遂川县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

遂川县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知直线mx﹣y+1=0交抛物线y=x2于A、B两点，则△AOB（ ） A．为直角三角形

B．为锐角三角形

C．为钝角三角形 D．前三种形状都有可能

2． 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，个数为（ ） A．0

B．1

C．2

D．以上都不对

3． 给出下列函数： ①f（x）=xsinx； ②f（x）=ex+x； ③f（x）=ln（∃a＞0，使A．①②

﹣x）；

f（x）dx=0的函数是（ ） B．①③

C．②③

D．①②③

D．（﹣∞，﹣2）

，A=60°，则满足条件的三角形

4． 已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（ ） A．（1，+∞）

B．（2，+∞）

C．（﹣∞，﹣1）

5． 已知函数f(x)2sin(x)(0小距离为

2)与y轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最

，则使f(xt)f(xt)0成立的t的最小值为（ ）1111] 22A． B． C． D．

36326． 已知i为虚数单位，则复数

所对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7． 下列图象中，不能作为函数y=f（x）的图象的是（ ）

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A． B．C．

D．

x4y30,8． 已知，y满足不等式3x5y250,则目标函数z2xy的最大值为（ ）

x1,A．3 B．9． 函数

A．最小正周期为2π的奇函数 C．最小正周期为2π的偶函数

10．双曲线A．

B．2

C．

13 C．12 D．15 2是（ ）

B．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数

=1（m∈Z）的离心率为（ ） D．3

11．棱长为2的正方体的8个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10

12．某几何体三视图如下图所示，则该几何体的体积是（ ）

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A．1+

B．1+ C．1+ D．1+π

二、填空题

13．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一城市；

由此可判断乙去过的城市为 ．

14．在△ABC中，已知

=2，b=2a，那么cosB的值是 ．

15．函数y=ax+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点 （填点的坐标）

16．设

,则

的最小值为 。 17．运行如图所示的程序框图后，输出的结果是

18．从等边三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC=3+的最小值为 ．

，则这两个正方形的面积之和

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三、解答题

19．已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0 （1）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围． （2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

20．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+y2=4，A（PA为直径的圆与圆C相切．

（Ⅰ）求证：|PA1|+|PA|为定值，并求出点P的轨迹方程C1；

（Ⅱ）若直线PA与曲线C1的另一交点为Q，求△POQ面积的最大值．

21．已知椭圆E：

=1（a＞b＞0）的焦距为2

，且该椭圆经过点

．

，0），A1（﹣

，0），点P为平面内一动点，以

（Ⅰ）求椭圆E的方程； MN与y轴垂直时，求k1k2的值．

（Ⅱ）经过点P（﹣2，0）分别作斜率为k1，k2的两条直线，两直线分别与椭圆E交于M，N两点，当直线

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22．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为（1）求tan（α+β）的值； （2）求2α+β的值．

，

．

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)|2x1|．

（1）若不等式f(x)2m1(m0)的解集为,2（2）若不等式f(x)2y122,，求实数m的值；

a|2x3|，对任意的实数x,yR恒成立，求实数a的最小值． 2y

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24．（本小题满分12分）已知f(x)2x（Ⅰ）当a3时，求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）设g(x)f(x)x2alnx，且g(x)有两个极值点，其中x1[0,1]，求g(x1)g(x2)的最小值． 【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识，意在考查转化与化归思想和综合分析问题、解决问题的能力．

1alnx(aR)． x第 6 页，共 17 页

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遂川县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】A

22

【解析】解：设A（x1，x1），B（x2，x2），

将直线与抛物线方程联立得

2

消去y得：x﹣mx﹣1=0，

，

根据韦达定理得：x1x2=﹣1， 由得到则

⊥

=（x1，x12），

，

=（x2，x22），

=x1x2+（x1x2）2=﹣1+1=0，

∴△AOB为直角三角形． 故选A

【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有韦达定理，平面向量的数量积运算，以及两向量垂直时满足的条件，曲线与直线的交点问题，常常联立曲线与直线的方程，消去一个变量得到关于另外一个变量的一元二次方程，利用韦达定理来解决问题，本题证明垂直的方法为：根据平面向量的数量积为0，两向量互相垂直．

