高中数学选择性必修三 7 4 1 二项分布 导学案

1.理解伯努利试验以及n重伯努利试验的概念,掌握随机变量服从二项分布的有关计算;

2.能够解决随机变量服从二项分布的实际应用问题，会求服从二项分布的随机变量的均值和方差;

重点： n重伯努利实验，二项分布及其数字特征； 难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布.

1.伯努利试验

在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果. 例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials).我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验。显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：

(1）同一个伯努利试验重复做n次；（概率相同） (2) 各次试验的结果相互独立. 2.二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0𝑘

𝑃(𝑋=𝑘)=𝐶𝑛×𝑝𝑘×(1−𝑝)𝑛−𝑘，𝑘=0,1,…,n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binomial distribution），记作X~B(n,p). X 0 1 … k … n p

00nCnpq 11n1Cnpq … kknkCnpq … nn0Cnpq

3.一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np; D(X)=np(1-p).

一、 问题探究

做一做:问题1.下面3个随机试验是否为n重伯努利试验?

如果是,那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验,定义“成功”的事件为A,那么A的概率是多大?重复试验的次数是多少？ 1.抛掷一枚质地均匀的硬币10次.

2.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次. 3.一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.

探究1 ：伯努利试验和n重伯努利试验有什么不同?

问题2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？

探究2：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列.

思考1：二项分布与两点分布有何关系?

思考2：对比二项分布和二项式定理，你能看出他们之间的联系吗？

二、典例解析

例1 ：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：

（1）恰好出现5次正面朝上的概率；

（2）正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率.

例2：如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列。

二项分布中需要注意的问题和关注点

(1）当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p）中的试验次数n与成功概率p. (2）解决二项分布问题的两个关注点

knk

①对于公式P(X＝k）＝Ck(k＝0，1，2，…，n），必须在满足“独立重复试验”时才能应n p(1－p）

－

用，否则不能应用该公式．

②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．

例3：甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利?

探究3：假设随机变量X服从二项分布B（n,p）,那么X的均值和方差是什么？

例4. 一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，

每道题选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率均为0.6，求此学生在这一次测验中的成绩的数学期望和方差．

1.某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为( ）

282828282A．C810 ×0.8×0.2 B．0.8×0.2 C．C10 ×0.2×0.8 D．0.2×0.8

1

6， ，则P(X＝2）等于( ） 2.已知X是一个随机变量，若X～B3341380

A． B． C． D．

16243243243

3.已知X～B(n，p），E(X）＝8，D(X）＝1.6，则n＝________，p＝________．

4.甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错者2221

得零分．假设甲队中每人答对的概率均为 ，乙队中每人答对的概率分别为 ， ， ，且各人答

3332对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分． (1）求随机变量ξ的分布列．

(2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB）.

5.一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互1

独立的，并且概率是 .

3

(1）求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差．

(2）若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差． 1.二项分布的定义：

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0𝑘

𝑃(𝑋=𝑘)=𝐶𝑛×𝑝𝑘×(1−𝑝)𝑛−𝑘，𝑘=0,1,…,n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binomial distribution），

记作X~B(n,p).

2.确定一个二项分布模型的步骤:

（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p； （2) 确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；

（3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p）. 3.一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np; D(X)=np(1-p).

参考答案：

知识梳理 学习过程 一、 问题探究 问题1： 随机试验 1 是否为n重伯努利试验 是 抛掷一枚质地均匀的硬币 0.5 伯努利试验 P(A) 重复试验的次数 10 2 是 某飞碟运动员进行射击 0.8 3 3 是 从一批产品中随机抽取一件 0.95 20

探究1 ：伯努利试验是一个“有两个结果的试验”，只能关注某个事件发生或不发生；n重伯努利试验是对一个“有两个结果的试验”重复进行了n次，所以关注点是这n次重复试验中“发生”的次数X.进一步地，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列. 问题2：用A表示“第i次射击中靶”(i=1，2，3)，用如下图的树状图表示试验的可能结果：

i

问题由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有2=8种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积，由概率的加法公式和乘法公式得

