等比数列的通项公式

教学重难点： 1、等比数列的概念和性质

2、如何判断一个等比数列 3、构造辅助数列转化为等比数列

授课内容： 一、 知识点 1、 等比数列的概念

（1） 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它前面相邻的一项之

比为常数，则这个数列为等比数列

an1q（常数）（2） 数列an中，，则称an为等比数列 an注：等比数列中不能出现0

2、 通项公式

(1) 通项公式：ana1qn1amqnm

(2) 等比中项：a,G,b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项，此时G= ab

注意：①在a,b同号时，a,b的等比中项有两个；异号时，没有等比中

项

②在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项）都是它的前一项与后一项的等比中项

③ “a,G,b成等比数列”  “G2ab(a,b均不为0)”，可以用它来判断或证明三数成等比数列

（3） 通项公式的应用：

ana2a3++ana2a3a4 q a1a2a3an1a1+a2++an-1

例1、 已知等比数列an中，a5=7，a8=56，求数列an的通项公式an

例2、在等比数列aa1n中，已知a3+6=36，a4+a7=18，an=2，求n

3、 性质

（1）若mnpq(m,n,p,qN),则anamapaq

（2）若等比数列a11n的公比为q,则a是以nq为公比的等比数列

（3）一组等比数列an中，下标称等差数列的向成等比数列 （4）若an与bn均为等比数列，则anbn也为等比数列 （5）从数列的分类来说：

当a10,q1或a10,0q1时的数列an的递增数列

当a10,0q1或a10,q1时的数列an的递减数列 当q=1时，数列an为常数数列 当q0时，数列an为摆动数列

例、实数等比数列an中，a3+a7+a11=28，a2a7a12=512，求an

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4、 方法和题型

1、 如何判断或证明一个数列为等比数列 （1） 定义法：即验证

an+1q（常数）是否成立，但应注意必须从第an2项起所有项都满足此等式

（2） 递推法：即验证an12anan2是否成立，但应注意这里

an0(nN)

（3） 通项法：即验证ana1qn1是否成立，但注意这里an0且q0 （4） 前n项和法：an为等比数列snAqnA(A0且q0且q1) 例、a,b,c成等比数列，a+b，b+c，c+d均不为0，求证：a+b，b+c，c+d成等

比数列（3种）

2、 等比数列的设项法：一般设其通项

例：有四个数，期中前三个成等差数列，后三个成等比数列，且第一个

数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求此四个数。

3、 构造辅助数列

观察数列的递推公式，并对它进行适当的变形，构造辅助数列，使问题

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转化为熟悉问题

例、若数列an，满足关系a12,an13an2，求数列的通项公式

注：一般的，对递推公式为an+1=panq(p1)的递推公式an，都可通

q过构造辅助数列an，从而转化为等比数列的问题

p14、 等差数列与等比数列的比较：

定义 通项公式结构相似，性质类似 不同点 联系 项没有限制 项必须非零 等差数列 差 和 等比数列 商 积 （1）正项等比anlogaan为等差 （2）an等差ban等比 利用等差数列与等比数列之间的关系，可对他们进行相互转化，从而使问题得以解决。

例、已知an是各项都为正数的等比数列，数列bn满足

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bn=

1lga1lga2lgan1lg(kan)，问是否存在正数k，使得bnn成等差数列？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

5、 等比数列的综合问题:

解等差数列与等比数列的问题时，关键是抓住他们的相关概念，公式性质进行分析、推理、变形。

例、已知(bc)logmx(ca)logmy(ab)logmz0

（1）若a，b，c依次成等差数列且公差不为0，求证x,y,z成等比数列 （2）若正数x,y,z依次成等比数列，公比不为1，求证a，b，c成等差数

列

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