专题 解决问题的策略
一、填空题：
1．甲、乙、丙、丁四队进行篮球循环赛，那么只要比赛一场，一共要比赛 _________ 场，比赛如果 采用淘汰赛，那么只要比赛 _________ 场．
2．学校组织了艺术、电脑、体育3种兴趣小组，小玲准备最少参加1种，最多3种都参加，她一共 有 _________ 场不同的参加方式．
3．10个1平方厘米的小正方形拼成的大长方形，一共有 __ __ 种不同的拼法，其中周长最大的 是 ___厘米，最短是 _____厘米．
4．早餐店有馒头、油条、大饼三种早点供选择，小华每天吃两种早点，她有 _____ 种不同的搭配方法． 5．已知4路公交车每隔15分钟发一辆，早晨6：00发第一辆，第六辆车的发车时间是 ____ ，那么中午12：15发第 ______ 辆车．
6．在十二生肖中，小明属龙，再过11年后，小明属 _____，爸爸比小明大24岁，爸爸属 _______． 7．一架天平有2克、3克、4克的砝码各一个，用这3个砝码在天平上一共可以称出 ________ 种不同的质量．如果这架天平还有一个6克的砝码，这时在天平上一共可以称出 _________ 种不同的质量． 8．张静4月5号、12号、19号…去奶奶家，她的哥哥4月4号、7号、10号…去奶奶家，兄妹俩4月 _______ 号可以结伴去奶奶家． 二、选择
9．书架上有4本故事书和3本科技书，小明从中取出故事书和科技书各1本，有（ ）种不同的取法． A． 7
B． 4
C． 3
D．1 2
10．用栅栏围成一个长12米宽4米的长方形苗圃，如果不增加栅栏，要使面积扩大方法是（ ） A． 减长增宽
B． 增长减宽
C． 不可能
.
11．妈妈给小明30元钱去买杯子，已知大杯子每只3元，小杯子每只2元，如果把钱正好用完，那么一共有（ ）种不同的购买方法？ A． 3种
B． 6种
C． 9种
12．有1元、2元、5元和10元人民币各1张，每次取2张，可以有（ ）种不同的取法． A． 4
B． 6
C． 10
D．1 4
13．两人见面要握一次手，照这样规定，5人见面握（ ）次手． A． 15
三、解决问题
14．用24块1米长的栅条围成一个长方形或正方形，有多少种不同的围法？它们的面积各是多少？围一围填在下表中． 长/米 宽/米 面积/平方米
15．旅游团有28人到旅馆住宿，住3人间和2人间（每个房间不能有空床位），有多少种不同的安排？
B． 12
C． 10
D．8
.
16．自来水公司要铺设60米长的水管，现只有3米和5米的两种水管，为了不浪费，应该怎样用这些水管？（请把你想到的方案都写下来）
17．某比赛组委会把参赛队分成六个组，每个组有5个队，第一组有五个代表队，先进行小组循环赛，这个组总共要进行几场比赛？（先连线再回答）
18．某小学组织五年级同学去参加科技活动，具体信息如下： 人员情况：学生186人，老师12人，家长52人 车辆情况：A型车 限乘20人 350元/辆 B型车 限乘50人 720元/辆
请你设计一下租车方案，并比较一下，看看怎样租车最合算． _________ 型车/辆 _________ 型车/辆 租金/元 .
19．如下图，从A经过B到C有多少种不同的路线（A点不重复）？从A到C有多少种不同的路线（A点不重复）？
.
参考答案与试题解析
一、认真读题，谨慎填写（每空2分）．
1．（4分）甲、乙、丙、丁四队进行篮球循环赛，那么只要比赛一场，一共要比赛 6 场，比赛如果采用淘汰赛，那么只要比赛 3 场．
考点： 握手问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： （1）由于每两个队都要赛一场，所以每个队都要和其它3个队赛一场，这样所有队参赛的场数为
3×4=12场，由于比赛是在两队之间进行的，所以一共要赛12÷2=6场．
（2）淘汰赛每赛一场就要淘汰1个队，而且只能1个队．即淘汰掉多少个队就恰好进行了多少场比赛，由此算出结果即可．
解答 解：（1）4×（4﹣1）÷2
=4×3÷2 =6（场）
（2）4个队比赛，最后决出冠军只有1个队，淘汰4﹣1=3支队，就一共需要进行3场比赛． 答：如果进行单循环赛，需要比赛6场．如果进行淘汰赛，共要比赛3场． 故答案为：6，3．
点评： 解答此题一定要理清是两两配对进行淘汰赛：2只能剩1；由此再据队数探讨得出结论．在单循环
赛制中，参赛队数与比赛场数的关系为：比赛场数=参赛队数×（参赛队数﹣1）÷2．
2．（2分）学校组织了艺术、电脑、体育3种兴趣小组，小玲准备最少参加1种，最多3种都参加，她一共有 7 场不同的参加方式．
.
