一类不确定时滞离散模糊切换系统的鲁棒稳定性问题

第２７卷　第６期　新乡学院学报：自然科学版　２０１０年ｌ２月　、，０１．２７　Ｎｏ．６　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆＸｉｎｘｉａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ　Ｄｅｃ．２０１０　一类不确定时滞离散模糊切换系统的鲁棒稳定性问题　王建军，李志勇，毛北行　（郑州航空工业管理学院数理系，郑州４５００１５）　摘要：研究了一类不确定时滞离散模糊切换系统的鲁棒稳定性问题。基于模糊Ｌｙａｐｕｍｏｖ．Ｋｒａｓｏｖｅｋｌｉ函数．　采用并行部分补偿算法，设计了使模糊系统全局渐近稳定的控莉器，提出并证明了一个新的判别闭环不确　定离散时滞模糊切换系统鲁棒渐近稳定的充分条件。　关键词：模糊控制；渐近稳定；线性矩阵不等式　中图分类号：０２３ｌ　文献标志码：Ａ　文章编号：１６７４—３３２６（２０１０）０６－００１８－０３　Ｔｈｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　Ｒｏｂｕｓｔ　Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ａ　Ｃｌａｓｓ　ｏｆ　Ｕｎｃｅｒｔａｉｎ　Ｄｉｓｃｒｅｔｅ　Ｆｕｚｚｙ　Ｓｗｉｔｃｈｅｄ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　ｉｗｔｈ　Ｔｉｍｅ．．ｄｅｌａｙ　Ｗ　ＮＧ　Ｊｉａｎ－ｊｕｎ，ＬＩ　Ｚｈｉ－ｙｏｎｇ，ＭＡＯ　Ｂｅｉ－ｘｉｎｇ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃａｌ　ｏｆ　Ｉｎｄｕｓｔｒｙ　Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ，　Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ　４５００　１　５，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：ｔｈｅ　ｒｏｂｕｓｔ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｉｓ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ　ｆｏｒ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｕｎｃｅｒｔａｉｎ　ｆｕｚｚｙ　ｓｗｉｔｃｈｅｄ　ｓｙｓｔｅｍ　ｗｉｔｈ　ｔｉｍｅ・ｄｅｌａｙ．Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｆｕｚｚｙ　Ｌｙａｐｕｎｏｖ－ｋｒａｓｏｖｓｋｉｉ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ（ＬＦＫ），ａ　ｆｕｚｚｙ　ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ　ｉｓ　ｄｅｓｉｇｎｅｄ　ｔｏ　ａｃｑｕｉｒｅ　ｇｌｏｂａｌｌｙ　ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｕｎｃｅｒｔａｉｎ　ｓｗｉｔｃｈｅｄ　ｆｕｚｚｙ　ｔｉｍｅ—ｄｅｌａｙ　ｓｙｓｔｅｍ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ　ｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｏｎ（ＰＤＣ）．