学校奥数全部学问点大汇总(最全)
和－小数=大数
差÷(倍数-1)=小数
学校奥数学问点大汇总
小数×倍数=大数
1．和差倍问题
小数＋差=大数
和差问题和倍问题差倍问题
关键问题求出同一条件下的
已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数
和与差和与倍数差与倍数
的和，差，倍数关系
2．年龄问题的三个基本特征：
公式①(和－差)÷2=较小数
①两个人的年龄差是不变的；
较小数＋差=较大数学校奥数很简洁，就这30个学问点
②两个人的年龄是同时增加或者同时削减的；
和－较小数=较大数
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
②(和＋差)÷2=较大数
3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用
较大数－差=较小数
“照这样的速度”……等词语来表示。
和－较大数=较小数
关键问题：依据题目中的条件确定并求出单一量；
和÷(倍数＋1)=小数
4．植树问题
小数×倍数=大数
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基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树， 基本公式：
两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树 ①把全部鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）
基本公式棵数=段数＋1 ②把全部兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）
棵距×段数=总长棵数=段数－1 关键问题：找出总量的差与单位量的差。
棵距×段数=总长棵数=段数 6．盈亏问题
棵距×段数=总长 基本概念：肯定量的对象，依据某种标准分组，产生一种结果：依据另一种标准分组，
关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数
5．鸡兔同笼问题 或对象的总量．
基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路：先将两种安排方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，依据这
基本思路： 个关系求出参与安排的总份数，然后依据题意求出对象的总量．
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： 基本题型：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ①一次有余数，另一次不足；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出消失这个差的缘由； 基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差
④再依据这两个差作适当的调整，消去消失的差。 ②当两次都有余数；
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基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差 周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环消失。
③当两次都不足； 周期：我们把连续两次消失所经过的时间叫周期。
基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差基本特点：对象总 关键问题：确定循环周期。
量和总的组数是不变的。 关键问题：确定对象总量和总的组数。 7．牛吃草问题 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，依据两次不同的吃法，求出其中的总草量 的差；再找出造成这种差异的缘由，即可确定草的生长速度和总草量。 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量。 基本公式： 生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）； 总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量； 8．周期循环与数表规律 第 3 页 共 12 页闰年：一年有366天；
①年份能被4整除；②假如年份能被100整除，则年份必需能被400整除；
平年：一年有365天。
①年份不能被4整除；②假如年份能被100整除，但不能被400整除；9．平均数
基本公式：①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法：
①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.
②基准数法：依据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与全部数比较接近的
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数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求全部给出数与基准数的差；再求出全部差的和； 理解学问点：[X]表示不超过X的最大整数。
再求出这些差的平均数；最终求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，详细关 例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
系见基本公式②。 关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行
10．抽屉原理 运算。
抽屉原则一：假如把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个 11．定义新运算
物体。 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种 基本思路：严格依据新定义的运算规章，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然
状况： 后依据基本运算过程、规律进行运算。
①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
观看上面四种放物体的方式，我们会发觉一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或 留意事项：①新的运算不肯定符合运算规律，特殊留意运算挨次。
多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
抽屉原则二：假如把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有： 12．数列求和
①k=[n/m]+1个物体：当n不能被m整除时。 等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是肯定的，这样的一列数，就叫做等差数
②k=n/m个物体：当n能被m整除时。 列。
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基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示； 公差公式：d=（an－a1））（n－1）；
项数：等差数列的全部数的个数，一般用n表示； 公差=（末项－首项）（项数－1）；
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示； 关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；
通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示； 13．二进制及其应用
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示． 十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上
基本思路：等差数列中涉及五个量：a1，an，d，n，sn，，通项公式中涉及四个量，假的2表示20，百位上的2表示200。所以
如己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，假如己知其中三个，就可以求 234=200+30+4=2102+310+4。
这第四个。 =An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+……
基本公式：通项公式：an=a1+（n－1）d； +A3102+A2101+A1100
通项＝首项＋（项数一1)公差； 留意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然数）
数列和公式：sn，=(a1+an)n2； 二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。
数列和＝（首项＋末项）项数2； （2）=An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7 +……+A322+A221+A120
项数公式：n=(an+a1)d＋1； 留意：An不是0就是1。
项数=（末项-首项）公差＋1； 十进制化成二进制：
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①依据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余 基本特征：每一步只能完成任务的一部分。
数按自下而上依次写出即可。 直线：一点在直线或空间沿肯定方向或相反方向运动，形成的轨迹。直线特点：没有端
②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，点，没有长度。
依此方法始终找到差为0，依据二进制绽开式特点即可写出。 14．加法乘法原理和几何计数 加法原理：假如完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类 方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有： m1+m2.......+mn种不同的方法。 关键问题：确定工作的分类方法。 基本特征：每一种方法都可完成任务。 乘法原理：假如完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1 步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种 15方法，那么完成这件任务共有：m1×m2.......×mn种不同的方法。 关键问题：确定工作的完成步骤。 第 6 页 共 12 页线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。
线段特点：有两个端点，有长度。
射线：把直线的一端无限延长。
射线特点：只有一个端点；没有长度。
①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一1）；
②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；
③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：
④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
．质数与合数
质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。
合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
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质因数：假如某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。 m。
分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分 例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；
解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。 18的约数有：1、2、3、6、9、18；
分解质因数的标准表示形式：N=，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1 那么12和18的公约数有：1、2、3、6；
