概率论与数理统计习题解答(第2章)

概率论与数理统计习题解答(第2章)

习 题 二

（A）

三、解答题

1．一颗骰子抛两次，以X表示两次中所得的最小点数

(1) 试求X的分布律； (2) 写出X的分布函数．

解: (1)

X pi

1 11362 3 7364 5365 3366 136 9 36 分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有

可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数为1，其余一个1至6点均可，共有C126-1（这里C指任选某次点

1212数为1，6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为C了一次）或

6多算

1C251种，故

11C26-1C25111PX1363636,其他结果类似可得.

(2)

x1 0 ，P{X1}，1x2P{X1}P{X2}，2x3 3x4 F(x)P{X1}P{X2}P{X3}，

P{X1}P{X2}P{X3}P{X4}， 4x5P{X1}P{X2}P{X3}P{X4}P{X5}，5x61 ， x6

x1 0 ，11，1x236202x3，3627， 3x4 3632 4x536，35，5x636 x61 ， 2．某种抽奖活动规则是这样的：袋中放红色球及白色球各5只，抽奖者交纳一元钱后得到一次抽奖的机会，然后从袋中一次取出5只球，若5只球同色，则获奖100元，否则无奖，以X表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数，求X的分布律．

2

解：

X1 pi -9 9 注意，这里X指的是赢钱数，X取0-1或100-1，显然PX99C2kk!5101126.

X的分布律为

3．设随机变量

P{Xk}a,k0,1,2,;0为常数，试求常数a．

1 解：

因为ak!aek0k，所以ae.

 4．设随机变量X的分布律为

X pi -1 1/4 2 1/2 3 1/4 (1) 求X的分布函数；

35 (2) 求P{X1}，P{X}，P{2x3}． 222 解： (1)

0，x-110，x-1，1x2P{X1}，1x24f(x)2x33P{X1}P{X2}，，2x341，x31，x3，

3

11513 (2) PXpX1、 PXPX2, 24222 P2X3PX2X3PX2PX33.4

k 5．设随机变量X的分布律为P{Xk}21,k1,2,求： (1) P{X = 偶数} (2) P{X  5} (3) P{X = 3的倍数} 解：

11212i22(1) PX偶数12141limi12222i122151， 16161231i1321.

171321，3

(2) PX51PX41 (3) PX3的倍数i11lim23ii

6. 某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为0.5t的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计） (1) 求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率．

(2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到

4

一次紧急呼救的概率． 解：

(1) X~P0.5tP1.5 PX0e1.5.

7. 某人进行射击，每次射击的命中率为0.02，

(2) 0.5t2.5 Px11Px01e2.5.

独立射击400次，试求至少击中2次的概率．

0.2, 解：设射击的次数为X，由题意知X~B400，kPX21PX11k0C4000.02k0.98400k,18K81k0e10.280.9972k!1，其中8=400×0.02.

8. 设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号．现进行5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率． 解：设X为事件A在5次独立重复实验中出

0.3 现的次数，X~B5，则指示灯发出信号的概率

01pPX31PX31(C50.300.75C50.310.74C520.320.73)

10.83690.1631.

9. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从参数为5指数分布．某顾客在 5

窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开．他一个月要到银行5次，以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数．写出Y的分布律，并求P{Y  1}． 解：因为X服从参数为5的指数分布，则

F(x)1ex5，PX101F(10)e，Y~B5，e,

22则P{Yk}C

k5(e2)k(1e2)5k,k0,1,5.

5P{Y1}1-P{Y0}1（1e2）0.5167

10．设随机变量

acosx,|x|2f(x)0,|x|2X的概率密度为

，试求：

(1) 系数a；

(2) X落在区间(0,)内的概率． 4 解：(1) 由归一性知：1以a1. 2

(2) .P{0Xf(x)dx2acosxdx2a2，所

4}40112cosxdxsinx|04. 224 11．设连续随机变量

X的分布函数为

6

x00,F(x)Ax2,0x11,x1

试求：

(1) 系数A；(2) X落在区间(0.3，0.7)内的概率；(3) X的概率密度．

解 （1）由F(x)在x=1的连续性可得

x1limF(x)limF(x)F(1)x1，即A=1.