𝑃(𝑋=0)=𝑃(𝐴1𝐴2𝐴3)=0.23,

𝑃(𝑋=1)=𝑃(𝐴1𝐴2𝐴3)+𝑃(𝐴1𝐴2𝐴3)+𝑃(𝐴1𝐴2𝐴3)=3×0.8×0.22, 𝑃(𝑋=2)=𝑃(𝐴1𝐴2𝐴3)+𝑃(𝐴1𝐴2𝐴3)+𝑃(𝐴1𝐴2𝐴3)=3×0.82×0.2,

P(X=3)=P(𝐴1𝐴2𝐴3)=0.83.

为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为011，110，101，这三个结果发生的概率都相等，均为0.8×0.2，并且与哪两次中靶无关.

2因此,3次射击恰好2次中靶的概率为𝐶3×0.82×0.2.同理可求中靶0次,1次,3次的概率.

2

3

于是，中靶次数X的分布列为：

𝑘

𝑃(𝑋=𝑘)=𝐶3×0.8𝑘×0.23−𝑘，𝑘=0,1，2，3

探究2：(1)表示中靶次数X等于2的结果有：𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4, 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4,, 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4, 𝐴1 𝐴2 𝐴3𝐴4 , 𝐴1 𝐴2𝐴3𝐴4, 𝐴1 𝐴2 𝐴3𝐴4,共6个。

𝑘

(2)中靶次数X的分布列为：𝑃(𝑋=𝑘)=𝐶4×0.8𝑘×0.24−𝑘，𝑘=0,1，2，3,4

思考1：两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；二项分布可以看做两点分布的一般形式.

𝑘思考2： 如果把p看成b，1-p看成a，则𝐶𝑛×𝑝𝑘×(1−𝑝)𝑛−𝑘就是二项式[(1−𝑝)+𝑝]𝑛的展开式

的通项，由此才称为二项分布。

𝑛𝑘𝑘𝑛−𝑘即∑𝑛=[𝑝+(1−𝑝)]𝑛 =1 𝑘=0𝑃(𝑥=𝑘)=∑𝑘=0𝐶𝑛×𝑝×(1−𝑝)

二、典例解析

例1 ：分析:抛掷一枚质地均匀的硬币,出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等,这是一个10重伯努利试验,因此,正面朝上的次数服从二项分布。

解：设A=“正面朝上”，则P(A）=0.5.用X表示事件A发生的次数，X~B(10,0.5). (1)恰好出现5次正面朝上等价于X=5，于是

5

𝑃(𝑋=5)=𝐶10×0.510=1024=256;

252

63

(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内等价于4≤X≤6，于是

564

𝑃(4≤𝑋≤6)=𝐶10×0.510+𝐶10×0.510+𝐶10×0.510=

67221

=. 102432例2：分析：小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果,设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向,有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果,且概率都是0.5.在下落的过程中,小球共碰撞小木钉10次,且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响,因此这是一个10重伯努利试验,小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数,因此X服从二项分布。

解：设A=“向右下落”，则𝐴=“向左下落”，且P(A)=P(𝐴)=0.5.因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X～B(10，0.5）.于是，X的

𝑘

分布列为𝑃(𝑋=𝑘)=𝐶10×0.510，𝑘=0,1,…,10.

X的概率分布图如下图所示：

例3：分析:判断哪个赛制对甲有利,就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大,可以把“甲最终获胜”这个事件,按可能的比分情况表示为若干事件的和,再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率;也可以假定赛完所有n局,把n局比赛看成n重伯努利试验,利用二项分布求“甲最终获胜”的概率。

解法一：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2：0或2：1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为

1

𝑝1=0.62+𝐶2×0.62×0.4=0.648.

类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3：0，3：1或3：2因为每局比赛的结果是独立

22的，所以甲最终获胜的概率为𝑝2=0.63+𝐶3×0.63×0.4+𝐶4×0.63×0.42=0.68256.