2． 【答案】B 【解析】解：∵a=3，∴由正弦定理可得：sinB=∴B=90°，

即满足条件的三角形个数为1个． 故选：B．

【点评】本题主要考查三角形个数的判断，利用正弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于基础题．

3． 【答案】B

【解析】解：对于①，f（x）=xsinx， ∵（sinx﹣xcosx）′=xsinx， ∴

xsinxdx=（sinx﹣xcosx）

=2sina﹣2acosa，

令2sina﹣2acosa=0，

，A=60°，

=

=1，

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∴sina=acosa， 又cosa≠0，∴tana=a；

画出函数y=tanx与y=x的部分图象，如图所示； 在（0，

）内，两函数的图象有交点，

f（x）dx=0成立，①满足条件；

xx2（e+x）dx=（e+x）

即存在a＞0，使

x

对于②，f（x）=e+x，

a

a

=ea﹣e﹣a；

令e﹣e﹣=0，解得a=0，不满足条件； 对于③，f（x）=ln（

﹣x）是定义域R上的奇函数，

且积分的上下限互为相反数， 所以定积分值为0，满足条件； 综上，∃a＞0，使故选：B．

【点评】本题主要考查了定积分运算性质的应用问题，当被积函数为奇函数且积分区间对称时，积分值为0，是综合性题目．

4． 【答案】D

32

【解析】解：∵f（x）=ax﹣3x+1，

2

∴f′（x）=3ax﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；

f（x）dx=0的函数是①③．

①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；

②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立； ③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；

32

故f（x）=ax﹣3x+1在（﹣∞，0）上没有零点；

32

而当x=时，f（x）=ax﹣3x+1在（﹣∞，0）上取得最小值；

故f（）=﹣3•+1＞0；

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故a＜﹣2； 综上所述，

实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）； 故选：D．

5． 【答案】A 【解析】

考

点：三角函数的图象性质． 6． 【答案】A 【解析】解：故选：A．

7． 【答案】B

=

=1+i，其对应的点为（1，1），

【解析】解：根据函数的定义可知，对应定义域内的任意变量x只能有唯一的y与x对应，选项B中，当x＞0时，有两个不同的y和x对应，所以不满足y值的唯一性． 所以B不能作为函数图象． 故选B．

【点评】本题主要考查函数图象的识别，利用函数的定义是解决本题的关键，注意函数的三个条件：非空数集，定义域内x的任意性，x对应y值的唯一性．

8． 【答案】C

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考点：线性规划问题．

【易错点睛】线性规划求解中注意的事项：（1）线性规划问题中，正确画出不等式组表示的平面区域是解题的基础．（2）目标函数的意义，有的可以用直线在y轴上的截距来表示，还有的可以用两点连线的斜率、两点间的距离或点到直线的距离来表示．（3）线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界上取得，特别地对最优整数解可视情况而定． 9． 【答案】B 【解析】解：因为==cos（2x+

）=﹣sin2x．

=π．

所以函数的周期为：故选B．

因为f（﹣x）=﹣sin（﹣2x）=sin2x=﹣f（x），所以函数是奇函数．

【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数的基本性质，考查计算能力．

10．【答案】B

2

【解析】解：由题意，m﹣4＜0且m≠0，∵m∈Z，∴m=1 22

∵双曲线的方程是y﹣x=1 22

∴a=1，b=3， 222∴c=a+b=4

∴a=1，c=2， ∴离心率为e==2． 故选：B．

【点评】本题的考点是双曲线的简单性质，考查由双曲线的方程求三参数，考查双曲线中三参数的关系：c2=a2+b2．

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11．【答案】B 【解析】

考

点：球与几何体 12．【答案】A

【解析】解：由三视图知几何体的下部是正方体，上部是圆锥，且圆锥的高为4，底面半径为1； 正方体的边长为1， ∴几何体的体积V=V正方体+故选：A．

【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及图中数据所对应的几何量．

=13+××π×12×1=1+

．

二、填空题

13．【答案】 A ．

【解析】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市， 再由丙说：我们三人去过同一城市， 则由此可判断乙去过的城市为A． 故答案为：A．

