三角函数定义及其三角函数公式大全

三角函数定义及其三角函数公式汇总

1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 a2b2c2 2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： 定 义 表达式 取值范围 关 系 A的对边正0sinA1 a sinA sinAc弦 (∠A为锐角) 斜边A的邻边余0cosA1 b cosA cosAc弦 (∠A为锐角) 斜边A的对边正tanA0 a tanA tanAb切 (∠A为锐角) A的邻边A的邻边余cotA0 b cotA cotAa切 (∠A为锐角) A的对边sinAcosB cosAsinB sin2Acos2A1 tanAcotB cotAtanB 1(倒数) tanAcotA tanAcotA1 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

B 由AB90得B90A sinAcosBcosAsinBC 邻边 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切

sinAcos(90A)cosAsin(90A)斜边 c 对a 边 A b 值

由AB90 得B90Asin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

6、正弦、余弦的增减性：

当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。 7、正切、余切的增减性：

当0°<<90°时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。

1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。依据：

222①边的关系：abc；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注

意：尽量避免使用中间数据和除法)

2、应用举例：

(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

铅垂线仰角俯角视线水平线h

ih:llα视线

(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即i一般写成1:m的形式，如i1:5等。

把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么ih。坡度lhtan。 l3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

三角函数公式汇总

nπRnR2112

⒈L弧长=R= S扇=LR=R=

18036022⒉正弦定理：

1

bca=== 2R（R为三角形外接圆半径） sinAsinBsinC2⒊余弦定理：a

2=b

22+c

22-2bccosA b

2=a

2+c

2-2accosB

b2c2a2c=a+b-2abcosC cosA

2bc⒋S⊿=aha=absinC=bcsinA=acsinB=

12121212abc=2R2sinAsinBsinC 4R

a2sinBsinCb2sinAsinCc2sinAsinB====pr=p(pa)(pb)(pc)

2sinB2sinC2sinA(其中p(abc), r为三角形内切圆半径) ⒌同角关系： ⑴商的关系：①tg==

yxxcossincoscsc =sinsec ②ctgysincos12③sinsecr1tgcsc xcosycostgr ④

⑤

csccosxsinctgr ⑥

r1ctgsec ysin⑵倒数关系：sincsccossectgctg1 ⑶平方关系：sin2cos2sec2tg2csc2ctg21

⑷asinbcosa2b2sin() （其中辅助角与点（a,b）在同一象限，且tg）

⒍函数y=Asin(x)k的图象及性质：（0,A0） 振幅A，周期T=

2ba, 频率f=, 相位x，初相

23,2 求出x与y， 依点21T⒎五点作图法：令x依次为0,,x,y作图

⒏诱导公试 - - sin cos tg ctg -sin +cos -tg -ctg +sin -cos -tg -ctg

+ -sin -cos +tg +ctg 三角函数值等于的同名三-sin +cos -tg -ctg 角函数值，前面加上一个把

2- 2k+ +sin +cos +tg +ctg 看作锐角时，原三角函数

值的符号；即：函数名不变，

符号看象限 2  sin con tg ctg 三角函数值等于的异名

前面加上一个+cos +sin +ctg +tg 三角函数值，

+cos -sin -ctg -tg 把看作锐角时，原三角函-cos -sin +ctg +tg 数值的符号;即：函数名改-cos +sin -ctg -tg 变，符号看象限

23 23 2⒐和差角公式

①sin()sincoscossin ②cos()coscossinsin ③tg()tgtg ④tgtgtg()(1tgtg)

1tgtgtgtgtgtgtgtg 其中当A+B+C=π时,有:

1tgtgtgtgtgtg⑤tg()i).tgAtgBtgCtgAtgBtgC ii).tgtg⒑二倍角公式：(含万能公式) ①sin22sincos22A2BACBCtgtgtgtg1 222222tg 1tg2221tg2②cos2cossin2cos112sin

1tg2

tg21cos22tg1cos222sin③tg2 ④ ⑤cos1tg221tg22

⒒三倍角公式：

①sin33sin4sin34sinsin(60)sin(60) ②cos33cos4cos34coscos(60)cos(60)

