概率论与数理统计课后习题及答案-高等教育出版社

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习题解答

1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件A,B,C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点。

解：(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）

A(正，正)，（正，反）；B（正，正），（反，反） C(正，正)，（正，反），（反，正）

2. 在掷两颗骰子的试验中，事件A,B,C,D分别表示“点数之和为偶数”，“点数

之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件AB,AB,AC,BC,ABCD中的样本点。

解：(1,1),(1,2),,(1,6),(2,1),(2,2),,(2,6),,(6,1),(6,2),,(6,6)；

AB(1,1),(1,3),(2,2),(3,1)；

AB(1,1),(1,3),(1,5),,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)；

AC；BC(1,1),(2,2)；

ABCD(1,5),(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4)

3. 以A,B,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用A,B,C表示以下

事件：

（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。

解：（1）ABC； （2）ABC； （4）ABCABCABC; （6）ABC； （8）ABC；

（3）ABCABCABC；

（5）ABC；

（7）ABCABCABCABC或ABACBC （9）ABC

4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：A2, A2A3, A1A2, A1A2, A1A2A3,

A1A2A2A3A1A3.

解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。

5. 设事件A,B,C满足ABC，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：

ABC，ABC，BAC.

解：如图：

AABCABCABCCABCABCABCABCABCBABCABCABCABCABCABCABCABC;ABCABCC;BACABCABCABCBAABCBCABC 6. 若事件A,B,C满足ACBC，试问AB是否成立举例说明。

解：不一定成立。例如：A3,4,5，B3，C4,5， 那么，ACBC，但AB。

7. 对于事件A,B,C，试问A(BC)(AB)C是否成立举例说明。

解：不一定成立。 例如：A3,4,5，B4,5,6，C6,7， 那么A(BC)3，但是(AB)C3,6,7。

8. 设P(A)1，P(B)1，试就以下三种情况分别求P(BA)：

23（1）AB， （2）AB， （3）P(AB)1.

81； 2解：

（1）P(BA)P(BAB)P(B)P(AB)（2）P(BA)P(BA)P(B)P(A)1； 6113（3）P(BA)P(BAB)P(B)P(AB)。

2889. 已知P(A)P(B)P(C)1，P(AC)P(BC)1，P(AB)0求事件

416A,B,C全不发生的概率。

解：P(ABC)PABC1P(ABC)

=1P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)111113100

1616444810. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：A“三个都是红灯”=“全红”； B“全绿”； C同”； G“全黄”； D“无红”； E“无绿”； F“三次颜色相

“颜色全不相同”； H“颜色不全相同”。

解：

11112228；P(D)P(E)； 333273332711113!2P(F)；P(G)；

2727279333918P(H)1P(F)1.

99P(A)P(B)P(C)11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：

（1） 取出的3件中恰有1件是次品的概率； （2） 取出的3件中至少有1件是次品的概率。

解：

一次拿3件：

21C98C2（1）P0.0588； 3C1001221C2C98C2C98（2）P0.0594； 3C100每次拿一件，取后放回，拿3次：

298298330.0576； （2）P10.0588； （1）P33100100每次拿一件，取后不放回，拿3次：

2989730.0588；

10099989897960.0594 （2）P11009998（1）P

12. 从0,1,2,,9中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：

A1三个数字中不含0与5，A2三个数字中不含0或5。

解：

3C87P(A1)3；

C10153312C9C8C81414或 P(A2)P(A)123315C10C101513. 从0,1,2,,9中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。

5P934P8241解：P 490P1014. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率： （1）6人中至少有1人生日在10月份； （2）6人中恰有4人生日在10月份； （3）6人中恰有4人生日在同一月份；

解：

C64112116（1）P160.41； （2）P0.00061； 61212142CC11（3）P12660.0073

1215. 从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。

解：

131213111C4C13C4C13C39C4C13C13C13P0.602或P10.602 33C52C52

习题解答

1. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。

解：

令Ai“取到的是i等品”，i1,2,3

P(A1A3)P(A1A3)P(A1)0.62。

P(A3)P(A3)0.93 2. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不

合格品，求另一件也是不合格品的概率。

解：

令A “两件中至少有一件不合格”，B “两件都不合格”

