江苏省常州市“教学研究合作联盟”2020—2021学年度高一年级第二学期阶段调研数学试题 含答案

高一年级 数学试题

2021年3月

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.sin15cos225cos15sin45的值为（ ） A.3311 B.  C. D. 22222.已知向量a(1,2)，b(0,2)，c(1,)，若a//(b2c)，则实数的值为（ ）

1A.3 B. 1 C. D. 3

31sin13.已知cos，且tan，则sin()的值为（ ）

cos31212A. B. C.  D.  33334.已知角的终边过点(2,1)，则tan(2)的值为（ ）

444A.7 B. C.  D. 7

335.在平行四边形ABCD中，AB(2,2)，AD(2,1)，则ACDB（ ） A.3 B.2 C.3 D.4

1sin6.定义运算若cos，adbc，

7coscdabsincos33，则（ ） 0，

214A.

 B. C. D. 123467.若函数f(x)2cos(2x)(0)在区间,内单调递减，则的最大值为（ ）

362A.

2334 B. C. D. 34238. 在边长为2的正方形ABCD中, 动点M和N分别在边BC和CD上, 且BMBC，

1

1DC，则AMBN的最小值为（ ） 214A.0 B. C. 2 D. 426

3DN二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.设a，b都是非零向量，则下列四个条件中，一定能使

ab0成立的是（ ） |a||b|A. a2b B. a2b C. ab D. ab

10.已知函数f(x)2cos2x3sin2x1(0)的最小正周期为，则下列说法正确的 是（ ）

A.函数yf(x)图象可以由函数g(x)2sin2x的图象向左平移

B.函数f(x)在0,上为增函数

6得到 6C.直线x3是函数yf(x)图象的一条对称轴

5D.点,0是函数yf(x)图象的一个对称中心

1211.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系。在如图所示的正五角星中，以P,Q,R,S,T为顶点的多边形为正五边形且

PT51,下列关系中正确的是（ ） AT2A.BPTS5151RS B. CQTPTS 225151DR D. ATBQCR 22C. ESAP11112.已知函数f(x)sinxsin(x)的定义域为[m,n](mn)，值域为[,]，则nm的

3424值可能是（ ）

2 B. C. D.

3642三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分。

A.

13.若平面向量a与b的夹角为120，a(3,4)，|b|=2，则|a+2b|= .

2

14.已知sin2sincos2cos20且0.

2，则

sincoscos2的值为

sin15.已知函数f(x)3sin2x2sin2x1，将函数f(x)图象上的点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，若g(x1)g(x2)16，则x1x2的最小值为 .

316.在四边形ABCD中，B60，AB3，BC6，ADBC,ADAB，则实数的

2值为 ，若M,N是线段BC上的动点，且|MN|2,则DMDN的最小值为 . 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10分）

已知A(2,4)，B(3,1)，C(3,4)，设ABa，BCb，CAc，且CM3c，CN2b. （1）求满足ambnc的实数m,n； （2）求M,N的坐标及向量MN的坐标.

18.（12分） 已知函数f(x)sin2x23sinxcosx1cos2x,x2R.

（1）求函数f(x)的单调减区间； （2）求函数f(x)的对称轴及对称中心.

19.（12分）

如图，在四边形ABCD中，BC//AD，BC1，AD3，ABC为等边三角形，E是CD的中点.设ABa，ADb. （1）用a，b表示AC，AE； （2）求AE与AB夹角的余弦值.

3

20.（12分）

如图，正方形ABCD边长为5，其中AEF是一个半径为4的扇形，在弧EF上有一个动点

Q，过Q作正方形边长BC，CD的垂线，分别交BC，CD于G，H，设EAQ，长方

形QGCH的面积为S.

（1）求S关于的函数解析式； （2）求S的最大值.

21.（12分）

函数fxcosx0,的部分图象如图所示.

2（1）求fx的最小正周期；

3（2）若,，f，求

5312

22.（12分）

f的值.

6已知O为坐标原点，对于函数fxasinxbcosx，称向量OMa,b为函数fx的伴随向量.

3x，试求gx的伴随向量OM； （1）设函数g(x)3sin(x)sin2（2）由（1）中函数gx的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移

2个单位长度得到hx的图象，已知A2,3，B2,6，问在yhx的图象上3是否存在一点P，使得APBP.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.

