2020年北京市高考数学试卷

2020年北京市高考数学试卷

题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B=（ ）

A. {-1，0，1} B. {0，1} C. {-1，1，2} D. {1，2} 2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1，2），则i•z=（ ）

A. 1+2i B. -2+i C. 1-2i D. -2-i 3. 在（-2）5的展开式中，x2的系数为（ ）

A. -5 B. 5 C. -10 D. 10

4. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）

A. 6+ B. 6+2 C. 12+ D. 12+2

5. 已知半径为1的圆经过点（3，4），则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知函数f（x）=2x-x-1，则不等式f（x）＞0的解集是（ ）

A. （-1，1） B. （-∞，-1）∪（1，+∞） C. （0，1） D. （-∞，0）∪（1，+∞）

7. 设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作

PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（ ） A. 经过点O B. 经过点P C. 平行于直线OP D. 垂直于直线OP

a1=-9，a5=-1．2，8. 在等差数列{an}中，记Tn=a1a2…an（n=1，…），则数列{Tn}（ ）

A. 有最大项，有最小项

C. 无最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 D. 无最大项，无最小项

9. 已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α=kπ+（-1）kβ”是“sinα=sinβ”的（ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

10. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day）．历史上，求圆周率π的方法

有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔•卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）

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A. 3n（sin+tan） C. 3n（sin+tan）

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 11. 函数f（x）=

B. 6n（sin+tan） D. 6n（sin+tan）

+lnx的定义域是______．

12. 已知双曲线C：-=1，则C的右焦点的坐标为______；C的焦点到其渐近线的距

离是______．

13. 已知正方形ABCD的边长为2，点P满足=（+），则||=______；•=______． 14. 若函数f（x）=sin（x+φ）+cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为______． 15. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标

的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f（t），用-的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．

给出下列四个结论：

①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）

16. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BB1的中

点．

（Ⅰ）求证：BC1∥平面AD1E；

（Ⅱ）求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．

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17. 在△ABC中，a+b=11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

（Ⅰ）a的值；

（Ⅱ）sinC和△ABC的面积．

条件①：c=7，cosA=-； 条件②：cosA=，cosB=．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

18. 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案；方案一、方案二．为

了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表：

方案一 方案二 男生 支持 200人 350人 不支持 400人 250人 女生 支持 300人 150人 不支持 100人 250人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立． （Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；

（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；

（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0．假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1．试比较p0与p1的大小．（结论不要求证明）

19. 已知函数f（x）=12-x2．

（1）求曲线y=f（x）的斜率等于-2的切线方程；

（2）设曲线y=f（x）在点（t，f（t））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S （t），求S（t）的最小值．

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20. 已知椭圆C：+=1过点A（-2，-1），且a=2b．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

N，NA分别交直线x=-4（Ⅱ）过点B（-4，0）的直线l交椭圆C于点M，直线MA，于点P，Q．求

的值．

21. 已知{an}是无穷数列．给出两个性质：

①对于{an}中任意两项ai，aj（i＞j），在{an}中都存在一项am，使得=am； ②对于{an}中任意一项an（n≥3），在{an}中都存在两项ak，al（k＞l），使得an=． （Ⅰ）若an=n（n=1，2，…），判断数列{an}是否满足性质①，说明理由；

（Ⅱ）若an=2n-1（n=1，2，…），判断数列{an}是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

（Ⅲ）若{an}是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{an}为等比数列．

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】

根据交集的定义写出A∩B即可．

本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题目． 【解答】

解：集合A={-1，0，1，2}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B={1，2}， 故选：D． 2.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查复数的运算，结合复数的几何意义求出复数的表达式是解决本题的关键．比较基础．

根据复数的几何意义先求出z的表达式，结合复数的运算法则进行计算即可． 【解答】

解：∵复数z对应的点的坐标是（1，2）， ∴z=1+2i，

则i•z=i（1+2i）=-2+i， 故选：B． 3.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．

