第二章电路分析方法

电路分析是指在已知电路构和元件参数的情况下，求出某些支路的电压、电流。 分析和计算电路可以应用欧姆定律和基尔霍夫定律，但往往由于电路复杂，计算手续十分繁琐。为此，要根据电路的构特点去寻找分析和计算的简便方法。

2．1支路电流法

支路电流法是分析复杂电路的的基本方法。它以各支路电流为待求的未知量，应用基尔霍夫定律（KCL和KVL）和欧姆定律对结点、回路分别列出电流、电压方程，然后解出各支路电流。下面通过具体实例说明支路电流法的求解规律。

【例2-1】试用支路电流法求如图2-1所示电路中各支路电流。已知US1130V，

US2117V，R11，R20.6，R24。

【解】该电路有3条支路（b=3），2个结点（n=2）,3个回路（L=3）。先假定各支路电流的参考方向和回路的绕行方向如图所示。因为有3条支路则有3个未知电流，需列出3个独立方程，才能解得3个未知量。根据KCL分别对点A、B列出的方程实际上是相同的，即结点A、B中只有一个结点电流方程是独立的，因此对具有两个结点的电路，只能列出一个独立的KCL方程。

R1US1I1ⅠUS2BR2AI2ⅡIR图2-1 例2-1的电路再应用KVL列回路电压方程，每一个方程中至少要包含一条未曾使用过的支路（即没有列过方程的支路）的电流或电压，因此只能列出两个独立的回路电压方程。根据以上分析，可列出3个独立方程如下：

结点A I1I2I0

回路Ⅰ I1R1I2R2US1US2 回路Ⅱ I2R2IRUS2

联立以上3个方程求解，代入数据解得支路电流 I110A，I25A，I=5A 通过以上实例可以总出支路电流法的解题步骤是：

1．假定各支路电流的参考方向，若有n个点，根据KCL列出（n－１）个结点电流方程。

２．若有b条支路，根据KVL列（b－n＋１）个回路电压方程。为了计算方便，通常选网孔作为回路。

3．解方程组，求出支路电流。

【例2-2】如图2-2所示电路，用支路电流法求各支路电流。 【解】设各支路电流I1、I2的参考方向及回路绕行方向如图所示。对结点A列KCL方程： I22I1

因为电流源所在支路的电流已知，故只需再列一个回路电压方程即可。对图示回路有：

5I110I25

由以上两式解得：I11A，I21A

2AI2AI110B55V图2-2 例2-2的电路支路电流法原则上对任何电路都是适用的，所以是求解电路的一般方法。

思考题

2-1-1在利用KCL方程求解某支路电流时，若改变接在同一点所有其他已知支路电流的参考方向，则求得的果有无差别？

2-1-2在列写KVL方程时，是否每次一定要包含一条新支路才能保证方程的独立性？

2-1-3图2-3是含有电流源模型的电路，试列出求解各支路电流所需的方程（理想电流源IS所在的支路电流是已知的）。

ISR1USR2图2-3 题2-1-3的电路2．2 叠加定理

电路元件有线性和非线性之分，线性元件的参数是常数，与所施加的电压和通过的电流无关。线性元件组成的电路称为线性电路。叠加定理是反映线性电路基本性质的一条重要原理。

R1US1U2R2 US2R1US1IAIAIU2BR2US2R1US1AU2B（c)R2US2B（a)(b)图2-4 叠加定理叠加定理的内容：在线性电路中，有几个电源共同作用时，在任一支路所产生的电流（或电压）等于各个电源单独作用时在该支路所产生的电流（或电压）的代数和。

一、电流电压的叠加

在图2-4(a)中，有 IUS1US2US1US2 （2-1） R1R2R1R2R1R2如果将恒压源US2短路，则只有恒压源US1单独作用，如图2-4（b）所示，可得

IUS1 （2-2）

R1R2如果将恒压源US1短路，则只有恒压源US2单独作用，如图2-4 (c)所示，可得 I由式2-1、2-2、2-3可得

US2 （2-3）

R1R2III （2-4）

I分别为恒压源US1、US2单独作用时产生的电流。式中I、同理将式2-4左右两边

同乘电阻R2得

IR2IR2IR2

即为

U2U2U2 （2-5）

二、叠加定理应用时注意的问题

1． 叠加定理只适用线性电路，它只能用来分析和计算线性电路的电流和电压，而不 2． 能用叠加定理来计算功率。这是因为功率与电流或电压关系分别为

U2PIR或P，是二次函数，不是线性关系。

R22．所谓某一电源单独使用，就是将其余电源去掉，即将恒压源US有用短路线代替（即令US0）；将恒流源IS断开（即令IS=0）。

3．电源的内阻及其连接方式都保持不变。

4．叠加量的代数和计算，应注意相互参考方向。若参考方向与原支路所标注的参考方向相同时，叠加时取正号，反之取负号。

【例2-3】如图2-5所示电路，用叠加定理求各支路电流。已知：

R16，R28，R32，US20V，IS2A。

I1R1USR3BI3AI2R2I1ISR1USR3AI2R2I1R1ISUSR3AI2R2 I3BI3B

(a)(b)图2-5 例2-3的电路(c)

