【教学随笔】构造对偶式妙解三角题

对于某些三角函数问题，我们可以针对其中一个式子（或对象）的特点，给予配上一个与其有着内在联系的式子（或对象），然后实施某种运算，使问题得到转化，从而使问题获得快捷、方便地解决.

例1．求sin100•sin300•sin500•sin700的值

解：设A= sin100•sin300•sin500•sin700 , B= cos100•cos300•cos500•cos700 则A•B= sin200•sin600•sin1000•sin1400= cos100•cos300•cos500•cos700=B 由于B≠0 ∴A=

故sin100•sin300•sin500•sin70=

例2．函数y = (acosx + bsinx)cosx 有最大值2，最小值 – 1，则实数a = ;b = .

解：由于y = (acosx + bsinx)cosx = acos2x + bsinxcosx，构造对偶式z = asin2x + bsinxcosx, 则

y + z = a + 2bsinxcosx , y – z = acos2x,

两式相加，得y = a + acos2x + bsin2x = a + sin(2x + )（其中tan = ），所以a + = 2 , a - = - 1

解之, 得a = 1 , b = 2 例3．求的值.

解：设，构造对偶式.

则①， ②. ①+②得：

解得或（舍去），即. 例4．求的值.

解：设，构造对偶式. 则 ①, ② . ①+②得:，即. 例5．求的值. 解：设， 构造对偶式. 则 ， , , 即.

由以上各例知,构造对偶式解题，可化繁为简,化难为易.而且能够培养学生观察、分析、联想的思想方法以及创造性思维能力.