P(AB)P(B)P(B|A)P(A)1P(A)2C42C102C101C621 53. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别和，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为，求

（1） 两种报警系统I和II都有效的概率； （2） 系统II失灵而系统I有效的概率； （3） 在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。

解：令A “系统（Ⅰ）有效” ，B “系统（Ⅱ）有效” 则P(A)0.92,P(B)0.93,P(B|A)0.85 （1）P(AB)P(BAB)P(B)P(AB)

P(B)P(A)P(B|A)0.93(10.92)0.850.862 （2）P(BA)P(AAB)P(A)P(AB)0.920.8620.058 （3）P(A|B)P(AB)0.0580.8286

P(B)10.934. 设0P(A)1，证明事件A与B独立的充要条件是

P(B|A)P(B|A)

证：

：A与B独立，A与B也独立。 P(B|A)P(B),P(B|A)P(B) P(B|A)P(B|A)

： 0P(A)10P(A)1

P(AB)P(AB),P(B|A) 又P(B|A) P(A)P(A)P(AB)P(AB) 而由题设P(B|A)P(B|A)

P(A)P(A) 即[1P(A)]P(AB)P(A)[P(B)P(AB)] P(AB)P(A)P(B)，故A与B独立。

5. 设事件

A与B相互独立，两个事件只有A发生的概率与只有B发生的概率都

1，又A与B独立 4是1，求P(A)和P(B).

4解：P(AB)P(AB)1 41 P(AB)P(A)P(B)P(A)[1P(B)]

412 P(A)P(B),P(A)P(A)

41 即P(A)P(B)。

26. 证明 若P(A)>0，P(B)>0，则有

P(AB)P(A)P(B)[1P(A)]P(B)（1） 当A与B独立时，A与B相容； （2） 当A与B不相容时，A与B不独立。

证明：P(A)0,P(B)0

（1）因为A与B独立，所以

P(AB)P(A)P(B)0，A与B相容。 （2）因为P(AB)0，而P(A)P(B)0， P(AB)P(A)P(B)，A与B不独立。

7. 已知事件A,B,C相互独立，求证AB与C也独立。

证明：因为A、B、C相互独立， P[(AB)C]P(ACBC)

P(AC)P(BC)P(ABC)P(A)P(C)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)[P(A)P(B)P(AB)]P(C)P(AB)P(C)AB与C独立。

8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为，和，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。

解：

令A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾， 那么P(A1)0.7,P(A2)0.8,P(A3)0.9 令B表示最多有一台机床需要工人照顾，

那么P(B)P(A1A2A3A1A2A3A1A2A3A1A2A3)

P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3) 0.70.80.90.30.80.90.70.20.80.70.80.1

0.9029. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为p(0p1)，（称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。

系统II 系统I

1 n+1 1 n+1 2 n+2 2 n+2 n 2n n 2n 解：令A “系统（Ⅰ）正常工作” B “系统（Ⅱ）正常工作” Ai“第i个元件正常工作”，i1,2,,2n P(Ai)P,A1,A2,,A2n相互独立。 那么

P(A)P(A1A2An)(An1An2A2n)

P(A1A2An)P(An1An2A2n)P(A1A2A2n) P(A)P(A)P(A)iiii1in1i1n2n2n

2PnP2nPn(2Pn)P(B)P[(A1An1)(A2An2)(AnA2n)]

P(AiAni)i1nn [P(A)P(Aii1ni1ni)P(Ai)P(Ani)]

注：利用第7题的方法可以证 明(AiAni)与(AjAnj)

[2PP2]Pn(2P)n

ij时独立。

10. 10张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1张，求 （1） 前三人中恰有一人中奖的概率； （2） 第二人中奖的概率。

解：令Ai“第i个人中奖”，i1,2,3 (1) P(A1A2A3A1A2A3A1A2A3) P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)

P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)4656546451  109810981098212C4C61或P 32C10（2）P(A2)P(A1)P(A2|A1)P(A1)P(A2|A1) 

43642 109109511. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录，每10 000人中有4人患有肝癌，试求：