考点： 排列组合．
专题： 传统应用题专题．
分析： 按照报一种、两种和三种这3种情况将参加的方法一一列举出来再合并即可． 解答： 解：参加方法有：
①一种：从三种兴趣小组任选一种，共有3种方法；
②两种：可以有：艺术和电脑、体育和艺术、电脑和体育共有3种； ③三种：三种都参加，只有1种方法； 共有：3+3+1=7（种）． 答：一共有7种不同的参加方式． 故答案为：7．
点评： 解决本题的关键是根据题意将参加方法分3种情况考虑，再将所有方法相加即可．
3．（6分）10个1平方厘米的小正方形拼成的大长方形，一共有 2 种不同的拼法，其中周长最大的是 22 厘米，最短是 14 厘米．
考点： 筛选与枚举；最大与最小．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 因10的因数有1，2，5，10；用10个小正方形拼成的长方形，不论怎样拼它的面积不变．根据
拼成图形的长和宽，求出它们的周长，再进行比较．据此解答．
解答： 解：根据分析知拼成后图形的面积不变，拼成后长方形的长和宽可分下列情况：
（1）长10厘米，宽1厘米，周长是：（10+1）×2=22（厘米）； （2）长5厘米，宽2厘米，周长是：（5+2）×2=14（厘米）；
所以一共有2种不同的拼法，其中周长最大的是22厘米，最短是14厘米． 故答案为：2；22；14．
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点评： 本题的关键是根据拼成后面积不变，分情况讨论组成长方形的长和宽．
4．（2分）早餐店有馒头、油条、大饼三种早点供选择，小华每天吃两种早点，她有 3 种不同的搭配方法．
考点： 排列组合．
专题： 传统应用题专题．
分析： 利用意义列举的方法列举出两种早点不同搭配即可． 解答： 解：吃两种有：
①包子、油条； ②包子、烧饼；
③油条、烧饼三种不同的搭配方法． 故答案为：3．
点评： 此题考查简单的排列组合，注意按照一定的顺序，做到不重不漏．
5．（4分）4路公交车每隔15分钟发一辆，早晨6：00发第一辆，第六辆车的发车时间是 7时15分 ，中午12：15发第 26 辆车．
考点： 日期和时间的推算．
专题： 质量、时间、人民币单位．
分析： 根据题干，早晨6：00发第一辆，到第六辆车发车，之间有6﹣1=5个间隔时间，即经过了15×
5=75分钟，据此用开始发车的时间+经过的时间即可求出第六辆车的发车时；
用中午12：15减去第一辆车发出的时间，求出经过的时间，再除以15，求出间隔数，加上1即可解答问题．
解答： 解：15×5=75（分钟）=1小时15分
6时+1时15分=7时15分
.
12时15分﹣6时=6时15分=375分 375÷15+1 =25+1 =26（辆）
答：第六辆车的发车时间是 7时15分，中午12：15发第 26辆车． 故答案为：7时15分；26．
点评： 考查了日期和时间的推算，本题的难点是求出中间的时间，发车间隔的次数．同时注意单位的换算． 6．（4分）在十二生肖中，小明属龙，再过11年后，小明属 龙 ，爸爸比小明大24岁，爸爸属 龙 ．
考点： 简单周期现象中的规律．
专题： 探索数的规律．
分析： 小明属龙，说明小明出生的年份是龙年，无论过多少年，小明出生的年份永远不变，所以小明的属
相永远不变；
12个生肖中，每12年一个循环，小明的爸爸比小明大24岁，24÷12=2，所以爸爸与小明的属相相同，据此即可解答问题．
解答： 解：根据题干分析可得：小明属龙，不管再过多少年后，小明仍然属龙，
爸爸比小明大24岁，24÷12=2 所以爸爸也属龙． 故答案为：龙；龙．
点评： 解答此题的关键是明确人的属相永远不变，且12个生肖循环排列，即12年一个循环周期．
7．（4分）一架天平有2克、3克、4克的砝码各一个，用这3个砝码在天平上一共可以称出 7 种不同的质量．如果这架天平还有一个6克的砝码，这时在天平上一共可以称出 14 种不同的质量．
.
