2017-2018学年湖北省十堰市丹江口市 九年级（上）期中数学试卷(含答案）
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图刻画（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ） A．开口向下
B．对称轴是x=﹣1
D．与x轴有两个交点
C．顶点坐标是（1，2）
3．（3分）将函数y=x2+6x+7进行配方正确的结果应为（ ） A．y=（x+3）2+2
B．y=（x﹣3）2+2 C．y=（x+3）2﹣2 D．y=（x﹣3）2﹣2
4．（3分）如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（ ）
A．25° B．50° C．60° D．80°
5．（3分）如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为（ ）
A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米
6．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm
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为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（ ） A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
7．（3分）在抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a上有A（﹣0.5，y1）、B（2，y2）和C（3，y3）三点，若抛物线与y轴的交点在正半轴上，则y1、y2和y3的大小关系为（ ） A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y3
8．（3分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃圆，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y=x（40﹣x） B．y=x（18﹣x） C．y=x（40﹣2x） D．y=2x（40﹣2x）
9．（3分）已知二次函数y=kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k≥﹣1且k≠0
10．（3分）如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，F为CE的中点，连接DF．给出以下四个结论：①BD=DC；②AD=2DF；③④DF是⊙O的切线．其中正确结论的个数是（ ）
；
A．4
B．3 C．2 D．1
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 ．
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12．（3分）如图，⊙O的半径是5，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O，分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、F、G，连接EF，若OG=3，则EF为 ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M的坐标为 ．
14．（3分）若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为 ．
15．（3分）如图，CA，CB分别切⊙O于点A，B，D为圆上不与A，B重合的一点，已知∠ACB=58°，则∠ADB的度数为 ．
16．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x的增大而减小；③3
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是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；④当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+x＞0．其中正确的序号为
x y
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）已知抛物线y=x2﹣2x﹣8与x轴的两个交点为A，B（A在左边），且它的顶点为P．
（1）求A、B两点的坐标 （2）求△PAB的面积．
18．（6分）如图，P是⊙O外一点，OP交⊙O于A点，PB切⊙O于B点，已知OA=1，OP=2，求PB的长．
﹣1 ﹣1 0 3 1 5 3 3
19．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A=45°，⊙O的半径为5，求BC的长．
20．（7分）河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6米时，水面离桥孔顶部3米．把桥孔看成一个二次函数的图象，以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）请求出这个二次函数的表达式；
（2）因降暴雨水位上升1米，此时水面宽为多少？
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21．（8分）如图所示，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形； （2）求圆心O到BC的距离OD．
22．（8分）已知抛物线y=x2﹣（m+1）x+m （1）求证：抛物线与x轴一定有交点；
（2）若抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，x1＜0＜x2，且求m的值．
23．（9分）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件30元，每星期可卖出150件，市场调查反映：如果每件涨价1元（每件售价不能高于35元），那么每星期少卖10件，设每件涨价x元（x为非负整数），每星期销量为y件． （1）求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？
24．（10分）如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于
点
E
，
点
C
为
DE
延
长
线
上
一
点
，
且，
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CE=CB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）连接AE并延长与BC的延长线交于点G（如图②所示）．若AB=求线段BC和EG的长．
，CD=9，
25．（12分）如图，在直角坐标系中，直线y=x﹣3交y轴于点B，交y轴于点C，抛物线经过点A（﹣1，0），B，C三点，点F在y轴负半轴上，OF=OA． （1）求抛物线的解析式；
（2）在第一象限的抛物线上存在一点P，满足S△ABC=S△PBC，请求出点P的坐标； （3）点D是直线BC的下方的抛物线上的一个动点，过D点作DE∥y轴，交直线BC与点E，
①当四边形CDEF为平行四边形时，求D点的坐标；