2x,0x1f(x)F(x)0, （2）P0.3X0.7F(0.7)F(0.3)0.4.

（3）X的概率密度

.

12．设随机变量X服从(0，5)上的均匀分布，求x的方程4x24XxX20有实根的概率．

解：因为X服从（0，5）上的均匀分布，所以

10x5f(x)50其他

4x24Xx2X20 若方程

(4X)216X320有实根，则

，即

，所以有实根的概率为

521113dx0dxx52555

X2 X1 pPX2PX1

7

13．设X～N(3，4)

(1) 求P{2X5},P{4X10},P{X2},P{X3}; (2) 确定c使得P{Xc}P{Xc};

(3) 设d满足P{Xd}0.9，问d至多为多少?

4) 所以 解: (1) 因为X~N(3，P{2X5}F(5)F(2)

(1)(0.5)10.84130.691510.5328

P4X10F(10)F(4)

(2)

PXc(3.5)(3.5)12(3.5)120.999810.9996

PX21PX21P2X2

1F(2)F(2)1(0.5)(2.5)1(2.5)(0.5)

10.30230.6977

PX31PX31F(3)1(0)10.50.5. 则

PXc1PXc，

1c31F(c)()222，

经查表得

(0)1230，得c3；由概率密度关于，即c2 8

x=3对称也容易看出。

3 (3) PXd1PXd1F(d)1(d2)0.9，

则

(1.28)0.8997(d3)0.12，即

(-d3)0.92，经查表知

，

3故-d21.28，即d0.44.

14．设随机变量X服从正态分布N(0,)，若

2P{(Xk}0.1，试求P{Xk}．

kkk1PXk1PkXk1()()k22()0.1 解：PX

所以

k()0.95

k，pXkF(k)(由对称)0.95；

性更容易解出.

15．设随机变量X服从正态分布N(,)，试问：

2随着的增大，概率P{|X –  | < }是如何变化的？

解：X~N(,)则 PXPX

2 9

F()F()

()()  都不会改变；

16．已知离散随机变量X的分布律为

X pi 2(1)(1) .

2(1)10.6826上面结果与σ无关，即无论σ怎样改变，PX-2 1/5 -1 1/6 0 1/5 1 1/15 3 11/30 试求YX与ZX的分布律． 解：由X的分布律知

p 15 16 1 5115 1130 x -2 -1 0 1 3 X 4 1 0 1 9 X 2 1 0 1 3 2所以 Y的分布律是

Y 0 1 4 9 p 15730 1 51130 10

Z的分布律为

eX的概率密度．

解：因为X服从正态分布N(,)，所以

2Y 0 1 2 3 p 15730 1 51130 17．设随机变量X服从正态分布N(,)，求Y =

2fX(x)12e(x)222，

，

YFY(y)PeXy当y0时，F(y)0，则fY(y)0X

当y0时，F(y)P(Yy)PeYyPXlnyFX(lny)

fY(y)FY(y)[FX(lny)]''11fX(lny)yy1212ee(lny)222 ；

所以Y的概率密度为

1fY(y)y0(lny)222y0y0 11

18．设X～U(0，1)，试求Y = 1 – X的概率密度．

1 解 因为X~U(0,1)，f(x)00x1 ，

FY(y)P(Yy)P1XyPX1Y1FX(1y)所以fY(y)FY(y)[1FX(1y)]'

1,01y11,0y1fX(1y)0,其他0,其他

2X 19．设X～U(1，2)，试求Ye的概率密度．

1 解：X~U(1,2)，则f(x)0FY(y)PYyPe2Xy1x2其他



当y0时，F当y0时，

Y(y)Pe2Xy0，

FY(y)11PXlnyFX(lny)， 22 12

111'fY(y)FY(y)[F(lny)]'fX(lny)22y2

12y012y001lny22其他

e2xe4其他 20．设随机变量X的概率密度为

322x,1x1f(x)0,其他

试求下列随机变量的概率密度： (1) Y (2) Y (3) Y13X;

23X;X23．

11FY1(y)PY1yP3XyPXyFX(y)33 解: (1)

