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测试技术课后题答案1信号描述

2023-01-24 来源：步旅网



习题1

1.1求题图1-2双边指数函数的傅里叶变换,双边指数函数的波形如图所示,其数

学表达式为

eat

e at

t

0
( 0

a

0 )

x(t)

x ( t

)

t

0 t 0

0
题图1-2双边指数函数0
解：

x t ( )

是一个非周期信号，它的傅里叶变换即为其频谱密度函数，按定义式求解：

X

(

f

)



x

( t

)

e

j

2

π

f t

d

t

0
e

a

t

e

j

2

π

f t

d

t

0

e

a

t

e

j

2

π

f

t

d

t

0
e

(

a

j 2

π

f

)

t

d

t

0

e

(

a

j

2

π

f

)

t

d

t


1

π

f

a

1

π

f

a

2

2

a

f

)

2

a

j 2

j 2

(

2

π

1.2求题图1-1周期三角波的傅里叶级数(三角函数形式和复指数形式),并画出频谱图。

周期三角波的数学表达式为




A

2

A

t




T

t

0

x

( t

)



A

T
2

A






2







0

t

T









T











2



x t ( )

A

T
2

0

T

t

2

题图1.2 周期性三角波

解：将

x

(t

)

展开成三角函数形式的傅里叶级数，求其频谱。

计算傅里叶系数：

∵

x

(t

)

是偶函数

b n

0

∴

1



a

0

1 T /

TT

2

x

( t

)

d

t

1

TA

A
















/

2

T

2

2

4

T /

2

(

2

A

t

)

cos

n

t

d

t

a

n

2

T /

T

2

x

( t

)

cos

n0

t

d

t

4

T0

/

2

(

A

2

A

t

)

cos

n0

t

d

t

T

/

2

T

T


T

0




T




0




8

A

T0

/

2

t

cos

n0

t

d

t

T

2














t

cos

n0

t

1

1
n0

sin

n0

t

t

0

n

1

cos

n0

20 2














于是，有

a

n

8

A

(

t

sin

n0

t

n

1

cos

n0

t

)

T

/

2

T

2

n0

20 2


0



















4

A

n

1 , 3 , 5 ...

π

2 n

0

2














n

2 ,

4 , 6 ...

由此得

x

(t

)

的三角函数形式傅里叶级数展开上展开式为

x

( t

)

A

4

A

n

1 , 3 ,

1

cos

n0

t

2

π

2

n

2














若取

x

( t

)

a

0


n1

A n

sin(

n0

t

n

)

n次谐波分量的幅值

A n

a

2

b n 2

4

A

n

n

2

π

2

n次谐波分量的相位

n

arctan

a

n

π

b n

2














画出

x

(t

)

的频谱如题图1.2(b)所示。

将

x

(t

)

展开成复数形式的傅里叶级数，求其频谱。

计算傅里叶系数


1

T2
T2


( t

c


1 T 2T T 2

x

( t

)

d t

A










c


x

0





2

t

j

sin

n

t

)

d

t

)

e

j n0

d

t

1

T2
T2

x

( t

)(cos

n


n

T



T


0





0





1

T2T

2

x

( t

)

cos

n0

t

d

t

T





2

A

n

1 ,

3 ,

5 ...


π

2 n

0

2












n

2 ,

4 ,

6 ...

2



An

4

A

4 A

92

4

A

4 A

492

4 A

812

2

252

0

0

30

50

70

90

n
π/2π/2π/2π/2π/2

0

0

30

50

70

90

题图1.2(b)

由此得

x

(t

)

的复指数形式傅里叶级数展开上展开式为

j n0

t

x

( t

)

A

2

A





1

e









2


π

2

n

1 ,3 ,

5

,...

n

2




n次谐波分量的幅值

c


c


2

A


n




n


n

2π

2

n次谐波分量的相位

n


arctan


arctan

b n

π

n

0





a

n









b n

π

n

0

a

n





x

rmst

)

及概率密度函

画出

x t ( )

的频谱如题图1.2(c)所示。

，均方根值

1-3 求正弦信号

x

( t

)

A

sin(

a t

)

的绝对均值

x

数p(x)。

解

1

T /

T /

2

x

( t

)

d

t

1

T /

T

2

A

sin(

at

)

d

t

x


T

2






T

/

2





2

A

T0

/

2

sin

at

d

t

A

cos

at

T

/

2

2

A



T








π


0



π


3



2

1

T

A

2

sin

2

at

d

t

A

2

T

1

cos

2

at

d

t

A

2

x


T

0









T

0

2

2






2

x

rms

( t

)

x 2



A










2







An

53 0 0

0

0

30

2

A

2

A

2

2

A

2

A

2

A

92

252

492

812

50

70

90

97 0 0

n

0 30

50

70

90

97 0 5 0 3 0 0

0

-

-

-

-

-

题图1.2(c)

有

取

x

( t

)

A

sin

a t

d

x

Aa

cos

at

d

t

p

(

x

)

