2021年中考二轮复习专题数学
圆的综合（一）
1．如图，在△ACE中，以AC为直径的⊙O交CE于点D，连接AD，且∠DAE＝∠ACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，PB与⊙O相切于点B．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）连接AB交OP于点F，求证：△FAD∽△DAE；
（3）若tan∠OAF＝，求的值．
2．如图，AC为⊙O的直径，AP为⊙O的切线，M是AP上一点，过点M的直线与⊙O交于点B，D两点，与AC交于点E，连接AB，AD，AB＝BE．
（1）求证：AB＝BM；
（2）若AB＝3，AD＝，求⊙O的半径．
1
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与
BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，sinB＝，求ED的长．
4．已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．
（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；
（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；
（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表
2
示）．
5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为
D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
6．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线．
3
（2）若AD＝3，DC＝，求⊙O的半径．
7．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．
8．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．
4
9．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝6，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AC＝10，CD＝6，求DE的长．
5
11．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点B出发，沿AB边向终点A以每秒1cm的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→B→A向终点A以每秒3cm的速度运动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．解答下列问题：
（1）当Q在BC边时，
①当t为 秒时，PQ的长为2cm？
②连接AQ，当t为几秒时，△APQ的面积等于16cm2？
（2）如图2，以P为圆心，PQ长为半径作⊙P，在整个运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙P正好与△ABD的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
6
12．如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，点D在上，AC、BD相交于点E，
F是BD上一点，且BF＝AD．
（1）求证：CF⊥CD；
（2）连接AF，若∠CAF＝2∠ABF；
①求证：AC＝AF；
②当△ACF的面积为12时，求AC的长．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
7
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求CF的长．
14．已知AB是⊙O的直径，C是圆外一点，直线CA交⊙O于点D，B、D不重合，
AE平分∠CAB交⊙O于点E，过E作EF⊥CA，垂足为F．
（1）判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若EF＝2AF，⊙O的直径为10，求AD．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作⊙O，分别与BC、AB相交于点D、E，连接AD，已知∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
8
（2）若∠B＝30°，AO＝，求的长；
（3）若AC＝2，BD＝3，求AE的长．
9
参考答案
1．解：（1）∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠DAE＝∠ACE，
∴∠DAC+∠DAE＝90°，
即∠CAE＝90°，
