容斥原理

一、概念分析：在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人

们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 容斥原理（1）

如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。 两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B 例1

一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？

分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类或B类元素个数”的总和。 容斥原理（2）

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数 三个集合的容斥关系公式：

A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C 例题：

1.电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少

1

人？（答案为15） 100-(62+34-11)=15

2.某班参加体育活动的学生有25人，参加音乐活动的有26人，参加美术活动的有24人，同时参加体、音活动的有16人，同时参加音美活动的有15人，同时参加美体活动的有14人，三个组织都参加的有5人，这个班共有多少名学生参加活动。（答案为35） 25+26+24-16-15-14+5=35

3. 某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有20人，参加音乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时参加美术和音乐两个小组有5人，同时参加音乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手工两个小组的有7人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？（答案为60） 20+24+31-5-6-7+3=60

4.有128位旅客，其中25人既不懂英语、又不懂法语，有98人懂英语，75人懂法语，请问：既懂英语、又懂法语的有多少人？（答案为70）

98+75+25-128=70

5.70名学生参加体育比赛，短跑得奖的有31人，弹跳得奖的有29人，投掷得奖的有36人。短跑与投掷两项均得奖的有12人，三项都得奖的有5人，只得弹跳奖的有7人，只得投掷讲的有15，问只得短跑奖的有多少人？没得奖的有多少人？ 投掷与弹跳36-15-12+5=14 弹跳与短跑29-7-14+5=13 只得短跑奖31-12-13+5=11 70-(31+29+36-12-14-13+5)=8

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