在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数． 【解答】 解：（令

-2）5的展开式中，通项公式为Tr+1=

•（-2）r•

，

=2，求得r=1，可得x2的系数为•（-2）=-10，

故选：C． 4.【答案】D

【解析】解：几何体的直观图如图：是三棱柱，底面边长与侧棱长都是2，

2×2+2×几何体的表面积为：3×

×2=12+2

．

故选：D．

画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．

本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，是基本知识的考查． 5.【答案】A

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【解析】解：如图示：

，

半径为1的圆经过点（3，4），可得该圆的圆心轨迹为（3，4）为圆心，1为半径的圆， 故当圆心到原点的距离的最小时，

连结OB，A在OB上且AB=1，此时距离最小， 由OB=5，得OA=4，

即圆心到原点的距离的最小值是4， 故选：A．

结合题意画出满足条件的图象，结合图象求出答案即可．

本题考查了圆的基础知识，考查数形结合思想，是一道常规题． 6.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查其它不等式的解法，函数的图象和性质，属于中档题．

不等式即2x＞x+1．由于函数y=2x和直线y=x+1的图象都经过点（0，1）、（1，2），数形结

合可得结论． 【解答】

解：不等式f（x）＞0，即2x＞x+1．

由于函数y=2x和直线y=x+1的图象都经过点（0，1）、

（1，2），如图所示：

不等式f（x）＞0的解集是（-∞，0）∪（1，+∞）， 故选：D． 7.【答案】B

【解析】解：不妨设抛物线的方程为y2=4x，则F（1，0），准线为l为x=-1， 不妨设P（1，2）， ∴Q（-1，2），

设准线为l与x轴交点为A，则A（-1，0），

可得四边形QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直， 故可得线段FQ的垂直平分线，经过点P， 故选：B．

本题属于选择题，不妨设抛物线的方程为y2=4x，不妨设P（1，2），可得可得四边形QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直可得答案．

本题考查了抛物线的性质和垂直平分线的性质，考查了转化思想，属于中档题．

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8.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查等差数列的通项公式，考查数列的函数特性，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．

由已知求出等差数列的通项公式，分析可知数列{an}是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值，进一步分析得答案． 【解答】

解：设等差数列{an}的首项为d，由a1=-9，a5=-1，得d=∴an=-9+2（n-1）=2n-11．

由an=2n-11=0，得n=，而n∈N*，

可知数列{an}是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值． 可知T1=-9＜0，T2=63＞0，T3=-315＜0，T4=945＞0为最大项， 自T5起均小于0，且逐渐减小． ∴数列{Tn}有最大项，无最小项． 故选：B． 9.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数值的性质，利用分类讨论思想进行判断是解决本题的关键．难度不大．

根据充分条件和必要条件的定义，分别讨论k为偶数和奇数时，是否成立即可． 【解答】

解：当k=2n，为偶数时，α=2nπ+β，此时sinα=sin（2nπ+β）=sinβ，

当k=2n+1，为奇数时，α=2nπ+π-β，此时sinα=sin（π-β）=sinβ，即充分性成立，

当sinα=sinβ，则α=2nπ+β，n∈Z或α=2nπ+π-β，n∈Z，即α=kπ+（-1）kβ，即必要性成立， 则“存在k∈Z使得α=kπ+（-1）kβ”是“sinα=sinβ”的充要条件， 故选：C． 10.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查数学中的文化，考查圆的内接和外切多边形的边长的求法，考查运算能力，属于基础题．

设内接正6n边形的边长为a，外切正6n边形的边长为b，运用圆的性质，结合直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求值． 【解答】

解：如图，设内接正6n边形的边长为a，外切正6n边形的边长为b， 可得a=2sinb=2tan则2π≈

=2sin，

+tan

），

，

，

=2tan

=6n（sin

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即π≈3n（sin故选：A．

+tan），

11.【答案】{x|x＞0}

【解析】【分析】

本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件建立不等式是解决本题的关键，属于基础题．

根据函数成立的条件建立不等式组，解不等式即可． 【解答】

解：要使函数有意义，则得

，

，

即x＞0，

即函数的定义域为{x|x＞0}， 故答案为：{x|x＞0}.

