(教师用书独具)
一、集合的概念与表示方法 1．集合的定义
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，由这些对象的全体构成集合．构成集合的每个对象叫这个集合的元素．
2．元素与集合的关系是属于或不属于．
3．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． 4．集合的表示方法：列举法、描述法、维恩图法． 二、集合之间的关系与运算
1．集合之间的关系：子集、真子集、集合相等． 2．集合之间的运算关系：交集、并集和补集． 3．补集间的运算关系 ∁U(A∩B)＝∁UA∪∁UB ∁U(A∪B)＝∁UA∩∁UB
4．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
5．若A∩B＝A，则A⊆B，若A∪B＝B，则A⊆B.特别要注意集合A是空集这一特殊情形．
三、函数的概念与表示 1．函数的定义
设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中x叫自变量．
2．函数三要素：定义域、值域和对应法则． 3．函数的表示方法：列表法、图象法、解析法． 4．分段函数
(1)定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数．
(2)分段函数的特征
①分段函数在各段上变量的取值范围不可以有公共部分． ②分段函数的值域是各段上函数值域的并集．
③分段函数表示的是一个函数，只是当定义域在不同范围内取值时对应法则不同．
④分段函数的图象由几部分构成，可以是光滑的曲线，也可以是一些孤立的点、线段、射线等．
四、函数的单调性与奇偶性 1．增函数与减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数f(x)在区间M上是增函数；当Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数f(x)在区间M上是减函数．
2．单调性的两个特性．
(1)“整体”性：单调函数在同一个单调区间上具有的性质是相同的； (2)“局部”性：指的是一个函数在定义域不同区间内单调性可以不同；即1使相同，单调区间与定义域也不一定相同，如函数f(x)＝x，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
3．函数单调区间的表示
(1)若函数的单调增(或减)区间有多个，区间之间不能用“∪”来表示，而应用“和”或“，”连接；
(2)写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但是如果函数在端点处无意义，单调区间只能用开区间表示．
4．函数的奇偶性
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，若f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数；若f(－x)＝f(x)，则这个函数叫做偶函数．
5．奇函数、偶函数的图象特征
(1)奇函数⇔图象是以原点为对称中心的中心对称图形． (2)偶函数⇔图象是以y轴为对称轴的轴对称图形．
6．函数奇偶性与单调性的关系
奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.
7．求一次函数、二次函数的解析式常用待定系数法． 8．二次函数解析式的三种形式． 一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)((h，k)为顶点坐标)，
交点式(两根式)：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是其与x轴交点的横坐标．
五、函数与方程 1．函数的零点
如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．
2．函数零点概念的理解．
(1)函数的零点是一个实数，是函数的图象与x轴交点的横坐标，不是一个点；
(2)函数不一定有零点，如果函数图象与x轴无交点，则该函数就没有零点，1
如y＝x就没有零点．
3．零点存在的判定方法
(1)条件：①函数y＝f(x)在[a，b]上的图象不间断． ②f(a)·f(b)<0.
(2)结论：y＝f(x)在[a，b]上至少有一个零点，即存在x0∈(a，b)使f(x0)＝0. 4．函数的零点的分类：变号零点与不变号零点． 5．求函数零点近似解的一种计算方法是二分法． 六、基本初等函数
1．有理指数幂、对数的运算法则
(1)有理指数幂的运算法则(a>0，b>0，m，n∈Q) ①aa＝a
mn
m＋n
amm－n
，②(a)＝a，③(ab)＝ab.④an＝a，
mn
mn
m
mm
n
1－m1⑤a＝n＝.
mnama(2)对数的运算法则(a>0且a≠1，M>0，N>0) ①logaM＋logaN＝loga(MN)． M②logaM－logaN＝logaN. ③logaMn＝nlogaM.
2．换底公式与对数恒等式(a>0且a≠1，b>0且b≠1) logaN1(1)logbN＝logb；(2)logab＝loga；
abn
(3)logambn＝mlogab；(4)alogaN＝N. 3．指数函数的概念与性质
形如y＝ax(a>0且a≠1)的函数叫指数函数，定义域是R，值域是(0，＋∞)，a>1时是增函数，0 形如y＝logax(a>0且a≠1)的函数叫对数函数，定义域是(0，＋∞)，值域是R，a>1时是增函数，0 (1)关系：指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数． (2)图象特征：指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象关于直线y＝x对称． 6．幂函数的概念及图象特征 (1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中α为常数． (2)幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征： α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立． 1．设集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是9个． ( ) × x的可能取值为0,1,2，y的可能取值也为0,1,2，所以x－y的值为－2，－1,0,1,2，故集合B中元素个数为5个． 2．集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合． ( ) √ 集合A为描述法表示集合，集合B为列举法表示集合，它们表示相同的集合． 3．任何一个集合都有子集． √ 任何集合都是它本身的子集． 4．A∪B表示由集合A和集合B中元素共同组成． ( ) ( ) × A∪B可以看作是由集合A和B的元素合并在一起(重复元素只出现一次)而构成的集合． 5．全集一定包含任何元素． ( ) × 全集并不是一个含有所有元素的集合，仅包含所研究问题涉及的所有元素． 6．区间表示数集，数集一定能用区间表示． ( ) × 区间表示数集，但数集不一定能用区间表示，例如有理数集Q就不能用区间表示． 7．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应． ( ) × 函数y＝x2中，对值域中取一个数y＝1，则定义域中可以有x＝±1两个数和它对应． 8．函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示． √ 函数f(x)＝2x＋1的定义域为R，所以不能用列表法表示． 9．分段函数由几个函数构成． ( ) ( ) × 分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数． 10．所有的函数在其定义域上都具有单调性． ( ) × 例如常数函数y＝1，它表示一条水平直线，所以没有单调性． 11．偶函数的图象一定与y轴相交． ( ) 1 × 举反例，y＝x2为偶函数，但x≠0，所以偶函数的图象不一定与y轴相交． 12．一次函数都具有单调性． ( ) √ 形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫一次函数，k>0时，它是增函数，k<0时，它是减函数． 1 13．函数y＝x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ( ) 1 × 函数y＝x的单调递减区间应是(－∞，0)，(0，＋∞)，不能写成(－∞，0)∪(0，＋∞)． 