111'fY1(y)FY1(y)[F(y)]'fX(y)333

因为

所以

32xfX(x)201x1其他

，

112111y,1y1y2,3y318fY1(y)fX(y)183,其他33其他0,0 (2)

FY2(y)PY2yP3XyPX3y1FX(3y) 13

fY2(y)FY'2(x)[1FX(3y)]'fX(3y)

因为 所

32xfX(x)201x1其他，

以

33(3y)2,13y1(3y)2,2y4fY2(y)fX(3y)220,其他0,其他（3）F2(y)PYyPXyY33

，fY3 当y0时，F

所以 因为所以

Y3(y)PX2y0(y)FY'3(x)0X

当y0时，FY3(y)PyXyFXfY3(y)FY'3(x)[F1[ffY3(y)2yXyF(XyF(y)，

1y)][fyf(y)]

2y'XXyf0(y)],,y0， y032xfX(x)201x1其他，

3y,0y1fY3(y)2,其他0

四、应用题

1. 甲地需要与乙地的10个电话用户联系，每一个用户在1分钟内平均占线12秒，并且各个

14

用户是否使用电话是相互独立的．为了在任意时刻使得电话用户在用电话时能够接通的概率为0.99，应至少有多少电话线路？

解：设X为同时打电话的用户数，由题意知

X~B10 ,0.2

设至少要有k条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为0.99，则

P{Xk}C0.20.8i10ii0k10ii0kii!e0.99，其中2,

查表得k=5.

2. 在一个电子仪器系统中，有10块组件独立工作，每个组件经过5小时后仍能正常工作的概率为e，其中 是与工艺、系统复杂性有关的

5因子．若该系统中损坏的组件不超过一块，则系统仍能正常工作，那么，5小时后系统不能正常工作的概率（ = 0.08）是多少？

解：该问题可以看作为10重伯努利试验，

每次试验下经过5个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概率为1-e，记X为

0.4 15

10块组件中不能正常工作的个数，则

X~B(10,1e0.4)，

5小时后系统不能正常工作，即X2，其

概率为

PX21PX101 1C10(1e0.4)0(e0.4)10C10(1e0.4)1(e0.4)101

0.8916. 3. 测量距离时，产生的随机误差X服从正态分布N(20，402)，做三次独立测量，求： (1) 至少有一次误差绝对值不超过30m的概率；

(2) 只有一次误差绝对值不超过30m的概率．

解：因为X~N(20,40)，所以

P{X30}P{30X30}F(30)F(30)

2

30203020)()4040(0.25)(1.25)1 0.51870.894410.4931(设Y表示三次测量中误差绝对值不超过30

16

米的次数，则X~B(3,0.4931)，

(1)

0P{Y1}1P{Y0}1C30.49310(10.4931)31-0.506930.8698.

(2)

1P{Y1}C30.493110.506920.3801.

4. 假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数为5的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而无故障的情况下工作2小时便关机．试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数．

解：当y0时，{Yy}是不可能事件，知F(y)0， 当0y2时，Y和X同分布,服从参数为5的指数分布，知F(y)y015edx1e5xy5，

当y2时，{Yy}为必然事件,知F(y)1，

因此，Y的分布函数为

0 , y0y5F(y)1-e，0y21,y2；

5. 有甲乙两种颜色和味道都极为相似的名 17

酒各4杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全挑出来，算是试验成功一次．

(1) 某人随机去挑，问他试验成功的概率是多少？

(2) 某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验10次，成功3次，试推断他是猜对的还是确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）． 解：(1) 挑选成功的概率pC11X~B10，7048170；