【解】

1．若恒压源US单独作用时，由图（b）可得

US20I1I32.5A

R1R362I20

2．若恒流源IS单独作用时，由图（c）可得

I2I32A

应用分流公式，同时考虑电流的参考方向，可得

I1R32I220.5A

R1R362I3I1I20.521.5A

3．根据叠加原理，同时考虑电流参考方向，可得

I1I1I12.50.53A

I2I2I2022AI3I3I32.5(1.5)1A

思考题

2-2-1如图2-6所示电路中，电压表的读数为12V，若将AB间短路，遇电压表的读数为8V，试问AB间不断路但C点断开时电压表的读数是多少？

2-2-2如图2-7所示电路中，电流I为4.5A，如果理想电流源断路，则I为多少？

USBA线性电阻网络DVCIIS3US6A3图2-6 题2-2-1的电路图2-7 题2-2-2的电路2-2-3如图2-8所示电路中，当电阻R1的阻值发生变化时，对电流I有何影响？用叠加定理写出I的表达式。

R1ISR3USR2IIUS图2-8 题2-2-3的电路图2-9 题2-2-4的电路2-2-4如图2-9所示电路中，当US10V，I1A。现若US30V，则此时I等于多少？

2．3 等效电源定理

在分析计算电路的过程中，常常遇到只需求解电路中某一支路的电流，如果用前面讲的一些方法求解时，会引出一些不必要的电流计算。为了简化计算，党应用等效电源定理，把需要计算的支路单独划出进行计算，而电路的其余部分就成为一个有源二端网络。所谓有源二端网络，就是具有两个出线端且含有电源的部分电路。这个有源二端网络对于所划出的支路来说，相当于一个电源，可以用一个实际电压源（即理想电压源与电阻的串联）或一个实际电流源（即理想电流源与电阻并联）来作为它的等效电路。等效电源定理包含两方面内容，即戴维 南定理和诺顿定理。

一、戴维南定理

1．戴维南定理的内容：任何有源二端线性网络都可以变换为一个实际电压源模型，如图2-10所示。该电压源模型的理想电压源电压US等于有源二端网络的开路电压，电压源模型的内阻R0等于相应的无源二端网络的等效电阻。所谓相应的无源二端网络的等效电阻，就是将有源二端网

有源二端网络AIR0RLUSBAUUBRL(b)(a)图2-10 戴维南定理络中所有的理想电源（理想电压源和理想电流源）均除去时网络的入端电阻。除去理想电压源，即US0，理想电压源所在处短路；除去理想电流源，即IS0，理想电流源

所在处开路。有源二端网络变换为电压源模型后，一个复杂电路就变换为一个单回路简单电路，就可以直接应用全电路欧姆定律，来求取该电路的电流和端电压。由图2-10（b）可见，待求支路中的电流为

USR0RL （2-6） 其端电压为 UUSR0II戴维南定理是一个很重要的电路分析方法。特别是只需要计算电路中某一指定支路的电流、电压或分析某支路上电阻变化引起的电流和电压变化时，这个方法是很有效的。因此它在工程上获得广泛的应用。

2．应用戴维南定理需要注意的问题：

（1）戴维南等效电路只对线性有源二端网络等效，不适合非线性的二端网络。但外电路不受此限制，即可以是线性电路也可以是非线性电路。因为等效电源的参数（US和

R0）仅与被取代的线性有源二端网络的结构及元件参数有关，而与外电路无关。

（2）等效是对外电路而言的，而戴维南等效电路与有源二端网络内部的电压、电流以及功率关系一般是不等的。

【例2-4】试用戴维南定理求解【例2-1】中的电流I。

（c) 求开路电压US1R1I1US2B（d) 求等效电阻BR2U0R1R2R0（a) 原电路R1US1R2UUS2BARLR0UUSB（b) 戴维南等效电路ARLAIAI图2-11 例2-4的电路【解】根据戴维南定理可用一电压为US的理想电压源和内阻R0相串联的电压源模型来等效代替，如图2-11（b）所示。电压源模型的理想电压源电压US等于A、B两端的开路电压U0，这可由图（c）求得：