（1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；

（2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。

解：

令B“被检验者患有肝癌”， A“用该检验法诊断被检验者患有肝癌” 那么，P(A|B)0.95,P(A|B)0.10,P(B)0.0004 （1）P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B) 0.00040.950.99960.10.10034

P(B)P(A|B)

P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)0.00040.95 0.0038

0.00040.950.99960.1（2）P(B|A)

12. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：

（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；

（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。

解：令Bi“5件中有i件优质品”，i0,1,2,3,4,5

223（1）P(B2)C5(0.3)(0.7)0.3087

P(B2B0)

P(B)i10P(B2)0.3087 0.371

1P(B0)1(0.7)5（2）P(B2|Bi)P(B2|B0)5 13. 每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1件正品被误检是次品的概率是2%，1件次品被误判是正品的概率是5%，试计算： （1）抽取的1件产品为正品的概率； （2）该箱产品通过验收的概率。

解：令A “抽取一件产品为正品” Ai“箱中有i件次品”，i0,1,2 B “该箱产品通过验收”

2110i0.9 ii10i0i0（2）P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)

（1）P(A)P(A)P(A|A)32 0.90.980.10.050.887

14. 假设一厂家生产的仪器，以概率可以直接出厂，以概率需进一步调试，经调试后以概率可以出厂，并以概率定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了n(n2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：

（1）全部能出厂的概率； （2）其中恰有2件不能出厂的概率； （3）其中至少有2件不能出厂的概率。

解：令A “仪器需进一步调试” ；B “仪器能出厂” A “仪器能直接出厂” ；AB “仪器经调试后能出厂” 显然BAAB，

那么P(A)0.3,P(B|A)0.8

P(AB)PA)P(B|A)0.30.80.24 所以P(B)P(A)P(AB)0.70.240.94 令Bi“n件中恰有i件仪器能出厂”，i0,1,,n （1）P(Bn)(0.94) （2）P(Bn2)Cnn2n22(0.94)n2(0.06)2Cn(0.94)n2(0.06)2

n1n1nB)1P(B)P(B)1C0.06(0.94)(0.94) kn1nnk0 15. 进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为p，试求以下事件

（3）P(的概率：

（1）直到第r次才成功；

（2）第r次成功之前恰失败k次； （3）在n次中取得r(1rn)次成功；

（4）直到第n次才取得r(1rn)次成功。

解：

（1）Pp(1p)r1

r1rk（2）PCrk1p(1p) rrnr（3）PCnp(1p)

r1rnr（4）PCn1p(1p)

16. 对飞机进行3次独立射击，第一次射击命中率为，第二次为，第三次为. 击中飞机一次而飞机被击落的概率为，击中飞机二次而飞机被击落的概率为，若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。

解：令Ai“恰有i次击中飞机”，i0,1,2,3 B “飞机被击落” 显然：

P(A0)(10.4)(10.5)(10.7)0.09

P(A1)0.4(10.5)(10.7)(10.4)0.5(10.7)(10.4)(10.5)0.70.36P(A2)0.40.5(10.7)0.4(10.5)0.7(10.4)0.50.70.41P(A3)0.40.50.70.14

所以

而P(B|A0)0，P(B|A1)0.2，P(B|A2)0.6，P(B|A3)1

P(B)P(Ai)P(B|Ai)0.458；P(B)1P(B)10.4580.542

i03

习题解答

k)1k(k1,2,), 则

2（1） 判断上面的式子是否为X的概率分布； （2） 若是，试求P(X为偶数）和P(X5).

1解：令P(Xk)pkk,k1,2,

2（1）显然0pk1，且

1. 设X为随机变量，且P(X11 pkk211

12k1k121 所以P(Xk)k,k1,2,为一概率分布。

2111（2）P(X为偶数)p2k2k41

143k1k12511 P(X5)pkk2

11216k5k521 2.设随机变量X的概率分布为P(X数C.

kCk)e(k1,2,), 且0，求常k!解：ck!ek1k1，而k0kk!e1

0 c1e1，即c(1e)1

0! 3. 设一次试验成功的概率为p(0p1)，不断进行重复试验，直到首次成功为止。用随机变量X表示试验的次数，求X的概率分布。

k1解：P(Xk)p(1p),k1,2,

4. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=，当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求