14．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为b<3.( ) × 函数f(x)＝x2－2bx＋2的图象是开口朝上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线， 若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b≤3. 15．二次函数的特征是未知数的最高次数为2，且二次项系数不能为0.( ) √ 16．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.( ) × 例如f(x)＝x2－1在(－2,2)上有零点，但f(－2)·f(2)>0.故错误． 17．所有函数的零点都可以用二分法来求． × 只有函数的变号零点才可用二分法求解． n 18.an＝a.( ) n × 当n为偶数，a<0时，an＝－a. mm 19．分数指数幂an可以理解为n个a相乘． × 由分数指数幂的意义知这种说法错误． 20．指数函数y＝ax中，a可以为负数． × 在指数函数y＝ax中，底数a的范围是a>0且a≠1. 21．当a>1时，对于任意x∈R，总有ax>1.( ) × 当x≤0时，ax≤1. 22．函数f(x)＝2－x在R上是增函数． x ( ) ( ) ( ) ( ) 1× 因为f(x)＝2－x＝2，所以函数f(x)＝2－x在R上是减函数． 23．对数的运算实质是求幂指数． √ 由对数的定义可知正确． 24．任何一个指数式都可化为对数式． ( ) ( ) × 只有满足底数大于0且不等于1的指数式才能化为对数式，如(－2)4＝16就不能化为对数式，故错． 25．由换底公式可得logab＝ log－2b .( ) log－2a logcb × 换底公式logab＝loga中底数c>0且c≠1. c 26．y＝log2x2与logx3都不是对数函数． √ 形如y＝logax(a>0且a≠1，x>0)的函数称为对数函数． 27．函数y＝loga(x－3)＋2(a>0，a≠1)恒过定点(4,2)． √ 当x－3＝1即x＝4时，y＝2. 所以函数y＝loga(x－3)＋2(a>0，a≠1)恒过定点(4,2)． 28．对任意函数都有反函数． ( ) ( ) ( ) × 例如y＝x2(x∈R)不存在反函数，在定义域上单调的函数才有反函数． 29．函数y＝x0(x≠0)是幂函数． √ 30．当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax × 当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xn>logax成立，并不是对任意的x都成立． 1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0,2} C．{0} A [由题意知A∩B＝{0,2}．] 2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁RA＝( ) A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2} B．{1,2} D．{－2，－1,0,1,2} C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2} B [法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B. 法二：因为A＝{x|x2－x－2＞0}，所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.] 3．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0} C．{1,2} B．{1} D．{0,1,2} C [由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1,2}．] 4．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( ) A．9 C．5 B．8 D．4 A [由x2＋y2≤3知，－3≤x≤3，－3≤y≤3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的个数为9，故选A.] －x 2，x≤0， 5．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1) 取值范围是( ) A．(－∞，－1] C．(－1,0) B．(0，＋∞) D．(－∞，0) D [当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数，则f(x)≥f(0)＝1.作出f(x)的大致图象如图所示， 结合图象可知，要使 x＋1<0， f(x＋1) x<0，故选D.] 6．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( ) A．－50 C．2 B．0 D．50 C [∵f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0.∵f(1－x)＝f(1＋x)， ∴f(x)＝f(2－x)，f(－x)＝f(2＋x)， ∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)， ∴f(x)是周期函数，且一个周期为4，∴f(4)＝f(0)＝0，f(2)＝f(1＋1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝－f(1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2，故选C.] 7．(2018·全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则( ) A．a＋b＜ab＜0 C．a＋b＜0＜ab B．ab＜a＋b＜0 D．ab＜0＜a＋b 1111B [由a＝log0.20.3得＝log0.30.2，由b＝log20.3得＝log0.32，所以＋＝ababa＋b11 log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，所以0＜a＋b＜1，得0＜ab＜1.又a＞0，b＜0，所以ab＜0，所以ab＜a＋b＜0.] 8．(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为( ) 135 D [当x＝0时，y＝2，排除A，B.当x＝2时，y＝16＞2，所以排除C，故选D.] 9．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( ) A．y＝ln(1－x) C．y＝ln(1＋x) B．y＝ln(2－x) D．y＝ln(2＋x) B [设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x)．故选B.] x e，x≤0， 10．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x) ln x，x＞0， 存在2个零点，则a的取值范围是( ) A．[－1,0) C．[－1，＋∞) B．[0，＋∞) D．[1，＋∞) C [函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示， 由图可知，－a≤1，解得a≥－1， 故选C.] 11．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)． 若f(3)＝1，则a＝________. －7 [由f(3)＝1得log2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.] 12．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(1＋x2－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________. －2 [由f(a)＝ln(1＋a2－a)＋1＝4，得ln(1＋a2－a)＝3，所以f(－a)＝ln(1＋a2＋a)＋1＝－ln 1 ＋1＝－ln(1＋a2－a)＋1＝－3＋1＝－2.] 21＋a＋a 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容