12.【答案】（3，0）

【解析】解：双曲线C：-=1，则c2=a2+b2=6+3=9，则c=3，则C的右焦点的坐标为（3，0），

其渐近线方程为y=±x，即x±y=0， 则点（3，0）到渐近线的距离d=

=

，

故答案为：（3，0），．

根据双曲线的方程可得焦点，再根据点到直线的距离可得．

本题考查了双曲线的方程和其性质，以及点到直线的距离公式，属于基础题． 13.【答案】 ； -1

【解析】【分析】

本题考查了向量的几何意义和向量的数量积的运算，属于基础题．

根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出． 【解答】

解：由=（+），可得P为BC的中点， 则|CP|=1， ∴|PD|=

=

，

2

∴•=•（+）=-•（+）=-故答案为：

，-1．

-•=-1，

14.【答案】（答案不唯一）

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【解析】【分析】

本题考查三角恒等变换，辅助角公式，三角函数最值，以及考查运算能力，属于中档题． 由两角和差公式，及辅助角公式化简得f（x）=cosθ=结合题意可得

【解答】

解：f（x）=sin（x+φ）+cosx =sinxcosφ+cosxsinφ+cosx =sinxcosφ+（1+sinφ）cosx =

其中cosθ=

所以f（x）最大值为所以cos2φ+（1+sinφ）2=4， 即2+2sinφ=4， 所以sinφ=1， 所以φ=+2kπ，k∈Z， 当k=0时，φ=．

故答案为：（答案不唯一）．

sin（x+θ）， ，sinθ=

=2，

，

，sinθ=

，

=2，解得φ，即可得出答案．

sin（x+θ），其中

15.【答案】①②③

【解析】解：设甲企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f（t），乙企业的污水排放量W与时间t的关系为W=g（t）．

对于①，在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力为乙企业的污水治理能力为-．

＞-， ，

由图可知，f（t1）-f（t2）＞g（t1）-g（t2），∴

即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；

对于②，由图可知，f（t）在t2时刻的切线的斜率小于g（t）在t2时刻的切线的斜率，但两切线斜率均为负值，

∴在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故②正确；

对于③，在t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量， ∴在t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标，故③正确；

对于④，由图可知，甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]的污水治理能力最强， 故④错误．

∴正确结论的序号是①②③． 故答案为：①②③．

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由两个企业污水排放量W与时间t的关系图象结合平均变化率与瞬时变化率逐一分析四个命题得答案．

本题考查利用数学解决实际生活问题，考查学生的读图视图能力，是中档题． 16.【答案】解：（Ⅰ）由正方体的性质可知，AB∥C1D1中，且AB=C1D1， ∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴BC1∥AD1，

又BC1⊄平面AD1E，AD1⊂平面AD1E，∴BC1∥平面AD1E．

（Ⅱ）以A为原点，AD、AB、AA1分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为a，则A（0，0，0），A1（0，0，a），D1（a，0，a），E（0，a，a）， ∴

，

，

，

设平面AD1E的法向量为，则，即，

令z=2，则x=-2，y=-1，∴=（-2，-1，2），

设直线AA1与平面AD1E所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，

故直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为．

【解析】（Ⅰ）根据正方体的性质可证得BC1∥AD1，再利用线面平行的判定定理即可得证；

（Ⅱ）以A为原点，AD、AB、AA1分别为x、y和z轴建立空间直角坐标系，设直线AA1与平面AD1E所成角为θ，先求出平面AD1E的法向量，再利用sinθ=|cos＜，

＞

|=以及空间向量数量积的坐标运算即可得解．

本题考查空间中线面的位置关系和线面夹角问题，熟练掌握线面平行的判定定理和利用空间向量求线面夹角是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题． 17.【答案】解：选择条件①（Ⅰ）由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，即a2-b2=49-14b×（-）=49+2b，

