2020年江苏省镇江市中考数学试卷
和答案 解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）下列计算正确的是（ ） A．a3+a3＝a6 B．（a3）2＝a6
C．a6÷a2＝a3 D．（ab）3＝ab3
解析：根据同底数幂的乘除法、幂的乘方的计算法则进行计算即可． 参考答案：解：a3+a3＝2a3，因此选项A不正确； （a3）2＝a3×2＝a6，因此选项B正确； a6÷a2＝a6﹣2＝a4，因此选项C不正确； （ab）3＝a3b3，因此选项D不正确； 故选：B．
点拨：本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方的计算方法，掌握计算方法是正确计算的前提．
2．（3分）如图，将棱长为6的正方体截去一个棱长为3的正方体后，得到一个新的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
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解析：根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
参考答案：解：从正面看是一个正方形，正方形的右上角是一个小正方形， 故选：A．
点拨：本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
3．（3分）一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过的象限是（ ） A．第一
B．第二
C．第三
D．第四
解析：根据一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，可以得到k＞0，与y轴的交点为（0，3），然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题．
参考答案：解：∵一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，该函数过点（0，3），
∴该函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D．
点拨：本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
4．（3分）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（ ）
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A．10°
B．14°
C．16°
D．26°
解析：连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出∠BDC＝16°，然后根据圆周角定理得到∠CAB的度数． 参考答案：解：连接BD，如图， ∵AB是半圆的直径， ∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°， ∴∠CAB＝∠BDC＝16°． 故选：C．
点拨：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
5．（3分）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（ ） A．
B．4
C．﹣
D．﹣
解析：根据题意，可以得到a的值，m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可得到m﹣n的最大值，本题得以
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解决．
参考答案：解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上， ∴a＝0， ∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣∴当m＝时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣故选：C．
点拨：本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 6．（3分）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E（9，2），则cosB的值等于（ ）
，
，
A．
B．
C．
D．
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解析：由题意可得四边形ABQP是平行四边形，可得AP＝BQ＝x，由图象②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，可求BD＝7，由折叠的性质可求BC的长，由锐角三角函数可求解． 参考答案：解：∵AM∥BN，PQ∥AB， ∴四边形ABQP是平行四边形， ∴AP＝BQ＝x，
由图②可得当x＝9时，y＝2，
此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，
∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，
∵将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上， ∴BC＝CD＝BD＝，AC⊥BD， ∴cosB＝
＝＝
，
故选：D．
点拨：本题考查了动点问题的函数图象，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识，理解函数图象上的点的具体含
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义是本题的关键．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．（2分）的倒数等于
．
解析：根据倒数的意义求解即可． 参考答案：解：∵×＝1， ∴的倒数是， 故答案为：．
点拨：本题考查倒数的意义，理解乘积为1的两个数是互为倒数是正确求解的关键． 8．（2分）使
有意义的x的取值范围是 x≥2 ．
解析：当被开方数x﹣2为非负数时，二次根式才有意义，列不等式求解．
参考答案：解：根据二次根式的意义，得 x﹣2≥0，解得x≥2．
点拨：主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子
（a≥0）
叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
9．（2分）分解因式：9x2﹣1＝ （3x+1）（3x﹣1） ．