解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X～B(3，0.6).

甲最终获胜的概率为 𝑝1 =P(X=2)+P(X=3)= 𝐶32×0.62×0.4+𝐶33×0.63=0.648.

采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数， 则X～B(5，0.6).

甲最终获胜的概率为𝑝2 =𝑃(𝑋=3)+𝑃(𝑋=4)+𝑃(𝑋=5)

=𝐶53×0.63×0.42+𝐶54×0.64 ×0.4+ 𝐶55×0.65=0.68256

因为𝑝2>𝑝1，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.

探究3：当n=1时，X服从两点分布，分布列为P(X=0)=1−p,P(X=1)=p.均值和方差分别为E(X)=p;D(X) =p(1−p).

(2)当n=2时，X的分布列为 P(X=0)=(1−p)2,P(X=1)=2p(1−p),P(X=2)=p2.均值和方差分别为 E(X)=0×(1−p)2+1×2p（1−p）+2×p2=2p.=02×(1−p)2+12×2p（1−p）+22×p2−(2p)2=2p（1−p）.

kkn-k

证明：∵P(X=k)= Cnpq

k k-1(∵ k Cn

=nC

n-1

)

kkn-k

k-1k-1n-k∴kP(X=k)= kCnpq= npC

n-1

pq

00n

11n-1

22n-2

kkn-k

nn0

∴E (X) =0×Cn

pq+ 1×Cn

pq+ 2×Cn

pq + …+ k×Cn

pq+…+ n×Cn

pq

00n-111n-2n-1n-10=np(C

n-1

pq+ C

n-1

pq+ … + C

k-1k-1(n-1)-(k-1) n-1

pq+…+ C

n-1

pq)

n-1

=np(p+q)=np

例4. 解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为ξ，所得的分数为η， 由题意知，η＝4ξ，且ξ～B(25，0.6)，

则E(ξ)＝25×0.6＝15，D(ξ)＝25×0.6×(1－0.6)＝6. 故E(η)＝E(4ξ)＝4E(ξ)＝60，D(η)＝D(4ξ)＝42×D(ξ)＝96. 所以该学生在这一次测验中的成绩的数学期望与方差分别是

D(X)

60和96. 达标检测

1.解析：设X为击中目标的次数，则X～B(10，0.8)，

∴这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为P(X＝8)＝C8×0.88×(1－0.8)2＝C810 10 ×0.88×0.22.故选A. 答案：A

12.解析：由题意知n＝6，p＝ ，

3故

P(X＝2)＝C26

11－1 × ×33

2

6－21224802 ＝C6 ×3 ×3 ＝ .故选D.

243

答案：D

3. 解析：因为随机变量X～B(n，p)，所以E(X)＝np＝8，D(X)＝np(1－p)＝1.6，解得p＝0.8，n＝10.

4.解析：(1)由已知，甲队中3人回答问题相当于3次独立重复试验， 23， . 所以ξ～B3P(ξ＝0)＝C03 P(ξ＝1)＝C13

21

1－ ＝ ， ×327

3

2222× ×1－3 ＝ ， 3922242P(ξ＝2)＝C3 ×3 1－3 ＝ ，

9

2383P(ξ＝3)＝C3 ×3 ＝ ，

27所以ξ的分布列为

ξ 0 1 2 3 1248P 279927 (2)用

C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，AB＝C∪D，C，D互斥． P(C)＝C23

21－2 ×2×1×1＋1×2×1＋1×1×1 ＝10 . × ×3333233233281

2

221841－ 1－ ×1－ ＝P(D)＝ × . 2733224310434所以P(AB)＝P(C)＋P(D)＝ ＋ ＝ .

812432435.解析：(1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布， 11

6， ，所以E(ξ)＝6× ＝2， 且ξ～B33114

1－ ＝ . D(ξ)＝6× ×333

(2)由已知η＝30ξ，所以E(η)＝30E(ξ)＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1 200.