袁素燕（江西省泰和县第二中学 343700）
课题：二面角及其平面角 学科：数学
版本：人民教育出版社2006版 年级：高二年级 册别：第二册下（A） 课时：1课时
一、教学目的
1、知识目的：①理解二面角的概念 ②能正确画出二面角及二面角的平面角 ③会求简单二面角的平面角的大小 2、能力目的：
①通过二面角的教学，培养学生的空间想象能力 ②通过将研究二面角的大小转化为研究其平面角的大小，培养学生的转化能力。
3、情感目的
①通过实际问题的引入，激发学生学习数学的兴趣，让学生明白数学与生活是密不可分的。
②培养学生认真参与，积极交流的主体意识和乐于探
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索、勇于创新的科学精神。
二、教学重点、难点 1、教学重点
①二面角及二面角平面角的定义 ②作二面角平面角的三种方法
2、教学难点：理解二面角的平面角定义的科学性，解决的办法是：让学生打开书的过程，书的两页之间形成了二面角，引导学生动手测量其大小，从而解决本节课的教学难点。
三、教具准备：三角板、纸板和多媒体 四、教学过程
1、复习引入（5分钟）通过下列一组问题的设计，经启发引导，提出今天的学习课题
①问题一：在平面几何中“角”是怎样定义的？（引导学生从两种不同的角度回答）是这样定义的：（1）从平面内一点出发的两条射线所组成的图形，叫做角。（2）一条射线绕它的端点旋转所形成的图形，叫做角。
②问题二：在立体几何中，我们还学习了哪些角？（学生能容易地回答）异面直线所成的角，直线与平面所成的角。
③问题三：在空间和日常生活中，我们还会遇到一些角 （1）（动画演示）修水坝时，为了使水坝坚固耐久，必
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须使水坝面与水平面成一定的角度。
（2）（动画演示）人造地球卫星绕地球飞行的轨道平面与地球的赤道平面成一定的角度。
（3）（师生动手演示）打开数学课本的过程，书的两页之间形成了一定的角。
④上面问题三中所说的角就是我们今天要学习的另一个空间的角——二面角（板书课题）
2、新课探究（22分钟）
①问题一：如何给二面角下定义？（让学生充分思考，讨论并展示打开书的过程，通过角的定义用类比的方法给二面角下定义）。
②问题二：二面角是否有大小？用什么方法度量？（可以先回顾度量“角”的方法及使用的工具<量角器>，再让学生思考并展开讨论，教师可提示、引导“异面直线所成的角”、“斜线与平面所成的角”的度量方法——转化为一个平面角，让学生尝试二面角的度量方法，结合学生情况，引导思考，解决问题。）
③师生共同总结得出：
二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
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④（师生合作）由定义出发得出作二面角的平面角的步骤：
（1）确定二面角的棱上一点；（2）经过这点分别在两个半平面内引与棱垂直的射线。
⑤由以上活动，师生共同总结得出以下结论： （1）二面角的大小，可以用它的平面角来度量。 （2）二面角的大小范围是：[0°，180°] （3）平面角是直角的二面角，是直二面角 ⑥归纳得出过空间一点作二面角的平面角的方法： （1）定义法（已知点在棱上）
（2）三垂线法（已知点在二面角的某一个面上） （3）垂面法（已知点在二面角内） 3、应用举例（13分钟）
例1：二面角指的是从一条直线出发的两个半平面所夹的角；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形；两个平面相交时，两个平面所夹的锐角或钝角；过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角（启发引导，边讲解，边画图，同时强调正确画图的重要性）
设计意图：从不同方位认识二面角和二面角的平面角，进而突出本节课的重点。
例2：已知二面角α-l -β的平面角为60°，P∈α，
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若P到平面β的距离为9cm，则点P到棱l的距离为 ，点P在β上的射影为P1，则P1到平面α的距离为 。（师生共同完成作图）。
设计意图：进一步强调正确作图的重要性，让学生掌握用三垂线法作二面角的平面角。
例3：如图，平面角为锐角的二面角α－EF－β，A∈EF，AG α，∠GAE=45°，若AG与β所成角为30°，求二面角α－EF－β的平面角的大小（多媒体幻灯片演示图例）。
解：作GH垂直β于H，作HB垂直EF于B，连GB，则GB垂直EF，∴∠GBH为二面角的平面角。又∠GAH是AG与β所成的角，即∠GAH=30°，设AG=a，则GB= ，GH= ，sin∠GBH= ，∴∠GBH= ，故二面角α－EF－β的平面角为（45°）。
设计意图：做立体几何的计算题，规范解题至关重要，本例起到一个示范作用，同时本例也提供了一种作二面角的平面角的最常用方法。
4、小结与作业（5分钟）： ①小结
（1）二面角的定义 （2）二面角的平面角的定义
（3）作二面角的平面角的方法：定义法、三垂线法、
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垂面法
（4）两个教学思想：将空间问题向平面问题转化及类比的数学思想
②作业和练习
（1）作业：P32第2、3题
（2）练习课题：用今天学的数学知识测学校办公楼前台阶的坡度
五、教学后记
课堂教学设计说明本节课属于新授课型，应主要把握以下几个方面：
1、要做好新知识的铺垫。数学教学的过程，实质上就是原有认知结构不断地同化或顺应的过程。学生原有的认知结构，始终是关系迁移功能的一个关键因素。为了有效迁移和构建就应认真寻找和了解学生的原认知，及时组织改造和唤起这些关键因素，为学习新知识提供基础。
2、要做好新知识的导入。新课导入就是在新旧问题之间架起一座“认知桥梁”，从而顺利实现迁移。导入时要寻求新旧问题的最短距离，要瞄准新旧关系的最佳方位，要把握新旧转换的最精确地表达。
3、新授课的重点是新授。新授是一堂课的重要环节，也是学生思维最活跃、最紧张、最有效的认知高潮。因此，
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新授过程应确保在教学中的最佳时域进行，要让学生有观察、动手、表达、思考、交流、表现等时机，让学生真正成为学习的主人，主动地和生动地进行认知建构。
4、要做好课堂巩固。巩固的主要目的是帮助学生建立起关于某道范例的思维模式，形成积极有益的认知定势，从而去解决实际问题。对于巩固练习，应恰当地变换形式或角度，集中突破教学重点和难点。
5、结合实际，做好作业的选题、批改、订正、讲评，进一步提高学习质量。练习课题的布置，能够很好地激发学生学习数学的兴趣。
附：板书设计
1、二面角定义
2、二面角的平面角定义 3、作二面角的平面角的方法（1）（2）（3） 4、例题讲解：例1 例2 例3
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