解析：符合平方差公式的结构特点，利用平方差公式分解即可． 参考答案：解：9x2﹣1， ＝（3x）2﹣12， ＝（3x+1）（3x﹣1）．
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点拨：本题考查了平方差公式因式分解，熟记平方差公式的特点：两项平方项，符号相反是解题的关键．
10．（2分）2020年我国将完成脱贫攻坚目标任务．从2012年底到2019年底，我国贫困人口减少了93480000人，用科学记数法把93480000表示为 9.348×107 ．
解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于93480000有8位，所以可以确定n＝8﹣1＝7．
参考答案：解：93480000＝9.348×107． 故答案为：9.348×107．
点拨：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键．
11．（2分）一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为 x1＝0，x2＝2 ． 解析：利用因式分解法求解可得． 参考答案：解：∵x2﹣2x＝0， ∴x（x﹣2）＝0， ∴x＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝0，x2＝2．
点拨：本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 12．（2分）一只不透明的袋子中装有5个红球和1个黄球，这些球
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除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸出红球的概率等于
．
解析：用红球的个数除以球的总个数即可得．
参考答案：解：∵袋子中共有5+1＝6个小球，其中红球有5个， ∴搅匀后从中任意摸出1个球，摸出红球的概率等于， 故答案为：．
点拨：本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 13．（2分）圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于 30π ．
解析：利用扇形的面积公式计算圆锥侧面积． 参考答案：解：圆锥侧面积＝×2π×5×6＝30π． 故答案为30π．
点拨：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 14．（2分）点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转 72 °后能与原来的图案互相重合．
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解析：直接利用旋转图形的性质进而得出旋转角．
参考答案：解：连接OA，OE，则这个图形至少旋转∠AOE才能与原图象重合， ∠AOE＝
＝72°．
故答案为：72．
点拨：此题主要考查了旋转图形，正确掌握旋转图形的性质是解题关键．
15．（2分）根据数值转换机的示意图，输出的值为
．
解析：利用代入法和负整数指数幂的计算方法进行计算即可． 参考答案：解：当x＝﹣3时，31+x＝3﹣2＝， 故答案为：．
点拨：本题考查代数式求值，用具体的数值代替代数式中的字母，按照代数式规定的运算，求出的结果即为代数式的值．
16．（2分）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 135 °．
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解析：由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2+∠BCP＝45°＝∠1+∠BCP，由三角形内角和定理可求解． 参考答案：解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝∠BAC＝45°， ∴∠2+∠BCP＝45°， ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BCP＝45°，
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP， ∴∠BPC＝135°， 故答案为：135．
点拨：本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键．
17．（2分）在从小到大排列的五个数x，3，6，8，12中再加入一个数，若这六个数的中位数、平均数与原来五个数的中位数、平均数分别相等，则x的值为 1 ．
解析：原来五个数的中位数是6，如果再加入一个数，变成了偶数个数，则中位数是中间两位数的平均数，由此可知加入的一个数是6，再根据平均数的公式得到关于x的方程，解方程即可求解． 参考答案：解：从小到大排列的五个数x，3，6，8，12的中位数是6，
∵再加入一个数，这六个数的中位数与原来五个数的中位数相等， ∴加入的一个数是6，
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∵这六个数的平均数与原来五个数的平均数相等， ∴（x+3+6+8+12）＝（x+3+6+6+8+12）， 解得x＝1． 故答案为：1．
点拨：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和平均数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而错误，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．
18．（2分）如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于
．
解析：取AC的中点M，A1B1的中点N，连接PM，MQ，NQ，PN，根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论． 参考答案：解：取AC的中点M，A1B1的中点N，连接PM，MQ，NQ，PN，
∵将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1， ∴B1C1＝BC＝3，PN＝5，
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∵点P、Q分别是AB、A1C1的中点， ∴NQ＝B1C1＝， ∴5﹣≤PQ≤5+， 即≤PQ≤
，
∴PQ的最小值等于， 故答案为：．