∴AP是⊙O的切线；
（2）连接DB，如图1，
∵PA和PB都是切线，
∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB，PO⊥AB，
∵PD＝PD，
∴△DPA≌△DPB（SAS），
10
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD，
∵∠ACD＝∠ABD，
又∠DAE＝∠ACE，
∴∠DAF＝∠DAE，
∵AC是直径，
∴∠ADE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠AFD＝90°，
∴△FAD∽△DAE；
（3）∵∠AFO＝∠OAP＝90°，∠AOF＝∠POA，
11
∴△AOF∽△POA，
∴，
∴，
∴PA＝2AO＝AC，
∵∠AFD＝∠CAE＝90°，∠DAF＝∠ABD＝∠ACE，
∴△AFD∽△CAE，
∴，
∴，
∵，
不妨设OF＝x，则AF＝2x，
∴，
∴，
12
∴，
∴．
2．解：（1）∵AP为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，
∴AP⊥AC，
∴∠CAB+∠PAB＝90°，
∴∠AMD+∠AEB＝90°，
∵AB＝BE，
∴∠AEB＝∠CAB，
∴∠AMD＝∠PAB，
∴AB＝BM．
（2）连接BC，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
13
∴∠C+∠CAB＝90°，
∵∠CAB+∠PAB＝90°
∴∠C＝∠PAB，
∵∠AMD＝∠MAB，∠C＝∠D，
∴∠AMD＝∠D＝∠C，
∴AM＝AD＝，
∵AB＝3，AB＝BM＝BE，
∴EM＝6，
∴由勾股定理可知：AE＝＝，
∵∠AMD＝∠C，∠EAM＝∠ABC＝90°，
∴△MAE∽△CBA，
∴＝，
14
∴，
∴CA＝5，
∴⊙O的半径为2.5．
3．（1）证明：连接OM，如图1，
∵OC＝OM，
∴∠OCM＝∠OMC，
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
15
∴CD＝AB＝BD，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴∠OMC＝∠DBC，
∴OM∥BD，
∵MN⊥BD，
∴OM⊥MN，
∵OM过O，
∴MN是⊙O的切线；
（2）解：连接DM，CE，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°，
16
即DM⊥BC，CE⊥AB，
由（1）知：BD＝CD＝5，
∴M为BC的中点，
∵sinB＝，
∴cosB＝，
在Rt△BMD中，BM＝BD•cosB＝4，∴BC＝2BM＝8，
在Rt△CEB中，BE＝BC•cosB＝，
∴ED＝BE﹣BD＝﹣5＝．
4．解：（1）如图1，连接OA，OB，
17
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB＝360°，
∴∠APB+∠AOB＝180°，
∵∠APB＝80°，
∴∠AOB＝100°，
∴∠ACB＝50°；
（2）如图2，当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，
连接OA，OB，
由（1）可知，∠AOB+∠APB＝180°，
∵∠APB＝60°，
18
∴∠AOB＝120°，
∴∠ACB＝60°＝∠APB，
∵点C运动到PC距离最大，
∴PC经过圆心，
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，又∵PC＝PC，
∴△APC≌△BPC（SAS），
∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，∴∠APC＝∠ACP＝30°，
∴AP＝AC，
∴AP＝AC＝PB＝BC，
∴四边形APBC是菱形；
19
（3）∵⊙O的半径为r，
∴OA＝r，OP＝2r，
∴AP＝r，PD＝r，
∵∠AOP＝90°﹣∠APO＝60°，
∴的长度＝＝，
∴阴影部分的周长＝PA+PD+＝r+r+r＝（+1+）r．
5．（1）证明：连接AC、OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∵CD⊥AD，
∴OC∥AD，
∴∠OCB＝∠E，
∵OB＝OC，
20
∴∠OCB＝∠B，
∴∠B＝∠E，
∴AE＝AB；
（2）解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝8，
∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6，
∵CD•AE＝AC•CE，
∴CD＝＝．
21
6．解：（1）如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DC，
∴OC⊥DC，
又OC是⊙O的半径，
∴DC为⊙O的切线；
22
（2）过点O作OE⊥AC于点E，
在Rt△ADC中，AD＝3，DC＝，
∴tan∠DAC＝＝，
