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高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理(二)

2023-08-25 来源:步旅网
高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理(二)

考点一 有关三角形面积的计算

3

例、(1)(△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=7,c=4,cos B=,则△ABC的面

4积等于( )

379

A.37 B. C.9 D.

22(2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若△ABC的面积为变式练习

1.变条件本例(1)的条件变为:若c=4,sin C=2sin A,sin B=

15,则S△ABC=________. 4

322

(a+c-b2),则B=________. 4c

2.变结论本例(2)的条件不变,则C为钝角时,的取值范围是________.

a3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(2b-a)cos C=ccos A.

(1)求角C的大小;

43(2)若c=3,△ABC的面积S=,求△ABC的周长.

3 [解题技法]

1.求三角形面积的方法

(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值),结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积,代入公式求面积.

(2)若已知三角形的三边,可先求其一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积.总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键. 2.已知三角形面积求边、角的方法

(1)若求角,就寻求夹这个角的两边的关系,利用面积公式列方程求解. (2)若求边,就寻求与该边(或两边)有关联的角,利用面积公式列方程求解.

考点二 平面图形中的计算问题

例、如图,在平面四边形ABCD中,∠ABC=,AB⊥AD,AB=1.

4

(1)若AC=5,求△ABC的面积; π

(2)若∠ADC=,CD=4,求sin∠CAD.

6 [解题技法]

与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路:

求解平面图形中的计算问题,关键是梳理条件和所求问题的类型,然后将数据化归到三角形中,利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系.

具体解题思路如下:

(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解; (2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果. 跟踪训练

1.如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=3BD,BC=2BD,则sin C的值为________.

2.如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=7,EA=2,∠ADC=∠BCE成等差数列.

(1)求sin∠CED; (2)求BE的长.

考点三 三角形中的最值、范围问题

π

例、(1)在△ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,A≠,sin C+sin(B-A)=2sin 2A,则角A

2的取值范围为( ) A.(0,

,且∠CBE,∠BEC,3

] B.(0,] C.[,] D.[,] 646463(2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos 2A+cos 2B=2cos 2C,则cos C的最小值为

( ) A.

[解题技法]

1.三角形中的最值、范围问题的解题策略

解与三角形中边角有关的量的取值范围时,主要是利用已知条件和有关定理,将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来,结合三角形边角取值范围等求解即可.

2.求解三角形中的最值、范围问题的注意点

(1)涉及求范围的问题,一定要搞清已知变量的范围,利用已知的范围进行求解, 已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化.

(2)注意题目中的隐含条件,如A+B+C=π,01.在钝角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B为钝角,若acos A=bsin A,则sin A+sin C的最大值为( )

97

A.2 B. C.1 D. 88

2.在△ABC中,已知c=2,若sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C,则a+b的取值范围为________. cos Bcos Csin A

3.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且+=.

bc3sin C

(1)求b的值;

(2)若cos B+3sin B=2,求△ABC面积的最大值.

考点四 解三角形与三角函数的综合应用 考法(一) 正、余弦定理与三角恒等变换

例、在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acosB(1)求角B的大小;

(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.

3211

B. C. D.- 2222

. 6考法(二) 正、余弦定理与三角函数的性质 1

例、已知函数f(x)=cos2x+3sin(π-x)cos(π+x)-.

2(1)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间;

(2)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知f(A)=-1,a=2,bsin C=asin A,求△ABC的面积. 跟踪训练

1.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,(2a-c)cos B-bcos C=0. (1)求角B的大小;

(2)设函数f(x)=2sin xcos xcos B-

3cos 2x,求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值. 2

课后作业

1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos 2A=sin A,bc=2,则△ABC的面积为( ) 11

A. B. C.1 D.2 24

2.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若(2a+c)cos B+bcos C=0,则角B的大小为( ) ππ2π5πA. B. C. D. 6336

223.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=,a=3,S△ABC=22,则b的

3值为( )

A.6 B.3 C.2 D.2或3

4.在△ABC中,已知AB=2,AC=5,tan∠BAC=-3,则BC边上的高等于( ) A.1 B.2 C.3 D.2

5.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,且asin B=3bcos A,当b+c=4时,△ABC面

积的最大值为( ) A.

33

B. C.3 D.23 32

6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bc=1,b+2ccos A=0,则当角B取得最大值时,△ABC的周长为( )

A.2+3 B.2+2 C.3 D.3+2 7.在△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面积为________.

1

8.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 bcos A=sin B,且a=23,b+c=6,

2则△ABC的面积为________.

π

9.已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠BAC=,点D在边BC上,AD=1,且BD

2sin B

=2DC,∠BAD=2∠DAC,则=________.

sin C

π

10.如图所示,在△ABC中,C=,BC=4,点D在边AC上,AD=DB,DE⊥AB,E为

3垂足,若DE=22,则cos A=________.

11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c(1+cos B)=b(2-cos C).

(1)求证:2b=a+c;

π

(2)若B=,△ABC的面积为43,求b.

3

12.在△ABC中,AC=6,cos B=,C=.

54

(1)求AB的长; (2)求cosA

的值. 6提高训练

1.在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,则A.(2,2) C.(2,3)

B.(2,6) D.(6,4)

2b

的取值范围是( ) a

2.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin Asin B+bcos2A=2a,则角A的取值范围是________.

3.如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AB=2,BD=5,∠BCD=2∠ABD,△ABD的面积为2.

(1)求AD的长; (2)求△CBD的面积.

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