点拨：本题考查了平移的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共78分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19．（8分）（1）计算：4sin60°﹣（2）化简（x+1）÷（1+）．
解析：（1）先代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得；
（2）先计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．
参考答案：解：（1）原式＝4×＝2
+（
﹣1）0；
﹣2+1
﹣2+1
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＝1；
（2）原式＝（x+1）÷（+） ＝（x+1）÷＝（x+1）•＝x．
点拨：本题主要考查分式和实数的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 20．（10分）（1）解方程：（2）解不等式组：
＝
+1；
解析：（1）解分式方程的步骤有：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验；
（2）先求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出其解集，然后根据是否存在公共部分求解即可． 参考答案：解：（1）2x＝1+x+3， 2x﹣x＝1+3， x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解， ∴此方程的解是x＝4；
＝
+1，
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（2），
①4x﹣x＞﹣2﹣7， 3x＞﹣9， x＞﹣3； ②3x﹣6＜4+x， 3x﹣x＜4+6， 2x＜10， x＜5，
∴不等式组的解集是﹣3＜x＜5．
点拨：本题主要考查了解分式方程以及解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程的步骤以及不等式的性质是解答本题的关键． 21．（6分）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF． （1）求证：∠D＝∠2；
（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．
解析：（1）由“SAS”可证△BEF≌△CDA，可得∠D＝∠2； （2）由（1）可得∠D＝∠2＝78°，由平行线的性质可得∠2＝∠BAC
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＝78°．
参考答案：证明：（1）在△BEF和△CDA中，
，
∴△BEF≌△CDA（SAS）， ∴∠D＝∠2；
（2）∵∠D＝∠2，∠D＝78°， ∴∠D＝∠2＝78°， ∵EF∥AC， ∴∠2＝∠BAC＝78°．
点拨：本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，证明△BEF≌△CDA是本题的关键．
22．（6分）教育部发布的义务教育质量监测结果报告显示，我国八年级学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例为19.4%．某校数学社团成员采用简单随机抽样的方法，抽取了本校八年级50名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：小时）进行了调查，将数据整理后绘制成下表： 平均每天的睡眠时间分组 频数
1
5
m
24
n
5≤t＜6
6≤t＜7
7≤t＜8
8≤t＜9
9小时及以上
该样本中学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例高于全
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国的这项数据，达到了22%． （1）求表格中n的值；
（2）该校八年级共400名学生，估计其中平均每天的睡眠时间在7≤t＜8这个范围内的人数是多少． 解析：（1）根据频率＝
求解可得；
（2）先根据频数的和是50及n的值求出m的值，再用总人数乘以样本中平均每天的睡眠时间在7≤t＜8这个范围内的人数所占比例即可得．
参考答案：解：（1）n＝50×22%＝11； （2）m＝50﹣1﹣5﹣24﹣11＝9，
所以估计该校平均每天的睡眠时间在7≤t＜8这个范围内的人数是400×
＝72（人）．
点拨：本题主要考查加权平均数、样本估计总体及频数（率）分布表，解题的关键是掌握频率＝
、频数的和是50．
23．（6分）智慧的中国古代先民发明了抽象的符号来表达丰富的含义．例如，符号“义．符号中的“
”有刚毅的含义，符号“”表示“阴”，“
”有愉快的含
”表示“阳”，类似这样自
上而下排成的三行符号还有其他的含义．所有这些三行符号中，每一行只有一个阴或一个阳，且出现阴、阳的可能性相同． （1）所有这些三行符号共有 8 种；
（2）若随机画一个这样的三行符号，求“画出含有一个阴和两个阳的三行符号”的概率．
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解析：（1）根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数即可； （2）根据（1）列举的结果数和概率公式即可得出答案． 参考答案：解：（1）根据题意画图如下：
共有8种等可能的情况数， 故答案为：8；
（2）根据第（1）问一个阴、两个阳的共有3种， 则有一个阴和两个阳的三行符号”的概率是．
点拨：此题考查的是用列举法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（6分）如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上，AC＝10m．小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°，他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时，观测树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D（H、B、D三点在一条直线上）．已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：
≈1.41，
≈1.73．）
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解析：延长FH，交CD于点M，交AB于点N，求CD，只需求出DM即可，即只要求出HN就可以，在Rt△BNF中，设BN＝NH＝x，则根据tan∠BFN＝