∴（a+b）（a-b）=49+2b， ∵a+b=11，

∴11a-11b=49+2b，

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即11a-9b=49， 联立

，解得a=8，b=3，

故a=8．

（Ⅱ）在△ABC中，sinA＞0， ∴sinA=

由正弦定理可得∴sinC=

=

=

， ==，

． ，

8×3×=6∴S△ABC=absinC=×

选择条件②（Ⅰ）在△ABC中，sinA＞0，sinB＞0，C=π-（A+B）， ∵cosA=，cosB=， ∴sinA=

由正弦定理可得∴=

=，

=

，sinB==

，

=

，

∵a+b=11，

∴a=6，b=5， 故a=6；

（Ⅱ）在△ABC中，C=π-（A+B）， ∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=6×5×=∴S△ABC=absinC=×

×+

×=，

【解析】选择条件①（Ⅰ）由余弦定理求出（a+b）（a-b）=49+2b，再结合a+b=11，即可求出a的值，

（Ⅱ）由正弦定理可得sinC，再根据三角形的面积公式即可求出， 选择条件②（Ⅰ）根据同角的三角函数的关系和正弦定理可得=

=，再结合a+b=11，

即可求出a的值，

（Ⅱ）由两角和的正弦公式求出sinC，再根据三角形的面积公式即可求出．

本题考查了同角的三角函数的关系，两角和的正弦公式，正余弦定理，三角形的面积公式等知识，考查了运算能力求解能力，转化月化归能力，属于中档题．

18.【答案】解：（Ⅰ）设“该校男生支持方案一”为事件A，“该校女生支持方案一”为事件B， 则

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

； ，

设“这3人中恰有2人支持方案一”为事件C，

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则；

（Ⅲ）P0＞P1．

【解析】（Ⅰ）根据古典概型的概率公式直接求解即可；

（Ⅱ）结合（Ⅰ）及相互独立事件同时发生的概率直接求解即可； （Ⅲ）直接写出结论即可．

本题考查古典概型及相互独立事件同时发生的概率求法，考查计算能力及推理能力，属于基础题．

=-2x， 19.【答案】解：（1）f（x）=12-x2的导数

令切点为（m，n），可得切线的斜率为-2m=-2， ∴m=1，∴n=12-1=11，

∴切线的方程为y=-2x+13；

（2）曲线y=f（x）在点（t，f（t））处的切线的斜率为k=-2t， 切线方程为y-（12-t2）=-2t（x-t），

令x=0，可得y=12+t2，令y=0，可得x=t+， ∴S（t）=•|t+|•（12+t2），

由S（-t）=S（t），可知S（t）为偶函数， 不妨设t＞0，则S（t）=（t+）（12+t2）， ∴

=（3t2+24-）=•

，

=0，得t=2， 由

当t＞2时，＞0，S（t）单调递增；当0＜t＜2时，＜0，S（t）单调递减， 则S（t）在t=2处取得极小值，且为最小值32， 所以S（t）的最小值为32．

【解析】本题考查导数的运用：求切线的方程和利用导数研究函数的单调性、极值和最值，考查方程思想和运算能力，属于较难题．

（1）求得f（x）=12-x2的导数，设切点为（m，n），可得切线的斜率，解方程可得m，n，进而得到切线的方程；

（2）求得切线的斜率和方程，分别令x=0，y=0，求得切线的横截距和纵截距，可得三角形的面积，考虑t＞0的情况，求得导数和单调区间、极值，然后求出S（t）的最小值．

