安徽省芜湖市第一中学2020学年高二数学上学期期末考试试卷 理

高二数学（理科）试卷

一、选择题（每题3分，共30分，答案写在答题卷上） 1．下列命题中正确的命题的是

A．平行于同一平面的两条直线平行 C．垂直于同一平面的两条直线平行

B．与同一平面成等角的两条直线平行 D．垂直于同一直线的两条直线平行

2．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且AB26,则实数x的值是

A．3或4 B．6或2

C．3或4 D．6或2

3．过点P(4,1)且与直线3x4y60垂直的直线方程是

A．4x3y130 C．3x4y160

B．4x3y190 D．3x4y80

4,则正方体的表面积是 34．一个正方体的所有顶点都在同一球面上,若球的体积是A．8 B．6

C．4 D．3

5．在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AB，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为 A．

21566 B． C． D． 25436．圆x22xy24y30上到直线xy10的距离为2的点共有

A．1个 C．3个

B．2个

D．4个

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A．54 B．60 C．66 D．72

xy08．已知在平面直角坐标系xOy上的区域M由不等式组xy2给定，若点P(ab,ab)在

y0区域M内，则4a2b1的最大值为

A．3

9．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线

2xy40 相切，则圆C面积的最小值为

B．4 C．5 D．6

A．

4 5B．

3 4 C．(625) D．

5 410．已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长为1，O为底面ABCD的中心，M、N分别是棱CC1和

A1D1的中点，则四面体OMNB1的体积为

1A．

6B．

5 481C．

8D．

7 48二、填空题（每题4分，共20分，答案写在答题卷上）

11．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、

球的体积之比为 ．

12．已知直线x2y2k0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，则实数k的取值范

围是___________．

13．过P(2,3)作圆(x4)2(y2)29的两条切线，切点为A、B,则过A、B两点的直线

方程为 ．

14．如图，正方体ABCDA1B1C1D1，则下列四个命题：

①P在直线BC1上运动时，三棱锥AD1PC的体积不变；

②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变； ③P在直线BC1上运动时，二面角PAD1C的大小不变；

④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线． 其中正确的命题是 ．

15．设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点

P(x,y)，则PAPB的最大值是________．

三、解答题（6题，共50分，答案写在答题卷上）

16．（本题8分）求经过直线L1:3x4y50与直线L2:2x3y80的交点M，且满足下

列条件的直线方程．

（1）与直线2xy50平行； （2）与圆(x2)2y24相切．

17．（本题8分）已知方程x2y22x4ym0. （1）若此方程表示圆，求m的取值范围；

（2）若（1）中的圆与直线x2y40相交于M，N两点，且OMON（O为坐标原点）求m

的值．

18．（本题8分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，

AB∥DC，∠BCD＝90°. （1）求证：PC⊥BC；

（2）求点A到平面PBC的距离．

19．（本题8分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1CA2，

ABBC，D是BC1上一点，CD平面ABC1． （1）求证：AB平面BCC1B1； （2）求异面直线AC1与BC所成的角．

C B1

C1 A1

D

B A

20．（本题9分）在如图所示的四棱锥PABCD中，已知PA面ABCD，AB//DC，

DAB90o，PAADDC1,AB2，M为PB的

中点．

（1）求证：MC∥平面PAD；

（2）求直线MC与平面PAC所成角的余弦值； （3）求二面角APBC的平面角的正切值．

21．（本题9分）圆O的方程为x2y21，直线l1过点A(3,0)，且与圆O相切． （1）求直线l1的方程；

（2）设圆O与x轴交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴

垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′，求证：以P′Q′直径的圆C总经过定点，并求出定点的坐标．

芜湖一中2020第一学期高二（理科）数学期末考试答案 一、选择题（每题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D A A C C B C A D 二、填空题（每题4分，共20分）

11． 3：1：2 12． 1k1且k0 13． 6x5y250 14． ①③④ 15． 5 三、解答题（共50分） 16．（8分）

3x4y5x1解：解得，所以交点（-1，2）--------2分

2x3y8y2（1）直线方程为2xy0--------4分 （2）直线方程为y2-----6分

和y217．（8分）

解：（1）由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5．--------3分 （2）设M(x1,y1),N(x2,y2)，由OM⊥ON得x1x2+ y1y2=0。 将直线方程x+2y-4=0与曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0联立并消去y 得5x2-8x+4m-16=0，由韦达定理得x1+x2=①,x1x2=4m16②，

512(x1)------8分 585又由x+2y-4=0得y=

1151 (4-x), ∴x1x2+y1y2=x1x2+(4-x1)·(4-x2)=x1x2-( x1+x2)+4=0 22248将①、②代入得m=．--------8分

518．（8分）

（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC

平面ABCD，

平面PCD，DC

平面PCD，所以

所以PD⊥BC，由∠BCD=90°，得BC⊥DC，又PD∩DC=D，PDBC⊥平面PCD，因为PC

平面PCD，所以PC⊥BC．--------4分

（2）解：连结AC，设点A到平面PBC的距离为h，因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°， 从而由AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1，由PD⊥平面ABCD及PD=1， 得三棱锥P-ABC的体积所以PD⊥DC，又PD=DC=1，所以

，因为PD⊥平面ABCD，DC

，

平面ABCD，

由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积，由，得，

因此，点A到平面PBC的距离为19．（10分）

．--------8分

（1）略证：易证ABCC1,ABCD,可得AB平面BCC1B1--------4分 （2）转化为AC1与B1C1所成的角，在△AB1C1中可求B1C1A20．（9分）

解：（1）如图，取PA的中点E，连接ME，DE，∵M为PB的中点， ∴EM//AB,且EM=

DC1AB， 23--------8分

1

AB. 又∵AB//DC，且2

∴EM//DC，且EM=DC ∴四边形DCME为平行四边形, 则MC∥DE，又MC平面PAD, DE平面PAD 所以MC∥平面PAD --------3分

（2）取PC中点N，则MN∥BC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC ，又

AC2BC222AB2ACBC,∴BC⊥平面PAC，则MN⊥平面PAC所以，MCN为直线

MC与平面PAC所成角，QNC1315PC,MCPB2222

cosMCNNC15--------6分 MC5（3）取AB的中点H，连接CH，则由题意得CHAB，又PA⊥平面ABCD，所以PACH，则CH平面PAB.所以CHPB,过H作HGPB于G,连接CG，则PB平面CGH,所以

CGPB,则CGH为二面角APBC的平面角.

QPA1CH1,AB2,PBPA2AB25. 则GHBHsinPBABHPA1CH，tanCGH5 ABGH5故二面角APBC的平面角的正切值为5.--------9分 20．（9分）

解：（1）∵直线l1过点A（3，0），且与圆C：x2+y2=1相切， 设直线l1的方程为y=k（x-3），即kx-y-3k=0，

则圆心O（0，0）到直线l1的距离为d==1，解得k=±，

∴直线l1的方程为y=±（x-3）．--------4分

（2）对于圆C：x2+y2=1，令y=0，则x=±1，即P（-1，0），Q（1，0）， 又直线l2过点A且与x轴垂直，∴直线l2的方程为x=3， 设M（s，t），则直线PM的方程为y=

（x+1），

解方程组，得P′（3，），同理可得Q′（3，

）（y-

）， ）=0，

∴以P′Q′为直径的圆C′的方程为（x-3）（x-3）+（y-又s2+t2=1，

∴整理得（x2+y2-6x+1）+

y=0，

若圆C′经过定点，只需令y=0，从而有x2-6x+1=0，解得：x=3±2∴圆C′总经过定点，定点坐标为（3±2

，0）．--------9分

，