就可以求出x的值，再根据等腰直角三
角形的性质和线段的和可求得CD的长．
参考答案：解：如图，延长FH，交CD于点M，交AB于点N，
∵∠BHN＝45°，BA⊥MH， 则BN＝NH， 设BN＝NH＝x， ∵HF＝6，∠BFN＝30°， ∴tan∠BFN＝即tan30°＝
＝，
，
解得x＝8.19，
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根据题意可知： DM＝MH＝MN+NH， ∵MN＝AC＝10， 则DM＝10+8.19＝18.19，
∴CD＝DM+MC＝DM+EF＝18.19+1.6＝19.79≈19.8（m）． 答：建筑物CD的高度约为19.8m．
点拨：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
25．（6分）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于点A（n，2）和点B． （1）n＝ ﹣4 ，k＝ ﹣ ；
（2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝90°，求点C的坐标； （3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围．
解析：（1）把A点坐标代入反比例函数解析式求得n，再把求得的A点坐标代入正比例函数解析式求得k；
（2）可设点C（0，b），只要求出b的值就行，求值一般的方法是
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相似和勾股定理，此题用相似，只需证明△ACD∽△CBE即可； （3）在x轴上找到点P1，P2，使AP1⊥P1B，AP2⊥BP2，则点P在P1的左边，在P2的右边就符合要求了．
参考答案：解：（1）把A（n，2）代入反比例函数y＝﹣中，得n＝﹣4， ∴A（﹣4，2），
把A（﹣4，2）代入正比例函数y＝kx（k≠0）中，得k＝﹣， 故答案为：﹣4；﹣；
（2）过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，
∵A（﹣4，2），
∴根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B（4，﹣2）， 设C（0，b），则CD＝b﹣2，AD＝4，BE＝E，CE＝b+2， ∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠CBE＝90°， ∴∠ACO＝∠CBE， ∵∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴△ACD∽△CBE，
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∴，即， ，或b＝﹣2）；
（舍），
解得，b＝2∴C（0，2
另一解法：∵A（﹣4，2），
∴根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B（4，﹣2）， ∴
，
∵∠ACB＝90°，OA＝OB， ∴∴
， ）；
（3）如图2，过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，在x轴上原点的两旁取两点P1，P2，使得OP1＝OP2＝OA＝OB， ∴∴P1（﹣2
，0），P2（2
， ，0），
∵OP1＝OP2＝OA＝OB， ∴四边形AP1BP2为矩形， ∴AP1⊥P1B，AP2⊥BP2，
∵点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角， ∴P点必在P1的左边或P2的右边， ∴m＜﹣2
或m＞2
．
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另一解法：在x轴上原点的两旁取两点P1，P2，使得∠AP1B＝∠AP2B＝90°， 则∴
，
，
∵点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角， ∴P点必在P1的左边或P2的右边， ∴m＜﹣2
或m＞2
．
点拨：本题主要考查了反比例函数图象与性质，正比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，矩形的判定，待定系数法，第（2）小题关键是证明相似三角形，第（3）小题关键在于构造矩形． 26．（8分）如图，▱ABCD中，∠ABC的平分线BO交边AD于点O，OD＝4，以点O为圆心，OD长为半径作⊙O，分别交边DA、DC于点M、N．点E在边BC上，OE交⊙O于点G，G为的中点． （1）求证：四边形ABEO为菱形；
（2）已知cos∠ABC＝，连接AE，当AE与⊙O相切时，求AB的长．
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解析：（1）先由G为的中点及同弧所对的圆周角和圆心角的关系得出∠MOG＝∠MDN，再由平行四边形的性质得出AO∥BE，∠MDN+∠A＝180°，进而判定四边形ABEO是平行四边形，然后证明AB＝AO，则可得结论；
（2）过点O作OP⊥BA，交BA的延长线于点P，过点O作OQ⊥BC于点Q，设AB＝AO＝OE＝x，则由cos∠ABC＝，可用含x的式子分别表示出PA、OP及OQ，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值即可．
参考答案：解：（1）证明：∵G为的中点， ∴∠MOG＝∠MDN．
∵四边形ABCD是平行四边形． ∴AO∥BE，∠MDN+∠A＝180°， ∴∠MOG+∠A＝180°， ∴AB∥OE，
∴四边形ABEO是平行四边形． ∵BO平分∠ABE， ∴∠ABO＝∠OBE， 又∵∠OBE＝∠AOB，
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∴∠ABO＝∠AOB， ∴AB＝AO，
∴四边形ABEO为菱形；
（2）如图，过点O作OP⊥BA，交BA的延长线于点P，过点O作OQ⊥BC于点Q，设AE交OB于点F，
则∠PAO＝∠ABC， 设AB＝AO＝OE＝x，则 ∵cos∠ABC＝， ∴cos∠PAO＝， ∴
＝，
∴PA＝x， ∴OP＝OQ＝
x
当AE与⊙O相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知F为切点， ∴由勾股定理得：解得：x＝2
+
＝82，
（舍负）． ．
∴AB的长为2
