2015届高考数学(文、理)新一轮复习考点详细分类题库：考点17 正弦定理和余弦定理(含详解,13高考题)

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考点17 正弦定理和余弦定理

一、选择题

1.（2013·北京高考文科·Ｔ5）在△ABC中，a=3,b=5,sinA=,则sinB=( )

A. B. C.1559135 D.1 3【解题指南】已知两边及一边的对角利用正弦定理求解。 【解析】选

ab355,所以,所以sinB1sinB9。 B。由正弦定理得sinAsinB32.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ4）ABC的内角A,B,C的对边分别为

a,b,c，已知b2，B6，C4，则ABC的面积为（ ）

A.232 B.31 C.232 D.31 【解题指南】利用正弦定理和三角形的面积公式可得 【解析】选B.因为B,C64,所以A7.由正弦定理得12bsin6csin4，解得

117c22。所以三角形的面积为bcsinA222sin.

2212因为sin1273221231sin()(，) 12342222222231()22231，选B.

所以bcsinA223.（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2Acos2A0，a7，c=6，则b（ ）

A.10 B.9 C.8 D.5

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【解题指南】由23cos2Acos2A0，利用倍角公式求出cosA的值，然后利用正弦定理或余弦定理求得b的值.

【解析】选D.因为23cos2Acos2A0，所以23cos2A2cos2A10，解得

cos2A1， 2515方法一:因为△ABC为锐角三角形，所以cosA,sinA由正弦定理

ac76得，. sinAsinC26sinC526. 5sinC19126，cosC.又B(AC)，

3535所以sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC，

sinBab7b26191126506.由正弦定理得, ，解得sinAsinB535535175265065175b5.

方法二:由余弦定理a2b2c22bccosA，cosA，则b23612b49，解得b5

4.（2013·陕西高考文科·Ｔ9）【备注：（2013·陕西高考理科·Ｔ7）与之题干相同】

设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若bcosCccosBasinA, 则△

1515ABC的形状为 ( )

A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 【解题指南】在含有边角关系式的三角函数恒等变形中,利用正弦定理将边的关系式化为角的正弦式或利用余弦定理将余弦式化为边的关系式,这是判断三角形形状的两个转化方向.

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【解析】选A.因为bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得 sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A, sinA=sin2A, sinA=1,所以三角形ABC是直角三角形.

5.（2013·安徽高考文科·Ｔ9）【备注：（2013·安徽高考理科·Ｔ12）与之题干相同】

设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,则3sinA=5sinB,则角C= ( ) A. B.

π32π3 C.

3π5π D. 46【解题指南】 根据正弦定理、余弦定理进行解三角形计算。

5abbc2a3【解析】选B.由题设条件可得，由余弦定理得

3a5bc7b357(b)2b2(b)22πabc13。 cosC3，所以∠C=5232ab22b32226. （2013·山东高考文科·Ｔ7）ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B2A，a1，b3，则c（ ） A. 23 B. 2 C.2 D.1 【解析】选B.由B2A,则sinBsin2A，由正弦定理知

ab,即sinAsinB31333,所以cosA=，所以A=，B2A，所以

632sinAsinBsin2A2sinAcosACBA2，所以c2a2b2134，c=2.

7.（2013·湖南高考理科·Ｔ3）在锐角ABC中，角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB3b,则角A等于（ ） A．

 B． C． D． 12643- 3 -

【解题指南】本题先利用正弦定理角三角形” .

ab化简条件等式，注意条件“锐sinAsinB【解析】选D.由2asinB=3b得2sinAsinB=3sinB,得sinA=A=.

8. （2013·天津高考理科·Ｔ6）在△ABC中, ABC,AB43,所以锐角232,BC3,则sinBAC

= ( )

A.

1010 B.

105

C. 31010 D.

55

【解题指南】先由余弦定理求AC边长，然后根据正弦定理求值. 【解析】选C. 在△ABC中，由余弦定理得，

AC2AB2BC22ABBCcos42922322

5,所以AC5,由正弦定理得

310ACBC53. ,所以sinBAC,即sinA10sinBsinAsin49. （2013·湖南高考文科·Ｔ5）在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b. 若2asinB=3b，则角A等于（ ）

 12ab【解题指南】本题先利用正弦定理化简条件等式，注意条件“锐sinAsinBA. B. C. D.

346角三角形” .

【解析】选A.由2asinB=3b得2sinAsinB=3sinB,得sinA=A=. 二、填空题

10.(2013·浙江高考理科·T16)在△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点.若

1sinBAM,则sin∠BAC= . 3

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3,所以锐角23

【解题指南】分别在Rt△ABC和△ABM中应用勾股定理和正弦定理. 【解析】设AC=b,AB=c,BC=a,在△ABM中由正弦定理得

1ac2①, sinBAMsinBMA因为sinBMAsinCMA22AC, AM213又ACbca,AMba2c2a2,所以sinBMA441a2又由①得13c2a2. 3c2a24cc2a23c2a24,两边平方化简得4c4-12a2c2+9a4=0,所以2c2-3a2=0,

所以sinBAC【答案】

6 3ac6. 311.（2013·上海高考理科·T4）已知△ABC的内角A,B,C所对应边分别为a,b,c,若3a2+2ab+3b2-3c2=0,则角C的大小是 (结果用反三角函数值表示).