考点： 筛选与枚举．
专题： 传统应用题专题．
分析： （1）先选原先单个的砝码，有3种不同的质量，再两个搭配，得出不同的质量，最后三个搭配得
出不同的质量；
（2）类比（1）的方法，一一列举解决问题．
解答： 解：（1）一个砝码：2克，3克，4克共3种不同的质量，
两个砝码搭配：2克+3克=5克，2克+4克=6克，3克+4克=7克，共3种不同的质量， 三个搭配：2克+3克+4克=9克， 共有：3+3+1=7（种）；
（2）一个砝码：2克，3克，4克，6克共4种不同的质量，
两个砝码搭配：2克+3克=5克，2克+4克=6克，3克+4克=7克，2克+6克=8克，3克+6克=9克，4克+6克=10克，共6种不同的质量，
三个搭配：2克+3克+4克=9克，2克+3克+6克=11克，6克+3克+4克=13克，2克+4克+6克=12克，
去掉重复有3种不同的质量；
四个搭配：2克+3克+4克+6克=15克有1种不同的质量， 共有：4+6+3+1=14（种）； 故答案为：7；14．
点评： 利用列举法注意分类的标准，一一列举做到不重不漏．
8．（2分）张静4月5号、12号、19号…去奶奶家，她的哥哥4月4号、7号、10号…去奶奶家，兄妹俩4月 19 号可以结伴去奶奶家．
考点： 公因数和公倍数应用题．
.
专题： 约数倍数应用题．
分析： 根据张静4月5号、12号、19号…去奶奶家，她的哥哥4月4号、7号、10号…去奶奶家，可知
张静、哥哥分别每7天、3天去一次奶奶家，分别求出它们4月的几号去奶奶家，然后解答即可．
解答： 解：张静、哥哥分别每7天、3天去一次奶奶家，
所以张静4月5号、12号、19号、26号去奶奶家，
她的哥哥4月4号、7号、10号、13号、16号、19号、22号、25号、28号去奶奶家， 所以兄妹俩4月19号可以结伴去奶奶家． 答：兄妹俩4月19号可以结伴去奶奶家． 故答案为：19．
点评： 此题中分析判断出张静、哥哥分别每7天、3天去一次奶奶家是解答本题的关键． 二、反复比较，谨慎选择（每小题2分）．
9．（2分）书架上有4本故事书和3本科技书，小明从中取出故事书和科技书各1本，有（ ）种不同的取法． A． 7
考点： 排列组合．
B． 4 C． 3 D．1 2
专题： 传统应用题专题．
分析： 从书架上有4本故事书选一本有4种选法；从3本科技书选一本有3种选法；根据乘法原理，可
得共有：4×3=12种；据此解答．
解答： 解：4×3=12（种）；
答：共有12种不同的取法． 故选：D．
点评： 本题考查了乘法原理的应用，即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的
方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有
.
M1×M2×…×Mn种不同的方法．
10．（2分）用栅栏围成一个长12米宽4米的长方形苗圃，如果不增加栅栏，要使面积扩大方法是（ ） A． 减长增宽
考点： 长方形、正方形的面积．
B． 增长减宽 C． 不可能
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 因为周长一定时，围成的长方形的长与宽的差越小，围成的图形的面积越大，据此使长减少，宽增
加，使它们的差最小，则围成的面积就最大，据此即可选择．
解答： 解：根据题干分析可得，如果不增加栅栏，要使面积扩大方法是减少长，增加宽．
故选：A．
点评： 解答此题的关键是明确：周长一定时，围成的长方形的长与宽的差越小，围成的图形的面积越大． 11．（2分）妈妈给小明30元钱去买杯子，已知大杯子每只3元，小杯子每只2元，如果把钱正好用完，那么一共有（ ）种不同的购买方法？ A． 3种
考点： 不定方程的分析求解．
B． 6种 C． 9种
专题： 传统应用题专题．
分析： 设买x个大杯子，y个小杯子，30元钱正好用完，所以可得：3x+2y=30，由此求出这个方程有几
组整数解就有几种不同的购买方法．
解答： 解：设买x个大杯子，y个小杯子，由题意得，
3x+2y=30 整理得，y=
=15﹣x，因为x、y都是整数，x必须是偶数，
所以当x=0时，y=15；
.
