考点一 有关三角形面积的计算
3
例、(1)(△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=7,c=4,cos B=,则△ABC的面
4积等于( )
379
A.37 B. C.9 D.
22(2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若△ABC的面积为变式练习
1.变条件本例(1)的条件变为:若c=4,sin C=2sin A,sin B=
15,则S△ABC=________. 4
322
(a+c-b2),则B=________. 4c
2.变结论本例(2)的条件不变,则C为钝角时,的取值范围是________.
a3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(2b-a)cos C=ccos A.
(1)求角C的大小;
43(2)若c=3,△ABC的面积S=,求△ABC的周长.
3 [解题技法]
1.求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值),结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积,代入公式求面积.
(2)若已知三角形的三边,可先求其一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积.总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键. 2.已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角,就寻求夹这个角的两边的关系,利用面积公式列方程求解. (2)若求边,就寻求与该边(或两边)有关联的角,利用面积公式列方程求解.
考点二 平面图形中的计算问题
3π
例、如图,在平面四边形ABCD中,∠ABC=,AB⊥AD,AB=1.
4
(1)若AC=5,求△ABC的面积; π
(2)若∠ADC=,CD=4,求sin∠CAD.
6 [解题技法]
与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路:
求解平面图形中的计算问题,关键是梳理条件和所求问题的类型,然后将数据化归到三角形中,利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系.
具体解题思路如下:
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解; (2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果. 跟踪训练
1.如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=3BD,BC=2BD,则sin C的值为________.
2.如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=7,EA=2,∠ADC=∠BCE成等差数列.
(1)求sin∠CED; (2)求BE的长.
考点三 三角形中的最值、范围问题
π
例、(1)在△ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,A≠,sin C+sin(B-A)=2sin 2A,则角A
2的取值范围为( ) A.(0,
2π
,且∠CBE,∠BEC,3
] B.(0,] C.[,] D.[,] 646463(2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos 2A+cos 2B=2cos 2C,则cos C的最小值为
( ) A.
[解题技法]
1.三角形中的最值、范围问题的解题策略
解与三角形中边角有关的量的取值范围时,主要是利用已知条件和有关定理,将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来,结合三角形边角取值范围等求解即可.
2.求解三角形中的最值、范围问题的注意点
(1)涉及求范围的问题,一定要搞清已知变量的范围,利用已知的范围进行求解, 已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化.