②是否存在点D，使CE与DF互相垂直平分？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
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2017-2018学年湖北省十堰市丹江口市九年级（上）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图刻画（ ）
A． B． C． D．
【分析】足球受力的作用后会升高，并向前运动，当足球动能减小后，足球不再升高，而逐渐下落，运动轨迹正好是一抛物线．
【解答】解：A、球在飞行过程中，受重力的影响，不会一直保持同一高度，所以错误；
B、足球受力的作用后会升高，并向前运动，当足球动能减小后，足球不再升高，而逐渐下落，运动轨迹正好是一抛物线．正确；
C、球在飞行过程中，总是先上后下，不会一开始就往下，所以错误； D、受重力影响，球不会一味的上升，所以错误． 故选：B．
【点评】以体育比赛为背景呈现问题，考查了现实中的二次函数问题，赋予传统试题新的活力．
2．（3分）对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ） A．开口向下
B．对称轴是x=﹣1
D．与x轴有两个交点
C．顶点坐标是（1，2）
【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
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【解答】解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点． 故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y=a（x﹣
2
）+
，的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣b2a，
当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下．
3．（3分）将函数y=x2+6x+7进行配方正确的结果应为（ ） A．y=（x+3）2+2
B．y=（x﹣3）2+2 C．y=（x+3）2﹣2 D．y=（x﹣3）2﹣2
【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y=x2+6x+7=（x2+6x+9）﹣9+7=（x+3）2﹣2． 故选：C．
【点评】二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）； （2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）．
4．（3分）如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（ ）
A．25° B．50° C．60° D．80°
【分析】由AC∥OB，∠BAO=25°，可求得∠BAC=∠B=∠BAO=25°，又由圆周角定理，即可求得答案． 【解答】解：∵OA=OB，
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∴∠B=∠BAO=25°， ∵AC∥OB， ∴∠BAC=∠B=25°， ∴∠BOC=2∠BAC=50°． 故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理以及平行线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
5．（3分）如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为（ ）
A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米
【分析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O． 连接OA．根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O
连接OA．根据垂径定理，得AD=6
设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2=36+（r﹣4）2，解得r=6.5 故选：A．
【点评】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．
6．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（ ）
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A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，得出d＜r，根据直线和圆的位置关系即可得出结论． 【解答】解：过C作CD⊥AB于D，如图所示： ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3， ∴AB=
=5，
∵△ABC的面积=AC×BC=AB×CD， ∴3×4=5CD， ∴CD=2.4＜2.5， 即d＜r，
∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交； 故选：A．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CD的长，注意：直线和圆的位置关系有：相离，相切，相交．
7．（3分）在抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a上有A（﹣0.5，y1）、B（2，y2）和C（3，y3）三点，若抛物线与y轴的交点在正半轴上，则y1、y2和y3的大小关系为（ ） A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y3
【分析】根据解析式得出抛物线的对称轴，由抛物线与y轴的交点在正半轴可得a＜0，即抛物线开口向下，根据二次函数的性质可得答案． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为x=﹣上，
∴﹣3a＞0，即a＜0
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=1，且抛物线与y轴的交点在正半轴
∴当x＜1时，y随x的增大而增大；
当x＞1时，y随x的增大而减小，且抛物线上的点离对称轴的水平距离越远，函数值越小， ∴y3＜y1＜y2， 故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出抛物线的对称轴及开口方向是解题的关键．
8．（3分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃圆，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y=x（40﹣x） B．y=x（18﹣x） C．y=x（40﹣2x） D．y=2x（40﹣2x）
【分析】先用含x的代数式表示苗圃园与墙平行的一边长，再根据面积=长×宽列出y关于x的函数关系式．
【解答】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（40﹣2x）米．