I1US1US21301178.13A

R1R210.6故 USU0R2I1US2122V

其内阻R0为A、B两端无源网络的入端电阻，这可由图（d）求得： R0于是由图（b）可得

R1R210.60.375

R1R210.6IUS1225A

R0RL0.37524【例2-5】电路如图2-12所示，已知R130，R210，R320，R440，

R550试用戴维南定理求解电流I5。

R3DAR1I1R2CR4U0AR3R4D（d)图2-12 例2-5的电路D（e)R3DAR1I5R5R4BR2CAR3D（b)（a)BBR1R2R0CR0USR5I5BR4DR1BR2CBI5R56VUSUSI26VUS（c)【解】从图（a）中将待求电流的BD支路抽出，如图（b）所示，则可用一电压源模型来等效代替。该电压源模型中理想电压源的电压US和内阻R0可分别由图（c）和图（d）求得。

由图（c）可知

US6I10.15AR1R23010US6I20.10AR3R42040

故USU0R2I1R4I2100.15400.12.5V 由图（d）可知R0RRR1R2301020403420.8

R1R2R3R430102040最后由图（e）求出通过BD支路的电流

I5US2.535.3mA

R0R520.850若要通过电桥对角线支路的电流I50（电桥平衡），则需USU00。由图（c）可知：

USUSU0R2I1R4I2R2R40

R1R2R3R4则有

R2R4 R1R2R3R4于是 R2R3R1R4

这就是电桥的平衡条件。利用电桥的平衡原理，当三个桥臂的电阻为已知时，则可准确地测出第四桥臂的电阻。

有源二端网络有源二端网络I1I2500k20VV11M30VV2500k20V1M30V(a)(b)图2-13 例2-6的电路3．戴维南定理的应用：

【例2-6】如图2-13（a）所示的有源二端网络，用内阻为1M的电压表去测量网络的开路电压时为30V；用500M的电压表去测量时为20V。试将该网络用有源支路来代替。

【解】用电压表测量网络开路电压的等效电路如图（b）所示。由图可知

US100030R01000US50020R0500解得

US60VR01M

本例提示我们，戴维南定理可用于校正非理想电压表测量的电压。

【例2-7】电路如图2-14所示，RL可调，求RL为何值时，它吸收的功率最大？并计算出这最大功率。

【解】我们先分析一下电路中负载获得最大功率的条件。根据戴维南定理，对于负载RL来说图（a）所示的电路可等效为图（b）所示的电路，US为电压源模型的理想电压源电压，R0为电压源模型的内阻，RL为负载电阻。从图中可得负载功率为

369VRLUSR0IRLPLI2RL(US2)RL

R0RL（a）（b）图2-14 例2-7的电路当R00或时，RL上不获得功率，

只有当R0为0到之间某一值时，才能获得最大功率。由

22(RR)2RL(R0RL)dPLUS0LU2R0RL

SdRL(R0RL)4(R0RL)3令

dPL0，则得 dRL

RL=R0 （2-7）

即当负载电阻等于电源内阻时，负载上获得的功率最大。电路满足此条件时我们说负载与电源（或信号源）相匹配。此时的最大功率为

2PLmaxUSUS2 （2-8） RL|RLR0RR4RL00我们再回到例题，移去负载后的有源二端网络如图2-15（a）所示，将其变换为电压源模型，理想电压源电压US和内阻R0分别为

US966V36

36R0236369V2RL6V画出戴维南等效电路并接上负载，如图2-15（b）所示，则当RLR02时，RL上获得最大功率，且最大功率为

（b）（a）图2-15 例2-7的解PLmax 二、诺顿定理

E2624.5W 4R042戴维南定理告诉我们,有源二端网络可用电压源来等效代替,故戴维南定理又称为等效电压源定理。由于电压源模型与电流源模型可以等效变换，因此有源二端线性网络也可用电流源模型来代替。如图2-16所示，图（a）的电压源可以变换为变换图（b）的电流源。图（b）中的

USR0U0ISR0U0ISUSR0即为网络的的短路电流。

诺顿定理的内容：任一有源二端线性网络，对其外部电路来说，可用一个电流为IS的理想电流源和内阻R0相并联的有源电路来等效代替。其中理

(a)(b)图2-16 戴维南定理与诺顿定理的关系想电流源的电流IS等于网络的短路电流，内阻R0等于相应的无源二端网络的等效电阻。

诺顿定理又称为等效电流源定理，它和戴维南定理一起合称为等效电源定理。 【例2-8】已知：US12V,IS7A,R1R2R34试用诺顿定理求图2-17（a）中的电流I。