（1）X的概率分布； （2）P(X5)。

解：

（1）P(Xk)(1p)p(0.9)0.1,k0,1,2, （2）P(X5)kkP(Xk)(0.9)k5k5k0.1(0.9)5

5. 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少

解：因为学生靠猜测答对每道题的概率为p的独立重复试验。

11，所以这是一个n5,p44 P(X4)C5()41443151530 C5()()444646. 为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发

生故障的概率为，各台设备工作情况相互独立。

（1）若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率； （2）设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过

解：

（1）1(0.99)200.01(0.99)0.0175（按Poisson(泊松)分布近似）

（2）n100,np1000.011（按Poisson(泊松)分布近似） P(XN1) 查表得N4

7. 设随机变量X服从参数为的Poisson(泊松)分布，且P(X （1）； （2）P(X2019kN1C100k100(0.01)(0.99)k100k1ke10.01

k!kN11000)1，求

21).

1,ln2

0!2P(X1)1P(X1)1[P(X0)P(X1)]

111 1[ln2](1ln2)

222解：P(X0)0e8. 设书籍上每页的印刷错误的个数X服从Poisson(泊松)分布。经统计发现在某本

书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。

解：P(X1)P(X2)，即

11!e22!e,2

e P（X0） P(e)e

9. 在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的

Poisson分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求

（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率； （2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；

t9. 在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数为2的

2482Poisson(泊松)分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）. 求 （1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率； （2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；

解：

3（1）t3,25（2）t5,2P(X0)e

P(X1)1P(X0)1e

5232

10. 已知X的概率分布为：

X -2 2a -1 1100 3a 1 a 2 a 3 2a P

试求（1）a； （2）YX21的概率分布。

解：

13aaa2a1 101 a。

10（1）2a（2）

Y P

1 0 3 8 3131 105105

11. 设连续型随机变量X的概率密度曲线如图所示.

f (x) t o 图 1 2 3 x

试求:（1）t的值； （2）X的概率密度； （3）P(2X2).

解：

11(t)0.50.531 22 t1

11x,x[1,0)2211（2）f(x)x,x[0,3)

62，其它002111111（3）P（2X2)(x)dx(x)dx

2262121012. 设连续型随机变量X的概率密度为

（1）sinx,0xa f(x)0,其他试确定常数a并求P(X).

6a0解：令

f(x)dx1，即sinxdx1

a0 cosx1，即cosa0,a22

P(X62)sinxdxcosx|63 2613. 乘以什么常数将使ex2x变成概率密度函数

解：令

cex2xdx1

 即 ce 即 ce141(x)22edx1

141 c21e

1414. 随机变量X~N(,)，其概率密度函数为

f(x)试求,；若已知

21e6x24x46 (x)

Cf(x)dx1Cf(x)dx，求C.

(x2)22(3)2解：

f(x)16ex24x4623e

2 , 23

c若

f(x)dxf(x)dx，由正态分布的对称性

c可知 c2.

15. 设连续型随机变量X的概率密度为

2x,0x1 f(x)其他0,以Y表示对X的三次独立重复试验中“X1”出现的次数，试求概率P(Y2).

2解：P(X11)2xdx 240212 P(Y2)C3()()142349。 6416. 设随机变量X服从[1,5]上的均匀分布，试求P(x1Xx2). 如果 （1）x11x25； （2）1x15x2.

1解：X的概率密度为f(x)40x21（1）P(x1Xx2)dx415,1x5,其他

1(x21) 4（2）P(x1Xx2)11dx(5x1) 44x11的指数分布。某顾客等待

5服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要去等待服务5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求Y的概率分布和P(Y1).

17. 设顾客排队等待服务的时间X（以分计）服从解：

P(X10)1P(X10)1[1e P(Y1)1(1e)0.5167

251105]e2

P(Yk)C5k(e2)k(1e2)5k,k0,1,2,3,4,5

习题解答

1. 已知随机变量X的概率分布为P(X1)0.2，P(X2)0.3，

P(X3)0.5，试求X的分布函数；P(0.5X2)；画出F(x)的曲线。

解：

F(x)00.2F(x)0.51F(x)曲线：

,x1 ；

,1x2,2x3,x3P(0.5X2)0.5

2. 设连续型随机变量X的分布函数为

x10,0.4,1x1 F(x)0.8,1x3x31,试求:（1）X的概率分布； （2）P(X2|X1).