点拨：本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、解直角三角形、切线的性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
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27．（11分）【算一算】
如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为 5 ，AC长等于 8 ； 【找一找】
如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数的原点； 【画一画】
如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【用一用】
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+（m+4b），用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示．
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点
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﹣1、+1，Q是AB的中点，则点 N 是这个数轴
F、G，并写出+（m+2b）的实际意义； ②写出a、m的数量关系： m＝4a ．
解析：（1）根据数轴上点A对应﹣3，点B对应1，求得AB的长，进而根据AB＝BC可求得AC的长以及点C表示的数；
（2）可设原点为O，根据条件可求得AB中点表示的数以及线段AB的长度，根据AB＝2，可得AQ＝BQ＝1，结合OQ的长度即可确定N为数轴的原点；
（3）设AB的中点为M，先求得AB的长度，得到AM＝BM＝n，根据线段垂直平分线的作法作图即可；
（4）①根据每分钟进校人数为b，每个通道每分钟进入人数为a，列方程组
，根据m+2b＝OF，m+4b＝12a，即可画出F，
G点，其中m+2b表示两分钟后，校门口需要进入学校的学生人数； ②解①中的方程组，即可得到m＝4a． 参考答案：解：（1）【算一算】：记原点为O， ∵AB＝1﹣（﹣3）＝4，
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∴AB＝BC＝4，
∴OC＝OB+BC＝5，AC＝2AB＝8． 所以点C表示的数为5，AC长等于8． 故答案为：5，8；
（2）【找一找】：记原点为O， ∵AB＝
+1﹣（
﹣1）＝2，
∴AQ＝BQ＝1， ∴OQ＝OB﹣BQ＝∴N为原点． 故答案为：N．
（3）【画一画】：记原点为O， 由AB＝c+n﹣（c﹣n）＝2n， 作AB的中点M， 得AM＝BM＝n， 以点O为圆心，
AM＝n长为半径作弧交数轴的正半轴于点E， 则点E即为所求；
+1﹣1＝
，
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（4）【用一用】：在数轴上画出点F，G；2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数为：m＝4a．
∵4分钟内开放3个通道可使学生全部进校， ∴m+4b＝3×a×4，即m+4b＝12a（Ⅰ）； ∵2分钟内开放4个通道可使学生全部进校， ∴m+2b＝4×a×2，即m+2b＝8a（Ⅱ）；
①以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点F，则点F即为所求．
作OB的中点E，则OE＝BE＝4a，在数轴负半轴上用圆规截取OG＝3OE＝12a， 则点G即为所求．
+（m+2b）的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②方程（Ⅱ）×2﹣方程（Ⅰ）得：m＝4a． 故答案为：m＝4a．
点拨：本题考查了二元一次方程组的应用、实数与数轴、作图﹣复杂作图，解决本题的关键是根据题意找到等量关系．
28．（11分）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点
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C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点． （1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及（2）随着a的变化，
的值；
的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式．
解析：（1）证明△DME∽△DAC，△DCB∽△DFN，则求出AC＝，BC＝，即可求解；
（2）点D（1，1﹣4a），N（4，1+5a），则ME＝2，DE＝﹣4a，由（1）的结论得：AC＝
，BC＝
，即可求解；
，﹣a），即可求解．
，
，
（3）利用△FHE∽△DCE，求出F（﹣
参考答案：解：（1）分别过点M、N作ME⊥CD于点E，NF⊥DC于点F， ∵ME∥FN∥x轴，
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∴△DME∽△DAC，△DCB∽△DFN， ∴
，
，
∵a＝﹣1，则y＝﹣x2+2x+c，
将M（﹣1，1）代入上式并解得：c＝4， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+4， 则点D（1，5），N（4，﹣4），
则ME＝2，DE＝4，DC＝5，FN＝3，DF＝9， ∴∴
（2）不变，理由：
∵y＝ax2﹣2ax+c过点M（﹣1，1），则a+2a+c＝1， 解得：c＝1﹣2a， ∴y＝ax2﹣2ax+（1﹣2a），
∴点D（1，1﹣4a），N（4，1+5a）， ∴ME＝2，DE＝﹣4a， 由（1）的结论得：AC＝∴
（3）过点F作FH⊥x轴于点H，则FH∥l，则△FHE∽△DCE，
＝；
，BC＝
，
＝；
，解得：AC＝，BC＝，
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∵FB＝FE，FH⊥BE， ∴BH＝HE， ∵BC＝2BE， 则CE＝6HE， ∵CD＝1﹣4a， ∴FH＝∵BC＝∴CH＝×∴F（﹣
， ，
＝
，
+1，﹣a），
将点F的坐标代入y＝ax2﹣2ax+（1﹣3a）＝a（x+1）（x﹣3）+1得：
﹣a＝a（﹣
+1+1）（﹣
+1﹣3）+1，
解得：a＝﹣或（舍弃）， 经检验a＝﹣， 故y＝﹣x2+x+
．
点拨：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形相似等，综合性强，难度较大．
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