3tgtg3tgtg(60)tg(60) ③tg3213tg⒓半角公式：（符号的选择由所在的象限确定） ①sin221cos1cos1cos ②sin2 ③cos

222221cos ⑤1cos2sin2 ⑥1cos2cos2 222④cos22⑦1sin(cossin)2cossin2222

⑧tg21cossin1cos

1cos1cossin⒔积化和差公式：

sincos11sin()sin()cossinsin()sin()2211coscoscos()cos() sinsincos()cos

22⒕和差化积公式： ①sinsin2sin2222cossin③coscos2cos ④coscos2sin 2222cos ②sinsin2cossin

⒖反三角函数： 名称 函数式 定义域 值域 22性质 反正弦函yarcsinx 1,1增 , arcsin(-x)-arcsinx 奇 数 反余弦函数 反正切函数 反余切函数 ⒗最简单的三角方程

方程 sinxa yarcctgx yarccosx1,1减 0, arccos(x)arccosx yarctgx arctg(-x)  -arctgx 奇 R 增 , 22R 减 0, arcctg(x)arcctgx 方程的解集 a1 a1 a1 x|x2karcsina,kZ cosxa x|xk1karcsina,kZ x|x2karccosa,kZ x|x2karccosa,kZ x|xkarctga,kZ x|xkarcctga,kZ tgxa ctgxa a1

三角公式汇总2

一、任意角的三角函数

在角的终边上任取一点P(x,y)，记：r．．正弦：sin正切：tan正割：secyx 余弦：cos rrxy 余切：cot

yxx2y2，

r x余割：cscr y注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线。 ．．

二、同角三角函数的基本关系式

倒数关系：sincsc1，cossec1，tancot1。 商数关系：tansincos，cot。 cossin平方关系：sin2cos21，1tan2sec2，1cot2csc2。

三、诱导公式

⑴2k(kZ)、、、、2的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不．．变，符号看象限）

⑵

2、

2、

33、的三角函数值，等于的异名函数值，22前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象．．限）

四、和角公式和差角公式

sin()sincoscossin sin()sincoscossin cos()coscossinsin cos()coscossinsin

tan()tan()tantan

1tantantantan

1tantan五、二倍角公式

sin22sincos

cos2cos2sin22cos2112sin2…()

tan22tan 21tan二倍角的余弦公式()有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）

1cos22cos2 1cos22sin2 1sin2(sincos)2 1sin2(sincos)2

cos21cos21cos2sin21sin2，sin2，tan。 2sin21cos22六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）

1tan22tan2tancos2，，。 sin2tan21tan21tan21tan2万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切来表示。 ．．

七、和差化积公式

sinsin2sin2cossin222 …⑴ …⑵ …⑶ …⑷

sinsin2cos2coscos2cos22cos2coscos2sinsin了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：

sinsinsincoscossin 222222sinsincoscossin sin222222

两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。

coscoscossinsin cos222222coscoscossinsin cos222222两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷。

八、积化和差公式

sincoscossincoscos1sin()sin() 21sin()sin() 21cos()cos() 2sinsin1cos()cos() 2我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。

九、辅助角公式

asinxbcosxa2b2sin(x)（）

其中：角的终边所在的象限与点(a,b)所在的象限相同，

sinba2b2，cosaa2b2，tanb。 a十、正弦定理

abc2R（R为ABC外接圆半径） sinAsinBsinC十一、余弦定理

a2b2c22bccosA b2a2c22accosB

c2a2b22abcosC

十二、三角形的面积公式 SABC底高

12

SABCabsinCbcsinAcasinB（两边一夹角）

SABCabc（R为ABC外接圆半径） 4R121212 SABCabcr（r为ABC内切圆半径） 2abc） SABCp(pa)(pb)(pc)…海仑公式（其中py sincos sincos o x

Asin(xy0 2,2)cosy 2sincos0 sincos0

o x

sincos0 A(2,2)xy0