∴∠DAC＝30°，
∴AC＝2DC＝2，
∵OE⊥AC，
根据垂径定理，得
AE＝EC＝AC＝，
∵∠EAO＝∠DAC＝30°，
∴OA＝＝2，
∴⊙O的半径为2．
7．解：（1）CB与⊙O相切，
理由：连接OB，
23
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵CP＝CB，
∴∠CPB＝∠CBP，
∵∠CPB＝∠APO，
∴∠CBP＝∠APO，
在Rt△AOP中，∵∠A+∠APO＝90°，∴∠OBA+∠CBP＝90°，
即：∠OBC＝90°，
∴OB⊥CB，
又∵OB是半径，
∴CB与⊙O相切；
（2）∵∠A＝30°，∠AOP＝90°，
24
∴∠APO＝60°，
∴∠BPD＝∠APO＝60°，
∵PC＝CB，
∴△PBC是等边三角形，
∴∠PCB＝∠CBP＝60°，
∴∠OBP＝∠POB＝30°，
∴OP＝PB＝PC＝1，
∴BC＝1，
∴OB＝＝，
∴图中阴影部分的面积＝S△OBC﹣S扇形OBD＝1×﹣＝﹣．
25
8．证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
∵∠BAC＝∠CFD，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴BD∥CF，
∵DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；
（2）连接AE，
∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B，
26
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴∠ECF+∠EAF＝180°，
∵BD∥CF，
∴∠ECF+∠B＝180°，
∴∠EAF＝∠B，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF．
9．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，又∵OC为半径，
∴AE＝ED，
27
（2）解：连接CD，OD，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝∠OCB+∠ABC＝60°，
∵OC⊥AD，
∴＝，
∴∠COD＝∠AOC＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵AB＝6，
∴BD＝3，AD＝3，
∵OA＝OB，AE＝ED，
∴OE＝＝，
∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝
﹣
28
×＝3π﹣．
10．（1）证明：连接OD，如图所示：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACD，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠B＝∠ODC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴EF⊥OD，
又∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
29
（2）解：连接AD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝6．
在Rt△ACD中，AC＝10，CD＝6，∴AD＝＝＝8，
又∵DE⊥AB，AB＝AC＝10，
∴S△ABD＝AB•DE＝AD•BD，
即 ×10×DE＝×8×6，
∴DE＝4.8．
30
11．解：（1）①由题意得：BP＝t，CQ＝3t，
则AP＝6﹣t，BQ＝BC﹣CQ＝8﹣3t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△BCP中，由勾股定理得：BP2+BQ2＝PQ2，
即t2+（8﹣3t）2＝（2）2，
解得：t＝2，或t＝（不合题意舍去），
∴t＝2，
即当t为2秒时，PQ的长为2cm，
故答案为：2；
31
②如图1所示：
由题意得：点Q在BC边上，
∵△APQ的面积＝AP×BQ＝16，
∴×（6﹣t）（8﹣3t）＝16，
解得：t＝，或t＝8（不合题意舍去），
∴当t为秒时，△APQ的面积等于16cm2；
（2）存在这样的t值，使⊙P正好与△ABD的边AD或BD相切，此时Q在AB上，且t＞s，理由如下：
①若与BD相切，过P作PK⊥BD于K，如图3所示：
32
则∠PKB＝90°，PK＝PQ＝PB﹣BQ＝t﹣（3t﹣8）＝8﹣2t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°＝∠PKB，AD＝BC＝8，
∴BD＝＝＝10，
∵∠PBK＝∠DBA，
∴△PBK∽△DBA，
∴＝，
即＝，
解得：t＝；
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②若与AD相切，Q在BC上，PQ＝PA，Q在BC上，如图2﹣1所示：
则PQ＝PA＝6﹣t，