Ｔｈｅｎ　ａ　ｎｅｗ　ｓｕｆｉｆｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｃｈｅｃｋｉｎｇ　ｔｈｅ　ｒｏｂｕｓｔ　ｓｔａｂｉｌｉｙｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｌｏｓｅｄ－ｌｏｏｐ　ｆｕｚｚｙ　ｓｙｓｔｅｍ　ｉｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｆｕｚｚｙ　ｃｏｎｔｒｏｌ；ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ　ｓｔａｂｉｌｉｙｔ；ｌｉｎｅａｒ　ｍａｔｒｉｘ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ　０　引言　时滞和不确定性是工业控制中普遍存在的现象，其存在会削弱系统性能，甚至会影响系统的稳定。近　年来，不确定时滞系统的研究已经成为控制领域的热点之一【卜　，但对时滞模糊系统的研究大多还基于公　共Ｌｙａｐｕｎｏｖ．Ｋｒａｓｏｖｓｋｉｉ函数方法，即在所有子系统中寻找正定对称矩阵Ｐ，由此得到的结果必然有较大的　保守性。为了削弱保守性，文献【４—６】提出了模糊ＬＫＦ方法，并分析了系统稳定性。文献［４】证明了用模糊　ＬＫＦ方法获得的条件比用公共ＬＫＦ方法获得的条件具有较弱的保守性，但是，目前对于离散时滞模糊系统　的研究还比较少。切换系统有着十分广泛的应用背景和重要的理论价值，其研究也取得了很多成果［６一　】。　如果一个系统用模糊方法建模，同时，系统中又有离散动态，如离散切换信号，则这类系统就成为切换模　糊系统，关于这类控制系统的研究成果还很少见［８＿９】。笔者用模糊ＬＫＦ函数研究了一类离散时滞模糊切换　系统的鲁棒Ｈ　控制问题，根据并行分布补偿算法（ＰＤＣ）得到了系统Ｈ。。渐近稳定的充分条件。引入多个自　由矩阵变量，控制器可由一组线性矩阵不等式的解求出。　在本文中，　表示疗维Ｅｕｃｌｉｄ空间，Ｐ＞０　≥口）表示尸是一个正定（半正定）实对称矩阵。在矩阵表　达式中，用“．’’表示对称项；用ｄｉａｇ｛．－・）表示对角阵。用∑表示∑∑，用Ｉ１．１１：表示欧氏范数。如果不作说　ｆ，ｊ＝ｌ　ｉ＝１　ｊ＝ｌ　明，矩阵均表示合适维数的矩阵。　收稿日期：２０１０．０９．２８　修回日期：２０１０．１１．１９　作者简介：王建－￣（１９７８－－），男，山东滕州人。硕士，助教，研究方向：应用数学，Ｅ・ｍａｉｌ：、　＠ｚｚｉａ．ｅｄｕ．ｃｎ。　王建军，李志勇，毛北行：一类不确定时滞离散模糊切换系统的鲁棒稳定性问题　’１９。　１系统模型描述　考虑由Ｔ－Ｓ模型描述的不确定时滞非线性系统，它的第ｉ条规则Ｒ　如下：若毒　是　。和…和　是碌，　那么　ｘｋ＋Ｉ＝　＋△　＋　．　＋　＋ＡＢｏｄａｌ＋（６　＋△６　）ｑ砖，　（１）　其中，Ｒ　表示第ｉ条模糊规则，ｆ∈，＝｛ｌ，２’…，　），８ｏ－是模糊规则数目。　，（　＝１，２，…，ｖ）是模糊集合，　＝（　，　，…，　）　是前提变量，　、　、　∈　是状态变量，　∈Ｒ　是控制输入，　∈　，是扰动输入，且　∈ｆ２［Ｏ，ｏｏ），　是已知系统矩阵，且［　△　】＝　【　。　，　】，而　、以　ｚ　、　、　，　是已知适当维数的常数矩阵，　是未知时变矩阵，且满足磁　Ｉ，　（　（　））∈Ｍ＝｛ｌ，２，…，，）为　切换信号，，／－＞０为系统的状态时滞。　考虑依赖于状态的切换信号　＝　（　（　）），设｛磊，　，…，　｝是　的一个分割，即Ｕ　＝Ｒ　＼｛０），且　磊ｎ西，＝（２ｊ（ｆ≠　），当　（尼）∈　为切换信号　＝　（　（七））：，时，这一切换信号可由函数　㈣）＝　来刻画，且ｒＥ　Ｍ。兰ｊ且仅当　＝　（尼））＝ｒ时，Ｖ，　））＝Ｉ。　采用单点模糊化、乘积推理和中心平均反模糊化方法，模糊系统（１）的总体模型为　＋，：∑∑　（后））　（　）［（　＋Ａ　）　＋４　～　＋（　＋Ａ　）璐＋（　＋△６　）　】，　（２）　其中＾　）＝【∑国（　）】Ｉ　四（　），四　）＝ｎ　），　（　）是　在　中的隶属度函数。笔者假设　（磊）　０。　由　（　）的定义可知　（　）　０，∑ｈｒｉ（　）＝１。在不引起混淆的情形下，分别将　（　）、ｙ，（　（　）简记为　、　。通过采用并行分布补偿算法进行模糊控制器设计，选择规律Ｒ　如下：　若　是　。和…和　是焉，那么　＝　坼，ｆ∈，。　