依题意可得：y=x（40﹣2x）． 故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题列二次函数关系式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
9．（3分）已知二次函数y=kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k≥﹣1且k≠0
【分析】由抛物线与x轴有两个不同的交点可得出一元二次方程kx2﹣6x﹣9=0有两个不相等的解，由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于k的
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一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【解答】解：令y=0，则kx2﹣6x﹣9=0．
∵二次函数y=kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点， ∴一元二次方程kx2﹣6x﹣9=0有两个不相等的解， ∴
解得：k＞﹣1且k≠0． 故选：B．
【点评】本题拷出来抛物线与x轴的交点，牢记“△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点”是解题的关键．
10．（3分）如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，F为CE的中点，连接DF．给出以下四个结论：①BD=DC；②AD=2DF；③④DF是⊙O的切线．其中正确结论的个数是（ ）
；
，
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】首先由AB是⊙O的直径，得出AD⊥BC，推出BD=DC，再由OA=OB，推出OD是△ABC的中位线，得DF⊥OD，即DF是⊙O的切线，最后由假设推出不正确．
【解答】解：连接OD，AD． ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）， ∴AD⊥BC；
而在△ABC中，AB=AC， ∴AD是边BC上的中线，
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∴BD=DC（①正确）； ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∵AB=AC，
∴DB=DC，∠BAD=∠CAD， ∴
；（③正确）；
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线， 即：OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线（④正确）；
只有当△ABC 是等边三角形时，AD=2DF， 故②错误， 故选：B．
【点评】此题考查的知识点是切线的判定与性质、等腰三角形的性质及圆周角定理，解答此题的关键是运用等腰三角形性质及圆周角定理及切线性质作答．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 ﹣1＜x＜3 ．
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【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c＜0的解集．
【解答】解：由图象得：对称轴是x=1，其中一个点的坐标为（3，0） ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0） 利用图象可知：
ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集， ∴﹣1＜x＜3 故填：﹣1＜x＜3
【点评】此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结合，题目非常典型．
12．（3分）如图，⊙O的半径是5，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O，分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、F、G，连接EF，若OG=3，则EF为 4 ．
【分析】连接OA，根据勾股定理和垂径定理求出AC，根据三角形中位线定理求出EF．
【解答】解：连接OA， ∵OG⊥AC，
∴∠OGA=90°，AC=2AG， ∴AG=
=4，
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∴AC=2AG=8， ∵OE⊥AB，OF⊥BC， ∴AE=EB，CF=FB， ∴EF=AC=4， 故答案为：4．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质、三角形中位线定理的应用，掌握垂径定理、三角形中位线定理是解题的关键．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M的坐标为 （8，10） ．
【分析】如图连接BM，AM，作MH⊥BC于H，先证明四边形OAMH是矩形，根据垂径定理求出HB，在RT△AOM中求出OM即可． 【解答】解：如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H．
∵⊙M与x轴相切于点A（8，0）， ∴AM⊥OA，OA=8，
∴∠OAM=∠MH0=∠HOA=90°，
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∴四边形OAMH是矩形， ∴AM=OH，
∵点C（0，16），点B（0，4）， ∴OB=4，OC=16， ∴BC=12， ∵MH⊥BC， ∴HC=HB=6， ∴OH=AM=10，
∴点A的坐标为：（8，10）， 故答案为：（8，10）．
【点评】本题考查切线的性质、坐标与图形性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形．
14．（3分）若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为 y=x2﹣1 ．
【分析】根据平移规律，可得到答案．
【解答】解：坐标系右移上移，得图象左移下移，得 y=（x+1）2﹣2（x+1）+3﹣3 化简，得 y=x2﹣1，
故答案是：y=x2﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
15．（3分）如图，CA，CB分别切⊙O于点A，B，D为圆上不与A，B重合的一点，已知∠ACB=58°，则∠ADB的度数为 61°或119° ．
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【分析】连接OA、OB．首先求出∠AOB，分两种情形求解即可． 【解答】解：连接OA、OB．
∵CA、CB是⊙O的切线， ∴AO⊥AC，OB⊥CB， ∴∠CAO=∠CBO=90°， ∵∠ACB=58°，
∴∠AOB=180°﹣58°=122°， ∴∠ADB=∠AOB=61°， ∴∠AD′B=180°﹣61°=119°． 故答案为61°或119°．
【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，注意一题多解．
16．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x的增大而减小；③3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；④当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+x＞0．其中正确的序号为 ①③④