2

d

t

2

Aa

1

at

πA

1

1

2

at

T

d

x

T

cos

sin

π

1

x

2

A

1.4 求被矩形窗函数截断的余弦函数

cos0

t

(题图1.4)的频谱，并作频谱图。

x

( t

)

cos0

0

t

t

T

t

T

解

X

()

T
T

cos0

t

e

j

d t

2

T0

cos0

t

cosd t

T
0

[cos(

0

) t

cos(

0

) t

] d t

sin[(

0

) T

]

sin[(

0

) T

]


0

0

T

sin

c[(

0

) T

]

T

sin

c[(

0

) T

]

4



题图1.4

或者，

X

()

T
T

cos0

t

e

jtd t








1

T
T

(

e

j(0

)

t

e

j(0

)

t ) d t

1.5 单边指数函数

x

( t


2




y

( t

)

cos0

t

的乘积

)

T

sin

c[(

0

) T

]

T

sin

c[(

0

) T

]

Ae

(

0 ,

t

0 )

与余弦振荡信号

为z(t)=x(t)y(t),在信号调制中,x(t)叫调制信号,y(t)叫载波,z(t)便是调幅信号。若把

z(t)再与y(t)相乘得解调信号w(t)=x(t)y(t)z(t)。

求调幅信号z(t)的傅里叶变换并画出调幅信号及其频谱。

求解调信号w(t)的傅里叶变换并画出解调信号及其频谱。

解：

首先求单边指数函数

x

( t

)

Ae

at

(

a

0 ,

t

0 )

的傅里叶变换及频谱



X

(

f

)



x

( t

)

e

j

2

π

f

t

d

t

A

0

e

a

t

e

j

2

π

f

t

d

t


0

e

(

a

j

2

π

f

)

t

dt

a

A

π

f

e

(

a

j

2

π

f

)

t




j

2




0



a

A

π

f

A

a

a

j

2

π

f

2

j

2

2

(

2

π

f

)



X

(

f

)

a

2

A

πf

)

2

(

2

余弦振荡信号

y

( t

)

cos

2

πf

0

t

的频谱

Y

(

f

)

1

[(

f

f

0

)

(

f

f

0

)]

2


)]

利用δ函数的卷积特性,可求出调幅信号

z

( t

)

x

( t

)

y

( t

)

的频谱

Z

(

f

)

X

(

f

)

Y

(

f

)

X

(

f

)

1

[(

f

f

0

)

(

f

f

2


0


5



x t ( )

A

(

a

2

[

2

1

f

f

0

)]

2

a

2

[

2

1

f

f

0

)]

2

)

2

π

(

π

(

X f ( )

AA/a

0 t 0 f a a’

0

x(t)

f0

Y f ( )

f0

f

0 t

0

b b’

z t ( )

f0

Z f ( )

f0

f

A

A

2

a

0 t

0

c c’ 题图1.5a 调幅信号及其频谱

求解调信号w(t) 的傅里叶变换并画出解调信号及其频谱。

利用δ数的卷积特性, 求出调幅信号

w ( t

)

x

( t

)

y

( t

)

y

( t

)

的频谱, 见题图1,5b。

W

(

f

)

Z

(

f

)

Y

(

f

)

Z

(

f

)

1

[(

f

f

0

)

(

f

f

0

)]





2

A

(

a

2

[

2

π

1

2

f

0

)]

2

a

2

[

2

π

1

2

f

0

)]

2

a

2

2

2

πf

)

2

)

4

(

f

(

f

(

W f ( )

A

2

a

2

f

0

f0

0

f0

2

f

0

f

题图1.5b 解调信号频谱

6



若

f0

足够大，从解调信号频谱图中区间（-

f0

，

f0

）的图像可恢复原信号的波形，图

略。

1-5求三角窗函数的频谱，并作频谱图。

题图1-5

解：



x

( t

)



A

2

A

t

,

T

t

0


sin

) d t




T
2 A

2




A

t

,

t

T

0

X

()




x

T


2


j

( t

)

e

j

d t




x

( t

)(cos

2

T0

/

2

(

A

2

A

t

)

cosd t

4

A

T0

/

2

t

cosd t






T

T





t

cos

1

1
sin

0

1

cos






2





于是，有

X

()

4

A

t
( sin

1

cos)

T

/

2


4

A

(cos

T

1 )






T

2

2

0



T

22


2



sin

2

T

(


)

AT

sin



2

T

(

4

)





AT


T

(

4

4

)

2


c













或



2

2















X

(

f

)

AT

sin

c

2

(

πfT







2



2















1-7求用单位脉冲序列g(t)对单边指数衰减函数y(t)采样(题图1-7)的频谱，并作频谱图。

7



x(t)

0

1

T0 2T0 3T0 4T0

t

题图1.7

g

( t

)


( t

n

nT 0

)

0

y

( t

)

0

e

at

a

0 ,

t

a

0 ,

t

0

解：









G

(

f

)

1

T 0

(

f

n

)










Y

(

f

)

Y

(

f

)




T 0



1








Y

(

f

)

(

2

πf

1

a

2

)

2

G

(


)

1


n

S














T 0

4

π

2

(

f

n

/

T 0

)

2

a

2

8

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