在Rt△PBQ中，由勾股定理得：t2+（8﹣3t）2＝（6﹣t）2，
解得：t＝，或t＝（不合题意舍去），
∴t＝；
③若与AD相切，当P、Q两点中Q先到A点时，如图4所示：
34
此时t＝，
∴⊙P的半径为6﹣＝；
④若与AD相切，当点Q未到达点A时，如图5所示：
则PA＝PQ，
∴6﹣t＝t﹣（3t﹣8），
解得：t＝2，
当t＝2时，PB＝2，则AP＝6﹣2＝4≠PQ，故舍去；
综上所述，t的值为秒或秒或秒．
12．（1）证明：∵AB是直径，
35
∴∠ACB＝90°，
∵C是的中点，
∴＝，
∴∠AC＝CB，
∵∠CBF＝∠CAD，BF＝AD，
∴△CBF≌△CAD（SAS），
∴∠BCF＝∠ACD，
∴∠FCD＝∠ACB＝90°，
∴CF⊥CD．
（2）①证明：过点A作AG⊥CF于点G，则∠FGA＝∠FCD＝90°，
∴AG∥CD，
∴∠CAG＝∠ACD＝∠ABF，
∵∠CAF＝2∠ABF，
36
∴∠CAF＝2∠CAG，即∠CAG＝∠FAG，
∵∠CAG+∠ACG＝90°，∠FAG+∠AFG＝90°，
∴∠ACG＝∠AFG，
∴AC＝AF．
②过点A作AG⊥CF于点G，过点B作BH⊥CF交CF的延长线于点H．则∠BHC＝∠CGA＝90°．
∴∠CAG+∠GCA＝90°，
∵∠BCH+∠GCA＝90°，
∴∠BCH＝∠CAG，
∵CB＝CA，
∴△BCH≌△CAG（AAS），
∴CH＝AG，BH＝CG，
∵∠FCD＝90°，CF＝CD，
∴∠CFD＝∠CDF＝45°，
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∵∠BHF＝90°，
∴∠BFH＝45°＝∠FBH，
∴BH＝HF，
∴HF＝CG，
∵AC＝AF，AG⊥CF，
∴CF＝2CG，
∴AG＝CH＝3CG，
设CG＝x，则CF＝2x，AG＝3x，
则有，S△ACF＝•CF•AG＝×2x×3x＝12，
∴x＝2或﹣2（舍弃），
∴CG＝2，AG＝6，
∵∠AGC＝90°，
∴AC＝＝＝2．
38
13．（1）证明：如图，连接OD，AD，
∵AC是直径，
∴AD⊥BC，
又∵在△ABC中，AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵AO＝OC，
∴OD∥AB，
又∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O半径，
∴DE是⊙O的切线；
39
（2）解：∵⊙O的半径为2，AB＝AC，
∴AC＝AB＝2+2＝4，
∵BE＝1，
∴AE＝4﹣1＝3，
过O作OH⊥AB于H，
则四边形ODEH是矩形，
∴EH＝OD＝2，
∴AH＝1，
∴AH＝AO，
∴∠AOH＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴AF＝2AE＝6，
∴CF＝AF﹣AC＝2．
40
∵DE⊥AB，AD⊥BC，
∴∠AED＝∠BED＝∠ADB＝90°，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，∠ADE+∠BDE＝90°，
∴∠DAE＝∠BDE，
∴△AED∽△DEB，
∴＝，
∴＝，
解得：DE＝，
∵OD∥AB，
∴△FOD∽△FAE，
∴＝，
∴＝，
解得：FD＝2
，
41
在Rt△FOD中，FO＝＝＝4，
∴CF＝FO﹣OC＝4﹣2＝2．
14．解：（1）EF与⊙O相切，理由如下：
连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠OAE，
42
∴∠CAE＝∠OEA，
∴OE∥CD，
∵EF⊥CA，
∴OE⊥EF，
∴EF与⊙O相切；
（2）过O作OH⊥AD于H，
∵EF⊥CA，OE⊥EF，
∴四边形OEFH是矩形，
设AF＝x，则EF＝OH＝2x，AH＝5﹣x，
在Rt△OAH中，AH2+OH2＝OA2，
∴（5﹣x）2+（2x）2＝52，
解得x1＝2，x2＝0（舍去），
∴AH＝5﹣2＝3，
43
∴AD＝2AH＝6．
15．解：（1）如图1，连接OD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∵∠CAD＝∠B，
∴∠CAD＝∠ODB，
44
∴∠ODB+∠ADC＝90°，
∴∠ADO＝90°，
又∵OD是半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，
∴∠DAB＝30°，
∴OD＝AO，
∴OD＝，
∵OD＝OB，∠B＝30°，
∴∠B＝∠ODB＝30°，
∴∠DOB＝120°，
45
∴劣弧BD的长＝＝（3）如图2，连接DE，
∵BE是直径，
∴∠BDE＝90°，
∴∠ACB＝∠EDB＝90°，
∴AC∥DE，
∵∠B＝∠CAD，∠ACD＝∠EDB，
∴△ACD∽△BDE，
∴，
∴设CD＝2x，DE＝3x，
π；
46
∵AC∥DE，
∴，
∴，
∴x＝，
∴CD＝1，BC＝BD+CD＝4，
∴AB＝＝＝2，∵DE∥AC，
∴，
∴AE＝×2＝．
47
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