（３）　整个系统的状态反馈控制律则可以表示为　∑∑ｙ，（　（七）　坼，　（４）　ｒ＝ｌｉ＝Ｉ　在控制律（４）的作用下，闭环系统方程可以表示为　＋１＝∑∑Ｖｒｈｒｉｈｒｊ（（￣ｒｊｉ＋　嘣）　＋４　一　＋（Ｂｎ＋　ｆ）　），　（５）　其中Ａｒｉ／＝　＋Ｇ，Ｉ　，　哺＝　＋△Ｇ，』　＝Ｅｒ１ｌ　，　＝Ｈｒｌ　＋　３　。　引理１：设　为　阶正定对称矩阵，４、４是ｎ阶方阵，则有４　４＋４　４　４　４＋　４　。　引理２：（Ｓｃｈｕｒ补）对给定的对称矩阵　：ＩＩ　Ｓ１　１　，ｆＩ　，下列条件等价：１）Ｓ＜口；２）　＜口，　一　＜０；　３）　２２＜　，　ｌ—　ｌ２　？ｌ＜０。　定理：假设同时存在非负或非正的实数屏　（，．＝１，２，…，，；　＝１，２，…，　，），矩阵　＞　（ｆ∈　），　＞０，　＞０，　＞０和矩阵　＞０，对于标量　＞０，满足不等式：　ｆ　－Ｔ　－＋　－阿Ｔ』－　一　＋（　＋　一　）＋　，　（　一　）　ｔ　Ｉ＜　，∈，）’（６）　１Ｌ　一￡ｉＩ＋Ｅ　｝　Ｅｎ｝ｌ　则闭环系统（５）渐近稳定，其中　＝【４　棚　】，　＝【　口Ｈ　】，　＝［　０一　］，　＝［　：］。　证明：闭环系统方程（５）可以改写为　＋　＝∑艺￣）ｒｈｒｉｈｏＡｒｊｉ　，其中－￣ｌｒ／ｊ＝　＋　，　＝［　０　】＝　・２０・　新乡学院学报：自然科学版　２０１０血　－　，茸＝［ｘｌ吐　］。选取模糊ＬＫＦ函数　，　ｋ－Ｉ　＝ｘｌ（∑绣　）　＋∑．　．ｓ：　，　ｉ＝１　ｌ＝ｋ－ｒ　（７）　其中　＞口（ｆ∈，），Ｓ＞０为待求矩阵，鹿定义如前。　由系统（７）的解对　做差分　，并记　＝红（　＋　），于是可得：　＝　＋。一　：∑ｌ∑８ｒ　∑Ｓｒ　ｈＡｈＡ　（码　一［　］）或　骞　Ｓｒ　：。　圭（　＋　一２　）毫，不失一般性，假设　≥０，显然，对任意的ｘ（足）∈　＼｛０），至少存在一个ｒ∈Ｍ，使得ＸＴ（　）（　一Ｐｒ）Ｘ（ｋ）≥０（　≠ｒ，　∈Ｍ），　则由矩阵不等式（６），可知　ｆ－　Ｌ　＋　一　＋（　＋　一　）　一　Ｊ＋　＜０　１　＿Ｊ　ｏ　（８）　令皿＝｛　∈Ⅱ匙　ｌ　（　）（　一　）　（七）≥０，Ｖｘ（ｋ）≠０｝，贝０　Ｕａ，＝　＼｛０），构造集合鱼＝日，　＝　一磊，　…，＂Ｏｒ＝　一Ｕ砭，显然有Ｕ砭＝　＼｛０），且囊ｎ西，＝　（ｊ≠　）。构造切换律　（　（尼））＝，，当　（七）∈　，，　ｉ＝１　ｉ＝１　ｒ∈Ｍ，由引理１，可知　＝（　＋　）　（　十　）：（　＋　Ｆｍ　）　（　＋巨。　）≤　＋　码　Ⅲ（　，一　参考文献：　）一　＋　，　（９）　由引理２很容易得到（６）式。从而ＡＶ＜０，即系统鲁是棒渐进稳定的。　［１】ＣＨＥＮ　Ｂ　ＬＩＵ　Ｘ　Ｐ　Ｄｅｌａｙ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　Ｒｏｂｕｓｔ　Ｈ—ｉｎｆｉｎｉｔｙ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　ｆｏｒ　Ｔ－Ｓ　Ｆｕｚｚｙ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　ｗｉｔｈ　Ｔｉｍｅ　Ｄｅｌａｙ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　Ｆｕｚｚｙ　Ｓｙｓｔｅｍｓ，２００５，１　３（４）：５４４—５５６．　［２】ＪＩＡＮＧ　Ｘ　Ｆ’ＨＡＮ　Ｑ　Ｌ．Ｒｏｂｕｓｔ　Ｈ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　ｆｏｒ　Ｕｎｃｅｒｔａｉｎ　Ｔａｋａｇｉ－Ｓｕｇｅｎｏ　Ｆｕｚｚｙ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　ｗｉｔｈ　Ｉｎｔｅｒｖａｌ　Ｔｉｍｅ．ｖａｒｙｉｎｇ　Ｄｅｌａｙ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　Ｆｕｚｚｙ　Ｓｙｓｔｅｍｓ，２００７，１５（２）：３２１—３３１．　［３】ＧＵＡＮ　Ｘ　Ｐ，ＣＨＥＮ　Ｃ　Ｌ．