【解】（1）求短路电流ISC：

将AB端钮右侧电路短路，得到图（b）电路，则

ISCUS12IS710A R14（2）求等效电阻R0： 效电阻为

R0R14

（3）画等效电路，求电流i：

等效电路如图（d）所示，利用分流公式，则得

R1R2R3US(a)ISBIUS(b)ISB(c)AR1R2ISCAAAR1R0BISCR0R3I(d)B图2-17 例2-8的电路将图2-17（b）电路中的理想电压源短路、理想电流源开路，得图（c）电路，则等

IR04ISC105A

R0R344 注意：理想电压源IS的方向应与短路电流ISC的方向取得一致，如图（b）、(d)所示。

思考题：

２-3-1 KCL定理、KVL定理以及支路电流法、叠加定理、戴维南定理中有哪些只适用于线性电路而不适用于非线性电路？

2-3-2 在工程实际上，如果有源二端网络允许短路，则可用实验方法测出它的开路电压和短路电流，即可求得有源二端网络的电压源模型的理想电压源电压US和内阻R0。试说明其原理。

2-3-3 在用实验方法求有源二端网络的等效内阻R0时，如果输出端不允许短路，则

可在输出端接一个已知阻值的电阻，测出电流后即可算出等效内阻R0。试说明其原理。

2-3-4 如果用戴维南定理等效一个线性无源二端网络，会有什么结果？ 2-3-5 线性有源二端网络在端口开路和短路的情况下，输出功率是多少？

本 章 习 题

2-1 如图2-18所示电路，已知US18V，US26V，R10.1，R20.2，

R320，R440，试求各支路中的电流。

US1I1R1I2R2I3I4R3US2R42kR1US1=5VR311k5kR2US2=6VUS3=10V图2-18 题2-1的电路图2-19 题2-2的电路2-2如图2-19所示电路，试求电路中各支路电流。

2-3如图2-20所示电路中，电阻R消耗功率为2W。US1V，R11，IS2A，试求R的阻值。

2-4试用支路电流法求图2-21所示网络中通过电阻R3支路的电流I3及理想电流源的端电压U。图中IS2A，US2V，R13，R2R32。

2-5试用叠加定理重解题2-4。 2-6再用戴维南定理求题2-4中的I3。

2-7如图2-22所示的电路中，已知US16V，US21V，IS5A，R12，

图2-20 题2-3的电路USR1RISR1ISUR3I3R2US图2-21 题2-4的电路R21，求电流I。

2-8如图2-23所示电路中，已知UAB0V，试用叠加定理求US的值。 R1

US1IISR2US26US410V6A4B图2-22 题2-7的电路图2-23 题2-8的电路2-9如图2-24所示电路，试用叠加定理求电阻R4上电压U的表达式。

2-10如图2-25所示电路，已知R11，R2R32，US11V，欲使I0，试用叠加定理确定电流源IS的值。

2-11画出图2-26所示电路的戴维南等效电路。

2-12如图2-27所示电路接线性负载时，U的最大值和I的最大值分别是多少？ 2-13电路如图2-28所示，假定电压表的内阻为无限大，电流表的内阻为零。当开关

USR2UR1ISR3AR4BISIUSR1R2R3图2-24 题2-9的电路图2-25 题2-10的电路S处于位置1时，电压表的读数为10V，当S处于位置2时，电流表的读数为5mA。

试问当S处于位置3时，电压表和电流表的读数各为多少？

2

B(a)(b)4V2A2AA2AAA3V3A6AB(d)424V422A6B(c)3B3图2-26 题2-11的电路2-14如图2-29所示电路中，各电源的大小和方向均未知，只知每个电阻均为6，又知当R6时，电流I5A。今欲使R支路电流I3A，则R应该多大？

图2-27 题2-12的电路2VI11AU有源二端网络3AVS123k图2-28 题2-13的电路2-15如图2-30所示电路中，N为线性有源二端网络，测得AB之间电压为9V，见图（a）；若联接如图（b）所示，可测得电流I1A。现联接成图（c）所示形式，问电流I为多少？

2-16电路如图2-31所示，已知R15时获得的功率最大，试问电阻R是多大？

5

NA9VBNBI=1AA66666R图2-29 题2-14的电路5A5I3NB33A(a)(b)图2-30 题2-13的电路(c)5ISUSRR1 2-31 题 2-16 的图 图