4

常州市“教学研究合作联盟” 2020—2021学年度第二学期阶段调研

高一数学参考答案及评分标准

一、单项选择题

1.C 2.D 3.C 4.D 5.C 6.B 7.D 8.D 二、多项选择题

9.AD 10.BD 11.AC 12.CD 三、填空题

13. 21 14. 四、解答题

17.（1）由题意得 a(5,5)，b(6,3)，c(1,8)

∴ 3ab3c(6,42) ………………2分 （2）∵ mbnc(6mn,3m8n)

11723 15. 4 16.

61046mn5m1 ∴ ，解得  ………………5分

3m8n5n1（3）设O为坐标原点，∵CMOMOC3c，

∴OM3cOC(3,24)(3,4)(0,20)， ∴M的坐标为(0,20)． ………………7分 又CNONOC2b，

∴ON2bOC(12,6)(3,4)(9,2)， ∴N的坐标为(9,2)， ………………9分 故MN(9,18)． ………………10分 另解得到向量MN的坐标，酌情给分

118.（1）f(x)2sin2x ………………3分

62由2k22x62k3，kZ 解得：k25

3xk5，k6Z,

5所以f(x)的单调减区间为k,k,kZ； ………………6分

36（2）由2x62k,kZ，解得x3k,kZ， 2k,kZ ………………9分 32k,kZ， 由2xk,kZ，解得x6122所以函数f(x)的对称轴为x所以函数f(x)的对称中心为k1,,kZ ………………12分 12221119.（1）由图可知ACABBCABADab. ………………2分

3311121因为E是CD的中点，所以AE(ACAD)abbab. ………………4分

22332（2）因为BC∥AD，ABC为等边三角形，所以BAD120，AB1，

31所以ab|a||b|cosBAD13， ………………6分

22212212311AEABabaaab1所以， ………………8分 323232222122421234131.……………10分 |AE|abaabb19343943292221AEAB213cos设AE与AB的夹角为，则，

13|AE||AB|1312所以在AE与AB夹角的余弦值为13. ………………12分 1320.（1）EAQ，则AQ在竖直方向上的投影的长度为4cos，在水平方向上的投影长

HQ54cos,QG54sin度为4sin，故，0,， 2S(54cos)(54sin)，0,，

2

6

S2520(cossin)16sincos，0,； ………………6分

2定义域遗漏或写错，扣2分

（2）令sincost，t1,2. ………………8分

591,2， S2520t8(t1)8t20t178t，t42222由二次函数的对称性得，当t1时，Smax820175. ………………10分

答：（1）S关于的函数解析式为S2520(cossin)16sincos，0,；

2（2）当t1时，S的最大值为5. ………………12分 21.（1）由fx的图象可得（2）由T3T53，即最小正周期为T………………2分 461242,0，可得2， ………………4分 ||所以fxcos2xφ，又由f()cos()1，

126可得2122k,kZ，又因为2，所以6，

所以fxcos(2x)， ………………6分

635,， 由fcos2，因为,，可得2356633124sin2所以， ………………8分 65则fcos2sin2sin2

6266343sin2coscos2sin. ………………12分

6666103x3sin(x) 22.（1）∵g(x)sin2∴g(x)cosx3sinx3sinxcosx ………………1分

7

∴gx的伴随向量OM(3,1) ………………2分

g(x)3sinxcosx2sinx（2）由（1）知：

6将函数gx的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，得到函数

12y2sinx，再把整个图象向右平移个单位长得到hx的图象，

32612h(x)2sinx32112sinx2cosx ………………4分 22621设Px,2cosx，∵A(2,3),B(2,6)

211APx2,2cosx3BPx2,2cosx6 ………………5分 ∴，22又∵APBP，

11∴APBP0 ∴(x2)(x2)2cosx32cosx60， ………………6分

2222∴ x44cos11x18cosx180 2219252∴2cosxx（*） ………………8分

224211319522cosx22cosx∵， ∴

222222519169∴2cosx ………………10分 42242252252522519又∵x ∴当且仅当x0时，2cosx和x同时等于，

4444222这时（*）式成立

∴在yhx的图像上存在点P0,2，使得APBP. ………………12分

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