当x=2时，y=12， 当x=4时，y=9， 当x=6时，y=6， 当x=8时，y=3， 当x=10时，y=0，
综上所述符合题意的x、y的整数解共有6组，所以共有6种不同的购买方法． 答：有6种不同的购买方法． 故选：B．
点评： 此题考查了利用不定方程的整数解，解决实际问题的灵活应用，这里要注意讨论x、y的取值范围． 12．（2分）有1元、2元、5元和10元人民币各1张，每次取2张，可以有（ ）种不同的取法． A． 4
考点： 筛选与枚举．
B． 6 C． 10 D．1 4
专题： 传统应用题专题．
分析： 将1元、2元、5元和10元人民币各1张任意取出2张一一列举出来即可． 解答： 解：每次取2张有：
1元、2元=； 1元、5元=； 1元、10元； 2元、5元； 2元、10元； 5元、10元． 共有6种． 故选：B．
.
点评： 解答此题的关键是根据题意，能利用所给的币值，找出组成的组合，一定不要重复和遗漏．
13．（2分）两人见面要握一次手，照这样规定，5人见面握（ ）次手． A． 15
考点： 握手问题．
B． 12 C． 10 D．8
专题： 传统应用题专题．
分析： 每一人要握4次手，五人共握4×5=20（次），但在上述计算中，每次握手都被计算了2次，实际
上握手次数再除以2．
解答： 解：5×4÷2，
=20÷2， =10（次）． 故选：C．
点评： 本题中总的握手次数并不是每个人握手次数的和，两两之间握手，总和就多算了一次，所以要再除
以2．
三、走进生活，解决问题（第5题12分，其余每题10分）．
14．（10分）用24块1米长的栅条围成一个长方形或正方形，有多少种不同的围法？它们的面积各是多少？围一围填在下表中． 长/米 宽/米 面积/平方米
考点： 长方形、正方形的面积．
专题： 平面图形的认识与计算．
.
分析： 因为长方形的周长=（长+宽）×2，所以围成的这个长方形或正方形的一条长与宽的和是24÷2=12
米，因为12=11+1=10+2=9+3=8+4=7+5=6+6，所以一共有6种不同的围法，据此再利用长方形或正方形的面积公式计算即可解答问题．
解答： 解：一条长与宽的和是24÷2=12（米）
因为12=11+1=10+2=9+3=8+4=7+5=6+6，
所以一共有6种不同的围法，并计算出它们的面积如下表所示： 长/米 宽/米
11 1
10 2 20
9 3 27
8 4 32
7 5 35
6 6 36
面积/平方米 11
答：一共有6种不同的围法，面积分别是11平方米、20平方米、27平方米、32平方米、35平方米、36平方米．
点评： 本题的关键是根据拼成后图形的周长不变，分情况讨论组成长方形的长和宽．
15．（10分）旅游团有28人到旅馆住宿，住3人间和2人间（每个房间不能有空床位），有多少种不同的安排？
考点： 不定方程的分析求解．
专题： 传统应用题专题．
分析： 设住x个3人间，y个2人间，因为每个房间不能空床，所以可得：3x+2y=28，由此求出这个方
程有几组整数解就有几种不同的安排方法．
解答： 解：设住x个3人间，y个2人间，根据题意可得方程：
3x+2y=28，方程可以变形为：y=
，
因为x、y都是整数，28﹣3x必须是偶数，根据偶数﹣偶数=偶数的性质可知：3x应是偶数，且3x≤28，
又因为奇数×偶数=偶数，所以x的值应是偶数，
.