x y ﹣1 ﹣1 0 3 1 5 3 3 【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式为y=﹣x2+3x+3，然后判断出①正确，②错误，再根据一元二次方程的解法和二次函数与不等式的关系判定③④正
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确．
【解答】解：∵x=﹣1时y=﹣1，x=0时，y=3，x=1时，y=5， ∴
，
解得，
∴y=﹣x2+3x+3，
∴ac=﹣1×3=﹣3＜0，故①正确； 对称轴为直线x=﹣
=，
所以，当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故②错误； 方程为﹣x2+2x+3=0， 整理得，x2﹣2x﹣3=0， 解得x1=﹣1，x2=3，
所以，3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，正确，故③正确； ﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0正确，故④正确； 综上所述，结论正确的是①③④． 故答案为：①③④．
【点评】题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数与不等式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）已知抛物线y=x2﹣2x﹣8与x轴的两个交点为A，B（A在左边），且它的顶点为P．
（1）求A、B两点的坐标 （2）求△PAB的面积．
【分析】（1）令y=0可求得相应方程的两根，则可求得A、B的坐标；
（2）把抛物线解析式化为顶点式可求得P点坐标，结合A、B的坐标，则可求得△PAB的面积．
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【解答】解：
（1）在y=x2﹣2x﹣8中，令y=0可得x2﹣2x﹣8=0，解得x=﹣2或x=4， ∴A（﹣2，0），B（4，0）；
（2）∵y=x2﹣2x﹣8=（x﹣1）2﹣9， ∴P（1，﹣9），
∵A（﹣2，0），B（4，0）， ∴AB=6，
∴S△PAB=×6×9=27．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握函数图象与坐标轴的交点坐标的求法是解题的关键．
18．（6分）如图，P是⊙O外一点，OP交⊙O于A点，PB切⊙O于B点，已知OA=1，OP=2，求PB的长．
【分析】连接OB，在Rt△POB中，利用勾股定理即可解决问题； 【解答】解：连接OB．
∵PB是⊙O切线， ∴PB⊥OB， ∴∠PBO=90°，
在Rt△POB中，OB=1，OP=2， ∴PB=
=
=
．
【点评】本题考查切线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅
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助线构造直角三角形解决问题．
19．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A=45°，⊙O的半径为5，求BC的长．
【分析】连接OB、OC，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=90°，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：连接OB、OC， 由圆周角定理得，∠BOC=2∠A=90°， ∴BC=
=5
．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理是解题的关键．
20．（7分）河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6米时，水面离桥孔顶部3米．把桥孔看成一个二次函数的图象，以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）请求出这个二次函数的表达式；
（2）因降暴雨水位上升1米，此时水面宽为多少？
【分析】（1）待定系数法求解可得；
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（2）求出y=﹣2时x的值，从而得出CD． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2， 把x=3，y=﹣3代入，得a=﹣， 这个二次函数的表达式y=﹣x2；
（2）把y=﹣2代入解y=﹣x2得，x=±所以CD=2
．
米．
，
答：此时水面宽为2
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
21．（8分）如图所示，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形； （2）求圆心O到BC的距离OD．
【分析】（1）先根据圆周角定理得出∠ABC的度数，再直接根据三角形的内角和定理进行解答即可；
（2）连接OB、OC，即可知∠BOC=2∠BAC=120°，根据OD⊥BC知∠BOD=∠BOC=60°，从而得OD=BOcos∠BOD=8×=4． 【解答】解：（1）在△ABC中， ∵∠BAC=∠APC=60°， 又∵∠APC=∠ABC，
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∴∠ABC=60°，
∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°， ∴△ABC是等边三角形；
（2）连接OB、OC，
则∠BOC=2∠BAC=120°， ∵OD⊥BC，
∴∠BOD=∠BOC=60°， ∴OD=BOcos∠BOD=8×=4．
【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和垂径定理．
22．（8分）已知抛物线y=x2﹣（m+1）x+m （1）求证：抛物线与x轴一定有交点；
（2）若抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，x1＜0＜x2，且求m的值．
【分析】（1）先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行证明； （2）由一元二次方程根与系数的关系可知x1+x2=m+1，x1•x2=m，代入即﹣
﹣
=﹣，解方程即可求出m的值．
，，
【解答】（1）证明：∵△=[﹣（m+1）]2﹣4m =m2+2m+1﹣4m =m2﹣2m+1
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=（m﹣1）2≥0，
∴无论m为何值，抛物线与x轴一定有交点；
（2）解：∵抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，x1＜0＜x2， ∴OA=﹣x1，OB=x2，
令y=0得：x2﹣（m+1）x+m=0，
由一元二次方程根与系数的关系可知：x1+x2=m+1，x1•x2=m． ∵∴﹣∴∴
﹣
， =﹣，即
+
=，
=， =，
解得m=﹣4．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数（△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点）．