(2) 设10随机挑选成功的次数为X，则该，

设10随机挑选成功三次的概率为：

3P{X3}C10(1k1)(1)70.000367070，

以上概率为随机挑选下的概率，远远小于该人成功的概率3/10=0.3，因此，可以断定他确有区分能力。

（B）

1．设随机变量的概率密度为

18

13,0x12f(x),3x690其它

若k使得P{Xk}2/3，求k的取值范围． 解：由概率密度可得分布函数

0,x01x,0x131F(x),1x3312(x3),3x6391,x6

由于PXk23，即F(k)1，易知1k3； 3，试求Y的分布律．

1，1x2f(x)3，其他0 2．设随机变量X服从(-1，2)上的均匀分布，

1,记Y1,X0X0 解： X服从的均匀分布，（1,2）1，X0,又Y 1，X0,，

则PY1P{X0}021f(x)dxx3202， 3P{Y1}P{X0}1-P{X0}1 3

19

所以Y

Y2的分布律为

P -1 1 31 2 31,求随 3．设随机变量X的概率密度为f(x)(1x)2机变量Y1Y3X的概率密度f3Y(y)．

，

 解：F(y)P[1

3(1y)2,yR61(1y)Xy]P{X(1y)3}1FX[(1y)3]'fY(y)FY(y)1F[(1y)3]fX(1y)3(1y)33(1y)2fX(1y)3；

4．设X为连续型随机变量，其概率密度为fX(x)是偶函数，令Y = – X，证明Y与X有相同的概率密度．

证明：因f(x)是偶函数，故f(x)f(x)，

xxxFY(y)P{Yy}P{Xy}P{Xy}1P{Xy}1Fx(y)所以

20

fY(y)FY(y)fx(y)fx(y)'

5．设随机变量X的概率密度为

1, x[1,8]f(x)33x2其它0,

F(x)是X的分布函数．求随机变量Y = F(X)的分布函数．

解：随机变量X的分布函数为

x10 , F(x)3x-1, 1x81, x8，显然F(x)[0,1]，

FY(y)P{Yy}P{F(X)y}，

Y当y0时，{F(X)y}是不可能事件，知F当0y1时，F(y)P{Y3(y)0，

X1y}P{X(1y)3}yY， ，

当y1时，{F(X)y}是必然事件，知F即

0 , y0FY(y)y, 0y11, y1(y)1。

6．设随机变量X的概率密度为

ex, x0f(x)0, x0

试求下列随机变量的概率密度： 21

(1) (2) (3)

Y12X1;Y2eX;Y3X2

y-1}2．

时，

y102y1（1）FY1(y)P{Y1y}P{2X1y}P{X当时，即

y1y-1FY1(y)P{X}20dx0-2，

时，即

1y2当

y1y102y>1时，

y-1FY1(y)P{X}2exdx1-e02，

所以

y11y12，fY1(y)2e，其他0,y1；

（2）FY2(y)P{Y2y}P{eXy}y0，

为不可能事件，则，，

lny0 当 当

时，，

{eXy}FY2(y)P{eXy}00y1时

lnylny0，则

1yFY2(y)P{eXy}PXlny0dx0 当y1时，lny0，则F

Y2(y)PXlnyexdx1，

22

根据fY2(y)FY2(y)得

0, y1fY2(y)1,y12y （3）F；

2(y)P{Yy}P{Xy}Y33，

，

时

，

，

当y0时，F当

2Y3(y)P{X2y}0y0FY3(y)P{Xy}PyXyexdx1e0yy所以

0, y0yfY3(y)e,y02y；

7．设随机变量X服从参数为1/2的指数分布，试证Y布．

(1) 证明：由题意知

2e2x,x0f(x)0,x01e2X和Y21e2X都服从区间(0，1)上的均匀分

。

2XY1e2x，FY（y）P{Yy}P{ey}11， 时，

，

当y0时，F（y）0即f（y）0，

Y1Y1当

0y 1y2xlny2edxy2lnFY1(y)P{e2Xy}PX2 23

当y1时，故有flny2xFY1(y)PX02edx12，

1,0y1(y)Y1 0,，可以看出Y服从区间（0，

11）均匀分布； （2）

Y2e2x，FY2(y)P{Y21y}P{1-e2Xy}P{e2X1-y}Y2

当1y0时，F(y)P{e2x1-y}1，

ln(1y)2 当01y1时，

FY（(y)）P{e22Xln(1y)1-y}PX022e2xdxy， 当

FY2(y)P{e2X1y1ln(1y)1-y}PX2ln(1y)2时

0dx0，

，

，可以看出

由以上结果，易知

Y21,0y1fY2(y) 0,服从区间（0，1）均匀分布.

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