弧度制、扇形的弧长及面积公式的应用

已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；

(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角； (3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

ππ10π

解：(1)α＝60°＝3rad，∴l＝α·R＝3×10＝3(cm)．

2R＋αR＝10，

(2)由题意得12

2α·R＝4，

2

R＝1，

解得(舍去)，1

α＝.α＝8

R＝4，



1故扇形圆心角为2.

(3)由已知，得l＋2R＝20，

11

所以S＝2lR＝2(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2. 【条件探究】 将典例中的第(3)问推广为“若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？”

解：扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR， C

∴R＝，∴S

2＋αC21C2

≤16. 2·4

α＋4＋α

2C

当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值16.

11C2C2α12＝α·R＝α·＝·扇

222＋α24＋4α＋α2＝

应用弧度制解决问题的方法

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(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．

1

提醒：弧度制下l＝|α|·r，S＝2lr，此时α为弧度．在角度制下，nπrnπr2

弧长l＝180，扇形面积S＝360，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．

3

(1)如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的2倍，则该弧所对的圆心角是原来的3__倍．

l

解析：设圆的半径为r，弧长为l，则其弧度数为r.将半径变为原32l3l

来的一半，弧长变为原来的2倍，则弧度数变为1＝3·r，即弧度数变2r为原来的3倍．

(2)若圆弧长度等于该圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数是3.

解析：设圆的半径为R，如图所示，

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1

OA＝R，OD＝2R， 故AD＝

123R－4R＝2R，

2

因此AB＝2AD＝3R，

故该圆弧长度为3R，所以该圆弧所对圆心角的弧度数为α＝3R

R＝3.

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