因此多安排一些练习，强化训练,巩固知识，要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务．

(设计者：郝云静)