Ｄｅｌａｙ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　Ｇｕａｒａｎｔｅｅｄ　Ｃｏｓｔ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｒ　Ｔ－Ｓ　Ｆｕｚｚｙ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　ｗｉｔｈ　Ｉｎｔｅｒｖａｌ　Ｔｉｍｅ－ｖａｒｙｉｎｇ　Ｄｅｌａｙ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　Ｆｕｚｚｙ　Ｓｙｓｔｅｍｓ，２００４，ｌ　２（２）：２３６－２４９．　［４】ＴＡＮＡＫＡ　Ｋ，ＨＯＲＩ　Ｌ　ＷＡＮＧ　Ｈ　Ｏ．Ａ　Ｍｕｌｔｉｐｌｅ　Ｌｙａｐｕｎｏｖ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　Ａｐｐｒｏａｃｈ　ｔｏ　Ｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｆｕｚｚｙ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　Ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　Ｆｕｚｚｙ　Ｓｙｓｔｅｍｓ，２００３，１１（４）：５８２—５８９．　［５】ＧＵＥＲＲＡ　Ｔ　Ｍ，ＶＥＲＭＥＩＲＥＮ　Ｌ．ＬＭＥ－ｂａｓｅｄ　Ｒｅｌａｘｅｄ　Ｎｏｎｑｕａｄｒａｔｉｃ　Ｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎ　Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　Ｔａｋａｇｉ－Ｓｕｇｅｎｏ’Ｓ　Ｆｏｒｍ［Ｊ］．Ａｕｔｏｍａｔｉｅａ，２００４，４０（８）：８２３・８２９．　【６】ＷＵ　Ｈ　Ｎ，ＬＩ　Ｈ　Ｘ．Ｎｅｗ　Ａｐｐｒｏａｃｈ　ｔｏ　Ｄｅｌａｙ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　Ｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　Ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ—ｔｉｍｅ　Ｆｕｚｚｙ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　ｗｉｔｈ　Ｔｉｍｅ—ｖａｒｙｉｎｇ　Ｄｅｌａｙ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　Ｆｕｚｚｙ　Ｓｙｓｔｅｍｓ，２００７，１５（３）：４８２—４９３．　［７］ＺＨＡＯ　Ｊ，ＳＰＯＮＧ　Ｍ　Ｗ　Ｈｙｂｒｉｄ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　ｆｏｒ　Ｇｌｏｂａｌ　Ｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｃａｒｔ—ｐｅｎｄｕｌｕｍ　Ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．Ａｔｏｍａｔｉｃａ，２００１，　３７（１２）：１９４１－】９５１．　【８】ＺＨＡＯ　Ｊ，ＮＩＥ　Ｈ．Ｓｕｆｉｃｉｆｅｎｔ　Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｏｒｆ　Ｉｎｐｕｔ—ｔｏ—ｓｔａｔｅ　Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｗｉｔｃｈｅｄ　Ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ａｃｔａ　Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ　Ｓｉｎｉｃａ，２００３，　２９（２）：２５２－２５７．　［９】刘毅，赵军．一类切换模糊时滞系统的状态反馈控制［Ｊ］．控制与决策，２００８，２３（４）：４４６—４４９．　［１Ｏ】张果，李俊民．不确定时滞离散模糊系统鲁棒Ｈ　控制［Ｊ】西安电子科技大学学报：自然科学版，２００９，３６（２）：３５４－３５８．　【责任编辑王云鹏】