求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1) 那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；
互质数：假如两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。16．约数与倍数 求最大公约数基本方法：
约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a 的约数。 1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数 2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
的最大公约数。 3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公
最大公约数的性质： 约数。
1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。 公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数
2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。 的最小公倍数。
3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。 12的倍数有：12、24、36、48……；
4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 18的倍数有：18、36、54、72……；
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那么12和18的公倍数有：36、72、108……； 3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36； 4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
最小公倍数的性质： 5.能被7整除：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法 6. 17．数的整除 一、基本概念和符号： 1、整除：假如一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么 叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。 2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”； 7. 二、整除推断方法： 1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。 2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。 第 8 页 共 12 页①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。②逐次去掉最终一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能
被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最终一位数字并减去末位数字后能被11整除。
能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能
被13整除。
②逐次去掉最终一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
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三、整除的性质： 作a同余于b模m。
1.假如a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。 二、同余的性质：
2.假如a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。 ①自身性：a≡a(modm)；
3.假如a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。 4.假如a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。18．余数及其应用 基本概念：对任意自然数a、b、q、r，假如使得a÷b=q……r，且0 余数的性质： ①余数小于除数。 ②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。 ③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。 ④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。 19．余数、同余与周期 一、同余的定义： ①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。 ②已知三个整数a、b、m，假如m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(modm)，读 第 9 页 共 12 页
②对称性：若a≡b(modm)，则b≡a(modm)；
③传递性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)；
④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a+c≡b+d(modm)，a-c ≡b-d(modm)；
⑤相乘性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a×c≡b×d(modm)；
⑥乘方性：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm)；
⑦同倍性：若a≡b(modm)，整数c，则a×c≡b×c(modm×c)；三、关于乘方的预备学问：①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod9)或（mod3）；
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的
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和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod11)；五、费尔马小定理：假如p是质数（素数），a是 ④假设思维方法：为了解题的便利，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种
自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(modp)。 状况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最终结果。
20．分数与百分数的应用 ⑤量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，
基本概念与性质： 而这个量是始终固定不变的。有以下三种状况：A、重量发生变化，总量不变。B、总量发生
分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。 变化，但其中有的重量不变。C、总量和重量都发生变化，但重量之间的差量不变化。
分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 ⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。
分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。 ⑦同倍率法：总量和重量之间依据同分率变化的规律进行处理。
百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。 ⑧浓度配比法：一般应用于总量和重量都发生变化的状况。
常用方法： 21．分数大小的比较
①逆向思维方法：从题目供应条件的反方向（或结果）进行思索。 基本方法：
②对应思维方法：找出题目中详细的量与它所占的率的直接对应关系。 ①通分分子法：使全部分数的分子相同，依据同分子分数大小和分母的关系比较。
③转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例 ②通分分母法：使全部分数的分母相同，依据同分母分数大小和分子的关系比较。
和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件 ③基准数法：确定一个标准，使全部的分数都和它进行比较。
下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。 ④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差肯定时，分子或分母越大的分数值越大。
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⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外， 3.除以4余0或余1；反之不成立。
可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（详细运用见同倍率变化规律） 4.约数个数为奇数；反之成立。
⑥转化比较方法：把全部分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。 5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。 ⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。 ⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。 ⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。22．分数拆分 一、将一个分数单位分解成两个分数之和的公式： ①=+； ②=+（d为自然数）； 23．完全平方数 完全平方数特征： 1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。 2.除以3余0或余1；反之不成立。 6. 7. 24 第 11 页 共 12 页
奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
两个相临整数的平方之间不行能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）
完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2
．比和比例
比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。
比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。
比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a：b=c：d或
比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。
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正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成正 逆水行程=（船速-水速）×逆水时间
比。 顺水速度=船速+水速
反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B成反 逆水速度=船速-水速
比。 比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。 按比例安排：把几个数按肯定比例分成几份，叫按比例安排。 25．综合行程
基本概念：行程问题是讨论物体运动的，它讨论的是物体速度、时间、路程三者之间的
关系.
基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间关键问题：确定运动
过程中的位置和方向。
相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）
追及问题：追准时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间
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静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
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