解：

（1）

X P

1 1 3 0.4 0.4 0.2 P(X1)2

P(X1)3 （2）P(X2|X1) 3. 从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立

的，且概率均是，设X为途中遇到红灯的次数，试求（1）X的概率分布； （2） X的分布函数。

解：

（1）P(Xk)C3()()k25k353k,k0,1,2,3

列成表格

X 0 1 2 3 p 2754368 12512512512502712581 （2）F(x)1251171251解：

,,,,,x00x11x2 2x3x3 4. 试求习题中第11题X的分布函数，并画出F(x)的曲线。

01211xx24F(x)4111x2x24121

F(x)x11x0

0x3x310.25x10123

5. 设连续型随机变量X的分布函数为

ABe2x,F(x)0,　　解：

（1）F()lim(ABex2xx0x0

试求:（1）A,B的值； （2）P(1X1)； （3）概率密度函数f(x).

)1A1

又lim(ABex02x)F(0)0BA1

2（2）P(1X1)F(1)F(1)1e

2e2x,x0（3）f(x)F'(x)

,x00 6. 设X为连续型随机变量，其分布函数为

a,x1;F(x)bxlnxcxd,1xe;

d,xe.试确定F(x)中的a,b,c,d的值。

解： F()0a1 又F()1d1 又lim(bxlnxcx1)a0x1c1

bee11 即b1

a，试确定a的值并求F(x)和

2(1x) 又lim(bxlnxx1)d1xe 7. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)P(X1).

adx1 2(1x)a即 arctanx|1a1

解：a11dtarctanx,x 22(1t)P(|X|1)F(1)F(1) 1111(arctan1)[arctan(1)]0.522 8. 假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数N(t)服从参数为

0.1的Poisson(泊松)分布，X表示连续两次地震之间相隔的时间（单位：年），

F(x)试求:

（1）证明X服从指数分布并求出X的分布函数； （2）今后3年内再次发生地震的概率；

（3）今后3年到5年内再次发生地震的概率。

x解：

（1） 当t0时，P(Xt)P(N(t)0)e F(t)P(Xt)1P(Xt)1e 当t0时，F(t)0

0.1t

0.1t

1e0.1xx0 F(x)

0x0 X服从指数分布（0.1）

0.130.26 （2）F(3)1e（3）F(5)F(3)0.13

9. 设X~N(1,16)，试计算（1）P(X2.44)； （2）P(X1.5)；（3）P(X4)； （4）P(X11).

解：

2.44(1)3.44)()0.8051 44（2）P(X1.5)1P(X1.5)

1.511 1()1()0.5498

48414153（3）P(|X|4)()()()()

444453 ()()10.6678

44（4）P(|X1|1)P(X0)(X2)P(X0)P(X2)

012113 ()1()()1()0.8253

4444（1）P(X2.44)( 10. 某科统考成绩X近似服从正态分布N(70,10)，第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少分

220 100P(Xx)(X60)P(Xx)而 P(Xx|X60)

P(X60)P(X60)6070又 P(X60)10.8413 (1)10 P(Xx)0.20.84130.16826

x70即 P(Xx)1(1)0.16826

10x70x700.83174 ，0.96，x79.6 101022 11. 设随机变量X和Y均服从正态分布，X~N(,4)，Y~N(,5)，而p1P(X4)，p2P(Y5)，试证明 p1p2.

解：P(Xx|X60)证明：

4p1P(X4)(1)

45 p2P(Y5)11(1)(1)

5p1p2.

12. 设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布，令YcXdc0，试求随机变量Y的密度函数。

解：

yd1yd,abfXfY(y)c|c| c0,其它1,cadycbd当c0时，fY(y)c(ba)

0,其他1,cbdycad当c0时，fY(y)c(ba)0

,其他