但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，

【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．

14．【答案】

【解析】解：∵b=2a， ∴

=

=．

=2，由正弦定理可得：

，即c=2a．

．

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∴cosB=． 故答案为：．

【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

15．【答案】 （0，2）

0

【解析】解：令x=0，得y=a+1=2

x

∴函数y=a+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点 （0，2）

故答案为：（0，2）． 函数的图象必过的定点

16．【答案】9

【解析】由柯西不等式可知17．【答案】 0

【点评】本题考查指数函数的单调性与特殊点，解题的关键是熟练掌握指数函数的性质，确定指数为0时，求

【解析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin由于sin所以S=sin

周期为8， +sin

+…+sin

=0．

+sin+…+sin的值，

故答案为：0．

【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了正弦函数的周期性和特殊角的三角函数值的应用，属于基本知识的考查．

18．【答案】

【解析】解：设大小正方形的边长分别为x，y，（x，y＞0）． 则

+x+y+

=3+

， ．

化为：x+y=3．

22则x+y

=，当且仅当x=y=时取等号．

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∴这两个正方形的面积之和的最小值为． 故答案为：．

三、解答题

19．【答案】 【解析】解：p：∴（1）若a=，则q：∵p∧q为真，∴p，q都为真；

；

，q：a≤x≤a+1；

；

∴，∴

∴实数x的取值范围为；

（2）若p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p； ∴

，∴

；

．

∴实数a的取值范围为

【点评】考查解一元二次不等式，p∧q真假和p，q真假的关系，以及充分不必要条件的概念．

20．【答案】

【解析】（Ⅰ）证明：设点P（x，y），记线段PA的中点为M，则 两圆的圆心距d=|OM|=|PA1|=R﹣|PA|， 所以，|PA1|+|PA|=4＞2

，

故点P的轨迹是以A，A1为焦点，以4为长轴的椭圆， 所以，点P的轨迹方程C1为：

=1． …

，…

（Ⅱ）解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为：x=my+代入则y1+y2=﹣

=1消去x，整理得：（m2+4）y2+2

，y1y2=﹣

，…

my﹣1=0，

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△POQ面积S=|OA||y1﹣y2|=2令t=

（0

，则S=2

…

≤1（当且仅当t=时取等号）

所以，△POQ面积的最大值1． …

21．【答案】 【解析】解：（Ⅰ）由题意得，2c=2

22

解得，a=4，b=1；

，

=1；

+y2=1；

故椭圆E的方程为

（Ⅱ）由题意知，当k1=0时，M点的纵坐标为0， 直线MN与y轴垂直， 则点N的纵坐标为0， 故k2=k1=0，这与k2≠k1矛盾． 当k1≠0时，直线PM：y=k1（x+2）； 由

得，

（+4）y2﹣=0； ；

解得，yM=

∴M（，），

同理N（，），

=

；

由直线MN与y轴垂直，则∴（k2﹣k1）（4k2k1﹣1）=0， ∴k2k1=．

【点评】本题考查了椭圆方程的求法及椭圆与直线的位置关系的判断与应用，属于中档题．

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22．【答案】

【解析】解：（1）由已知得：．∵α，β为锐角，∴ ．

∴．∴．

（2）∵

∵α，β为锐角，∴∴

23．【答案】

．

，

，∴ ．

【解析】【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．

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24．【答案】

【解析】（Ⅰ）f(x)的定义域(0,)，

132x23x11'当a3时，f(x)2x3lnx，f(x)22 2xxxx11''令f(x)0得，0x或x1；令f(x)0得，x1，

221故f(x)的递增区间是(0,)和(1,)；

21f(x)的递减区间是(,1)．

21（Ⅱ）由已知得g(x)xalnx，定义域为(0,)，

x1ax2ax1，令g(x)0得x2ax10，其两根为x1,x2， g(x)122xxxa240且x1x2a0， xx1012第 16 页，共 17 页

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