23．（9分）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件30元，每星期可卖出150件，市场调查反映：如果每件涨价1元（每件售价不能高于35元），那么每星期少卖10件，设每件涨价x元（x为非负整数），每星期销量为y件． （1）求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？
【分析】（1）涨价为x元，可用x表示出每星期的销量，并得到x的取值范围； （2）根据总利润=销量×每件利润可得出利润的表达式，配方成顶点式即可得其最值情况．
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【解答】解：（1）设每件涨价x元，由题意得，
每星期的销量为y=150﹣10x=﹣10x+150，（0≤x≤5且x为整数）；
（2）设每星期的利润为W元， W=（x+30﹣20）×（150﹣10x） =﹣10x2+50x+1500
=﹣10（x﹣2.5）2+1562.5，
∴当x=2或3时，W取得最大值，最大值为1560， ∵每星期的销量较大， ∴x=2时，W取得最大值．
答：当商品每件的售价为32时才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大，每星期的最大利润是1560元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，与实际结合得比较紧密，解答本题的关键是表示出涨价后的销量及单件的利润，得出总利润的二次函数的表达式．
24．（10分）如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于
点
E
，
点
C
为
DE
延
长
线
上
一
点
，
且
CE=CB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）连接AE并延长与BC的延长线交于点G（如图②所示）．若AB=求线段BC和EG的长．
，CD=9，
【分析】（1）连接OE，OC，即可证明△OEC≌△OEC，根据DE与⊙O相切于点E得到OEC=90°，从而证得∠OBC=90°，则BC是圆的切线．
（2）先求线段BC的长，过D作DF⊥BG于F，则四边形ABFD是矩形，在Rt△DCF中，由切线长定理知AD=DE、CE=BC，利用勾股定理可求得CF的长，设
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AD=DE=BC，根据CD=9，列出方程即可求出x，△ADE中，由于AD=DE，可得到∠DAE=∠AED=∠CEG，而AD∥BG，根据平行线的内错角相等得到∠G=∠EAD=∠CEG，由此可证得CE=CG=CB，即可求得BG的长； 【解答】（1）证明：如图1，连接OE，OC； ∵CB=CE，OB=OE，OC=OC ∴△OEC≌△OBC（SSS） ∴∠OBC=∠OEC
又∵DE与⊙O相切于点E ∴∠OEC=90° ∴∠OBC=90°
∴BC为⊙O的切线．
（2）解：如图2，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形， ∵AD，DC，BG分别切⊙O于点A，E，B ∴DA=DE，CE=CB， 在Rt△DFC中，CF=设AD=DE=BF=x， 则x+x+1=9， x=4， ∵AD∥BG， ∴∠DAE=∠EGC， ∵DA=DE， ∴∠DAE=∠AED； ∵AD∥BG， ∵∠AED=∠CEG， ∴∠EGC=∠CEG， ∴CG=CE=CB=5， ∴BG=10，
在Rt△ABG中，AG=
=1，
=6，
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∵AD∥CG， ∴
=
=，
=
．
∴EG=×6
【点评】此题主要考查了切线的判定和性质、全等三角形及相似三角形的判定和性质、勾股定理、切线长定理等知识的综合应用，是一道难度较大的综合题．
25．（12分）如图，在直角坐标系中，直线y=x﹣3交y轴于点B，交y轴于点C，抛物线经过点A（﹣1，0），B，C三点，点F在y轴负半轴上，OF=OA． （1）求抛物线的解析式；
（2）在第一象限的抛物线上存在一点P，满足S△ABC=S△PBC，请求出点P的坐标； （3）点D是直线BC的下方的抛物线上的一个动点，过D点作DE∥y轴，交直线BC与点E，
①当四边形CDEF为平行四边形时，求D点的坐标；
②是否存在点D，使CE与DF互相垂直平分？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
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【分析】（1）先求得点B和点C的坐标，然后设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将点C的坐标代入求得a的值即可；
（2）过点A作AP∥BC，交抛物线与点P．则S△ABC=S△PBC，然后求得AP的解析式，最后再求得直线AP与抛物线的交点坐标即可；
（3）①设点D的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则点E（m，m﹣3）．ED=﹣m2+3m，依据平行四边形的判定定理可知当FC=DE时，四边形FCDE为平行四边形，从而可得到关于m的方程，故此可求得m的值，从而可求得到D的坐标；
②由CF⊥DF可知DF的解析式为y=﹣x﹣1，然后再求得直线y=﹣x﹣1与y=x2﹣2x﹣3的交点坐标即可．
【解答】（1）把x=0代入y=x﹣3得：y=﹣3， ∴C（0，﹣3）．
把y=0代入y=x﹣3得：x=3， ∴B（3，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将点C的坐标代入得：﹣3a=﹣3，解得：a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3． （2）过点A作AP∥BC，交抛物线与点P．
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∵AP∥BC，
∴△BCA与△BCP是等底等高的三角形， ∴S△ABC=S△PBC，
设直线AP的解析式为y=x+b，将点A的坐标代入得：﹣1+b=0，解得：b=1， ∴直线PA的解析式y=x+1． 将y=x+1与y=x2﹣2x﹣3联立解得：所以点P的坐标为（4，5）．
（3）①设点D的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则点E（m，m﹣3）． ∴ED=（m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m． ∵当FC=DE时，四边形FCDE为平行四边形， ∴﹣m2+3m=2，解得m=1或m=2． ∴点D的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）． ②∵CF⊥DF，
∴DF的解析式为y=﹣x﹣1．
将y=﹣x﹣1与y=x2﹣2x﹣3联立，解得：x=2或x=﹣1， ∴点D的坐标为（2，﹣3）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、三角形的面积公式、平行四边形的判定定理，用含m的式子表示ED的长是解题的关键．
或
．
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