（Ⅰ）椭圆C：+=120.【答案】解：

过点A（-2，-1），且a=2b， 则

，解得b2=2，a2=8，

∴椭圆方程为+=1，

（Ⅱ）由题意可得直线l的斜率存在，

设直线方程为y=k（x+4），

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由，

消y整理可得（1+4k2）x2+32k2x+64k2-8=0， ∴△=-32（4k2-1）＞0， 解得-＜k＜，

设M（x1，y1），N（x2，y2）， ∴x1+x2=-，x1x2=

，

（x+2），直线AN的方程为y+1=

（x+2），

则直线AM的方程为y+1=分别令x=-4， 可得yP=∴|PB|=|yP|=|∴

=|

-1=-

，yQ=-|，|QB|=|yQ|=||=|

|，

|

，

|=|

|=1，

∵（2k+1）x1x2+（4k+2）（x1+x2）+8（2k+1）=∴|

|=|

故

=1．

【解析】（Ⅰ）由题意可得，解得b2=2，a2=8，即可求出椭圆方程；

（Ⅱ）设直线方程为y=k（x+4），设M（x1，y1），N（x2，y2），可得直线AM的方程为y+1=yP=-（x+2），直线AN的方程为y+1=

，yQ=-（x+2），分别令x=-4，求出

，代入化简整理即可求出．

本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于难题．

21.【答案】解：（Ⅰ）不满足，理由：=∉N*，不存在一项am使得=am．

（Ⅱ）数列{an}同时满足性质①和性质②，

理由：对于任意的i和j，满足=22i-j-1，因为i∈N*，j∈N*且i＞j，所以2i-j∈N*，则必存在m=2i-j，此时，2m-1∈{ai}且满足=22i-j-1=am，性质①成立，

对于任意的n，欲满足an=2n-1==22k-l-1，满足n=2k-l即可，因为k∈N*，l∈N*，且k＞l， 所以2k-l可表示所有正整数，所以必有一组k，l使n=2k-l，即满足an=，性质②成立．

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（Ⅲ）首先，先证明数列恒正或恒负， 反证法：假设这个递增数列先负后正，

那么必有一项al绝对值最小或者有al与al+1同时取得绝对值最小， 如仅有一项al绝对值最小，此时必有一项am=，此时|am|＜|al| 与前提矛盾，

如有两项al与al+1 同时取得绝对值最小值，那么必有am=此时|am|＜|al|，与前提条件矛盾， 所以数列必然恒正或恒负，

在数列恒正的情况下，由②知，存在k，l使得=a3， 因为是递增数列，a3＞ak＞al，

即3＞k＞l，所以=a3，此时a1，a2，a3成等比数列， 数学归纳法：

（1）已证n=3时，满足{an}是等比数列，公比q=， （2）假设n=k时，也满足{ak}是等比数列，公比q=， 那么由①知反证法：

假设这一项不是ak+1，因为是递增数列，所以该项am=

=qak＞ak+1，

=qak等于数列的某一项am，证明这一项为ak+1即可，

，

那么ak＜ak+1＜qak，由等比数列{ak}得a1qk-1＜ak+1＜a1qk，

由性质②得a1qk-1＜＜a1qk，同时ak+1=＞am＞al，s所以k+1＞m＞l， 所以am，al分别是等比数列{ak}中两项，即am=a1qm-1，al=a1ql-1， 原式变为a1qk-1＜a1q2m-l-1＜a1qk，

所以l-1＜2m-l-1＜k，又因为k∈N*，m∈N*，l∈N*，不存在这组解，所以矛盾， 所以知

=qak=ak+1，前{ak+1}为等比数列，

由数学归纳法知，{an}是等比数列得证， 同理，数列恒负，{an}也是等比数列．

【解析】（Ⅰ）由=∉N*，即可知道不满足性质．

（Ⅱ）对于任意的i和j，满足=22i-j-1，⇒2i-j∈N*，必存在m=2i-j，可得满足性质①；对于任意的n，欲满足an=2n-1==22k-l-1，⇒n=2k-l即可，必存在有一组k，l使使得它成立，故满足性质②．

（Ⅲ）先用反证法证明数列必然恒正或恒负，再用数学归纳法证明{an}也是等比数列，即可．

本题属于新定义题，考查等比数列的性质，数学归法等，考查逻辑思维能力，属于难题．

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