【解析】3a2+2ab+3b2-3c2=0⇒c2=a2+b2+错误！未找到引用源。ab,故

11cosC,Carccos．

331【答案】arccos

312.（2013·上海高考文科·T5）已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a2+ab+b2-c2=0，则角C的大小是 .

a2 b2-c212C 【解析】a abb-c0cosC2ab23222【答案】 

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三、解答题

13. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ18）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ18）相同

设ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，(abc)(abc)ac （I）求B; （II）若sinAsinC31,求C. 4【解题指南】（I）由条件(abc)(abc)ac确定求B应采用余弦定理. （II）应用三角恒等变换求出AC及AC的值，列出方程组确定C的值. 【解析】（I）因为(abc)(abc)ac.所以a2c2b2ac.

a2c2b21，因此B120. 由余弦定理得cosB2ac2（II）由（I）知AC60，所以cos(AC)cosAcosCsinAsinC

cosAcosCsinAsinC+2sinAsinC cos(AC)2sinAsinC

3131. 2224故AC30或AC30，因此C15或C45

ABC90，14. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ17）如图，在ABC中，AB3，BC1，P为ABC内一点，BPC90.

（Ⅰ）若PB，求PA；

- 6 -

12

（Ⅱ）若APB150，求tanPBA. 【解析】由已知得，PBC60， 所以PBA30. 在PBA，由余弦定理得

PA23117723cos30,故PA. 4242（Ⅱ）设PBA，由已知得PBsin， 在PBA中，由正弦定理得

3sin，化简得3cos4sin，所以sin150sin(30)tan33，即tanPBA. 4415. （2013·天津高考文科·Ｔ16）在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别是a, b, c. 已知bsinA3csinB, a = 3, cosB2.

3(Ⅰ) 求b的值;

(Ⅱ) 求sin2B的值.

3【解题指南】(Ⅰ)根据正弦定理及bsinA3csinB, a = 3求出a,c的值，再由余弦定理求b的值；

(Ⅱ)根据同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求出cos2B，sin2B，再由两角差的正弦公式求值.

【解析】(Ⅰ) 在△ABC中，由正弦定理得

bsinA3csinB，可得，a3c,又 a = 3，故

ab，即bsinAasinB，又由sinAsinB3c=1，由b2a2c22accosB,且cosB2,可

得b6.

53(Ⅱ)由cosB2，得sinB3，进而得到cos2B2cos2B11,sin2B2sinBcosB4959.

2B所以sin3

sin2BcoscosB2sin3345318- 7 -

.

16.(2013·浙江高考文科·T18)与(2013·浙江高考理科·T18)相同 在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=3b. (1)求角A的大小.

(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.

【解题指南】(1)由正弦定理易求角A的大小;(2)根据余弦定理,借助三角形的面积公式求解.

【解析】(1)由2asinB=错误！未找到引用源。b及正弦定理sinA=错误！未找到引用源。, 因为A是锐角,所以A3ab,得sinAsinB.

(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得 b2+c2-bc=36,又b+c=8,所以bc28, 3由三角形面积公式S=错误！未找到引用源。bcsinA,得△ABC的面积为错误！未找到引用源。.

17.（2013·江西高考理科·Ｔ16）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知错误！未找到引用源。. (1)求角B的大小；

(2)若ac1，求b的取值范围.

【解题指南】(1)借助三角形内角和为，结合三角恒等变换将条件中的等式转化为只含B的方程，求出B的三角函数值，进而可求出角B.（2）根据（1）求出的B与ac1，由余弦定理可得b2关于a的函数，注意到ac1可知0a1，进而可求出b的范围.

【解析】（1）由已知得cos(AB)cosAcosB3sinAcosB0，即

sinAsinB

因为sinA0，所以sinB3sinAcosB.0- 8 -

,又cosB0,所以3cosB0

tanB3,又0B，所以B. 312（2）由余弦定理，有b2a2c22accosB，因为ac1，cosB,所以

1111b23(a)2，又因为0a1，所以b21，即b1.

244218. （2013·江西高考文科·Ｔ17）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1. （1）求证：a，b，c成等差数列；

（2）若C=2错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。a的值.

3b【解题指南】（1）先利用二倍角公式把角2B化为角B，再进行角化边的处理；（2）借助第（1）问的结果结合余弦定理进行求解.

【解析】(1)由已知得sinAsinB+sinBsinC=2sin2B,因为sinB0,所以sinA+sinC=2sinB,由正弦定理可知a+c=2b，即a，b，c成等差数列. (2) 由C=2，c=2b-a及余弦定理得(2ba)2a2b2ab，即有5ab3b20，所以

3a3

. b5

19.（2013·北京高考理科·Ｔ15）在△ABC中，a=3，b=26，∠B=2∠A. (I)求cosA的值， (II)求c的值

【解题指南】（1）由条件可以看出，已知两角关系求角，可以利用正弦定理解决问题；（2）由已知两边和角求第三边，所以应用余弦定理求解。 【解析】（1）由正弦定理得即cosA6. 36， 3ab326326，所以，， sinAsinBsinAsin2AsinA2sinAcosA（2）由余弦定理得a2b2c22bccosA，所以32(26)2c2226c - 9 -

即c28c150，解得c5或c3（舍）。

20.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB. (1)求B.

(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.

【解题指南】(1)将a=bcosC+csinB“边化角”,化简求得B.

(2)利用角B、边b将△ABC面积表示出来,借助均值不等式求最大值. 【解析】(1)因为a=bcosC+csinB,所以由正弦定理

得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即cosBsinC=sinCsinB,因为sinC≠0,

所以tanB=1,解得B=错误！未找到引用源。

(2)由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos错误！未找到引用源。,即4=a2+c2-错误！未找到引用源。ac,由不等式得a2+c2≥2ac,当且仅当a=c时,取等号,所以4≥(2-错误！未找到引用源。)ac,解得ac≤4+2错误！未找到引用源。,所以△ABC的面积为错误！未找到引用源。acsin错误！未找到引用源。≤错误！

未找到引用源。×(4+2错误！未找到引用源。)=错误！未找到引用源。+1.所以△ABC面积的最大值为错误！未找到引用源。+1.

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