二面角教案

二 面 角

教学目标：

使学生正确理解二面角及二面角的平面角；通过概念教学，提高逻辑思维能力，渗透等价转化思想；通过图形结构分析，掌握作图方法，提高空间想象能力；通过本节教学由水坝、卫星运行轨道平面到二面角，体现由具体到抽象思想。

教学重点：

二面角的平面角。

教学难点：

求作二面角的平面角。

教学过程：

1．复习回顾：

两个平面平行的判定有哪几种方法？各种方法应具备条件是什么？ 两个平面平行的性质有哪些？如何利用性质解决问题？ 这一部分中等价转化思想体现在哪里？ 2．讲授新课：

1.二面角

［师］两个平面的位置关系包括相交、平行两种，两个平行平面的相对位置是用“距离”来刻画.

而两个相交平面的相对位置由这两个平面所成的“角”来确定.

修筑水坝，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度（如图）。 还有教材中人造地球卫星的发射，需卫星轨道平面和地球赤道平 面成一定的角度.

请同学们再举出生活中例子说明结论.

那就是：为了解决实际问题，需研究两个平面所成的角.

［师］请同学归纳总结二面角的概念.（可与平面角概念对比） 二面角的概念

（1）半平面的定义：平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面.

（2）二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫二面角的棱， 这两个半平面叫二面角的面. ［师］（3）常用直立式和平卧式两种（教师和学生共同动手） 直立式： 平卧式：

［生］（4）二面角的表示

在上图（1）中，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角α—AB—β.

有时为了方便也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P—AB—Q.

如果棱为l，则这个二面角记作α—l—β或P—l—Q.

［师］进一步研究图（2）中∠AOB与∠A′O′B′的大小.

在二面角α—l—β的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB.

再取棱上另一点O′，在α和β内分别作l的垂线O′A′和O′B′，则它们组成角

∠A′O′B′.

因为OA∥O′A′,OB∥O′B′,∠AOB和∠A′O′B′关系如何？ ［生］由OA∥O′A′，OB∥O′B′可知

∠AOB及∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同. 即∠AOB=∠A′O′B′

［师］结论说明了什么问题？

［生］按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关. ［师］由此结果引出二面角的平面角概念. （5）二面角的平面角

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

上图（2）中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角α—l—β的平面角.

前边举过门和门所在墙的关系，随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，而二面角就恰如其分地将这种关系区别开来，度量二面角的大小，利用的是二面角的平面角.

二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度. 本书中规定二面角的大小范围为0°~180°. 当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180°.

［师］若一个二面角的平面角是直角，就说这个二面角为直二面角.

除教材例外，举出一个二面角为直二面角的例子. ［生］教室相邻墙构成的二面角就是直二面角. 如图DD1⊥A1D1，DD1⊥D1C1

∴∠A1D1C1为二面角A1—D1D—C1的平面角 ∵∠A1D1C1=90°

∴该二面角为一直二面角.

［师］在作图时注意两种情形. （1）它是一个“平面角”，它的两边必须在同一 平面内，AB、CD虽各在两个平面内，且都垂直于棱， 但不在同一平面内，所以AB和CD不成平面角.

（2）二面角的平面角的两边必须都与棱垂直，∠ABC的顶点虽在棱上，两边也分别在两个半平面内，但BC不与棱垂直，所以∠ABC不是二面角的平面角.

下面阅读例1，并简要分析

例1：河堤斜面与水平面所成二面角为60°，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线

AB的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10 m时人升高了多少？（精确到0.1 m）

分析：人升高了多少？实质上就是求人所在位置到水

平面距离，问题就转化为解

Rt△EFG，而直角三角形的求解靠二面角平面 角来完成，找二面角的平面角就成为关键. 解：取CD上一点E，设CE=10 m，过点E作直线

AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度. 在河堤斜面内，作EF⊥AB，垂足为F，并连结FG. 则FG⊥AB

即∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成二面角的平面角. ∠EFG=60°,

由此得EG=EFsin60°

=CEsin30°sin60°=10×

13 22=2.53≈4.3（m）.

答：沿直道行走到10 m时人升高约4.3 m. ［师］学生思考问题. 两条相交直线对顶角相等.

两个平面相交时，形成一些二面角，其中有些二面角有类似对顶角的位置关系， 二面角α—ΑΒ—β和二面角α′—AB—β′相等. 这样的两个二面角有公共的棱

它们的面合在一起恰是两个相交平面. 具有这样特殊位置的两个二面角大小相等.

但二面角α—AB—β和二面角β—AB—α′是互补的.

例2：设P是二面角α－l－β内一点，P到面α、β的距离PA、PB分别为8和5，且

AB＝7，求这个二面角的大小。

解：作AC⊥l于c，连结BC

∵PA⊥α，lα ∴PA⊥l 又AC⊥l，AC∩PA＝A

∴l⊥平面PAC ∴l⊥PC

∵PB⊥β，lβ ∴PB⊥l 又PB∩PC＝P ∴l⊥平面PBC ∴平面PAC与平面PBC重合，且l⊥BC ∴∠ACB就是所求的二面角

△PAB中，PA＝8，PB＝5，AB＝7 ∴∠P＝600 ∴∠ACB＝1200

3．课堂练习：

课本P47 练习1. 4．课时小结：

1.应理解掌握二面角、二面角的平面角概念； 2.通过学习应掌握利用二面角平面角的定义. 5．课后作业：

（一）课本P47 习题 1~7. （二）预习：

如何判定两个平面垂直？两个平面垂直后具有什么性质？