所以当x=0时，y=14； 当x=2时，y=11， 当x=4时，y=8， 当x=6时，y=5， 当x=8时，y=2，
综上所述符合题意的x、y的整数解共有5组，所以共有5种不同的安排方法． 答：有5种不同的安排．
点评： 此题考查了利用不定方程的整数解，解决实际问题的灵活应用，这里要注意讨论x、y的取值范围． 16．（10分）自来水公司要铺设60米长的水管，现只有3米和5米的两种水管，为了不浪费，应该怎样用这些水管？（请把你想到的方案都写下来）
考点： 不定方程的分析求解．
专题： 不定方程问题．
分析： 根据题干，设3米的x根，5米的需要y根，则根据题意可得方程3x+5y=60，据此求出x、y的
整数解即可解到此类问题．
解答： 解：设3米的x根，5米的需要y根，则根据题意可得方程3x+5y=60，
方程可以变形为：y=
，
因为x、y都是整数，所以60﹣3x是5的倍数，则x是5的倍数， 当x=0时，y=12 当x=5时，y=9 当x=10时，y=4 当x=15时，y=3， 当x=20时，y=0， 答：一共有5种．
.
点评： 此题主要考查利用不定方程的整数解解答实际问题的灵活应用．
17．（10分）某比赛组委会把参赛队分成六个组，每个组有5个队，第一组有五个代表队，先进行小组循环赛，这个组总共要进行几场比赛？（先连线再回答）
考点： 握手问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 由于每个队都要和另外的4个队赛一场，一共要赛：5×4=20（场）；又因为两个队只赛一场，去
掉重复计算的情况，实际只赛：20÷2=10（场），据此解答．
解答： 解：
（5﹣1）×5÷2 =20÷2 =10（场）
答：5个队进行循环赛，需要比赛10场．
点评： 本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果队比较少可以用枚举法解答，
如果个队比较多可以用公式：比赛场数=n（n﹣1）÷2解答．
18．（12分）某小学组织五年级同学去参加科技活动，具体信息如下： 人员情况：学生186人，老师12人，家长52人 车辆情况：A型车 限乘20人 350元/辆 B型车 限乘50人 720元/辆
.
请你设计一下租车方案，并比较一下，看看怎样租车最合算． A 型车/辆 B 型车/辆 租金/元
考点： 最优化问题．
0 5
3 4
5 3
8 2
10 1 4220
3600 3930 3910 4240
专题： 优化问题．
分析： 因为B型车限乘50人每辆720元，A型车如果有50人，需3辆，需1050元，所以要想合算，
尽量用B型车．可以分五种情况讨论．
解答： 解：因为186+12+52=250，B型车限乘50人每辆720元，A型车如果有50人，需3辆，需
1050元，所以要想合算，尽量用B型车．
所以①A型车0辆，B型车五辆，租金为：5×720=3600； ②A型车3辆，B型车4辆，租金为：3×350+4×720=3930； ③A型车5辆，B型3辆，租金为：5×350+3×720=3910； ④A型车8辆，B型车2辆，租金为：8×350+2×720=4240； ⑤A型车10辆，B型车1辆，租金为：10×350+1×720=4220． 由以上可得：A型车0辆，B型车5辆租车最合算．
A型车/辆
B型车/辆 租金/元
0 5 3600
3 4 3930
5 3 3910
8 2 4240
10 1 4220
.
点评： 本题主要考查了最优化问题．因为B型车限乘50人每辆720元，A型车如果有50人，需3辆，
需1050元，所以要想合算，尽量用B型车．可以分五种情况讨论．
19．（10分）如下图，从A经过B到C有多少种不同的路线（A点不重复）？从A到C有多少种不同的路线（A点不重复）？
考点： 排列组合．
专题： 传统应用题专题．
分析： 从A经过B到C的路线：从A到B有3条路线，从B到C有2条路线，根据乘法原理，有2×3=6
条路线；从A到C的路线：从A经过B到C的路线，从A直接到C两条路线，从A经D到C一条，合并一起有6+2+1=9条路线；由此解决问题．
解答： 解：2×3=6（种）；
6+2+1=9（种）；
答：从A经过B到C有6种不同的路线，从A到C有9种不同的路线．
点评： 此题考查乘法原理与加法原理，注意做到不重不漏．
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