数学建模训练题

数学建模训练题

1、个人住房贷款，根据中国人民银行颁布的《个人住房贷款管理办法》的规定，个人住房贷款的最长期限为30年，5年（含5年）的年利率为5.31%（折合月利率为4.425‰），5年以上年利率为5.58%（折合月利率为4.65‰）。同时还规定了个人住房贷款的两种按月还本付息的办法。第一种是等额本息还款法，即在贷款期间借款人以月均还款额偿还银行贷款本金和利息；第二种是等额本金还款法（又叫等本不等息还款法），即在贷款期间除了要还清当月贷款的利息外，还要以相等的额度偿还贷款的本金。

（1）试给出两种还款法的每月还款额、还款总额和利息负担总和的计算公式。

（2）若一借款人从银行得到贷款40万元，计划20年还清。试以此为例说明借款人选择何种还款法更为合算？

2、某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最底水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位的时候停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约3h.

水塔是一个高为12.2m，直径为17.4m的正圆柱。按照设计。水塔水位降至约8.2m时，水泵自动启动，水位升至约10.8m时水泵停止工作。

下表是某一天的水位测量记录（符号“//”表示水泵启动），试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。

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表1 水位测量记录 （符号//表示水泵启动） 0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 时刻(h) 水位(cm) 968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 时刻(h) 水位(cm) // // 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91 时刻(h) 水位(cm) 866 843 822 // // 1059 1035 1018

3、某探险队驾驶一越吉普车穿行2000km的大沙漠。除起点能得到足够的汽油供应外，行车途中的燃料供应必须在沿途设立若干的储油点，依靠自己运输汽油来解决。该车在沙漠中行车平均每公里耗油0.25L，车载油箱及油桶总共只能装载250L汽油。请设计一个最优的行车方案，使行车耗油最少而通过沙漠。试根据实际情况进行推广和评价。

4、由于军事上的需要，需将甲地n名战斗人员（不包括驾驶员）紧急调往乙地，但是由于运输车辆不足，m辆车无法保证每个战斗人员都能同时乘车，显然，部分战斗人员乘车，部分战斗人员急行军是可行的方案。设每辆车载人数目相同，只有一条道路，但足以允许车辆，人员同时进行，请制定一个调运方案，能最快地实现兵力调运，并证明方案的最优性。

5、为向灾区空投一批救灾物资，共2000kg，需选购一些降落伞，已知空投高度为500m，要

求降落伞落地时的速度不能超过20米每秒，降落伞的伞面为半径为r的半球面，用每根长L共16根绳索连接的重m位于球心正下方球面处，如下图：

每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用

C1由伞的半径r决定，见下表；绳索费用

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C2由绳索总长度及单价4元/米决定，固定费用r C1 2 65 2.5 170 C3为200元。

3.5 660 4 1000 3 350 降落伞在降落过程中除受到重力外，受到空气的阻力，可以认为与降落的速度和伞的面积的乘积成正比。为了确定阻力系数，用的半径r3m，载重m300kg的降落伞从500m高度作降落试验，测得各个时刻的高度x，见下表。 t(s) 0 3 x(m) 500 470 6 425 9 372 12 317 15 264 18 215 21 160 24 108 27 55 30 1 试确定降落伞的选购方案，即共需多少个伞，每个伞的半径多大(在给定的半径的伞中选)，在满足空投要求的条件下，使费用最低。

6、在家里,每天做饭后总会有一大堆油腻腻的盘子需要清洗,为清洗这些盘子,你准备了一大盆热的肥皂水,热水的温度足够洗掉盘子上的油腻而不烫手,随着洗涤过程的继续,盆中的水会漫漫地冷下来,一直到无法在清洗这些盘子,假设每个盘子重0.5KG,盆水重15千克,盆最初温度是60度最终无法清洗盘子的温度是40度,盆水的表面积是0.1平方米,空气温度是20度,试建立模型分析使用这盆热水可以洗多少个盘子,已知盘子的热容量是600焦耳/千克,水的热容量是4200焦耳/千克,水到空气的热传导系数是100焦耳/米*秒

7、空气通过盛有CO2吸收剂的圆柱形器皿，已知它吸收CO2的量与CO2的百分浓度及吸收层厚度成正比。今有CO2含量为8％的空气，通过厚度为10cm的吸收层后，其CO2含量为2％。问：

（1）若通过的吸收层厚度为30cm，出口处空气中CO2的含量是多少？ （2）若要使出口处空气中CO2的含量为1％，其吸收层厚度应为多少？ 8、已知生产x对汽车挡泥板的成本是C(x)101x2（美元），每对的售价为5美元。

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（1）出售x＋1对比出售x对所产生的利润增长额为

I(x)R(x1)C(x1)R(x)C(x)

当生产稳定、产量很大时，这个增长额为limI(x)，试求这个极限值；

x（2）生产了x对汽车挡泥板时，每对的平均成本为很大时，每对的成本大致是limC(x)，同样当产品产量xC(x)，试求这个极限值。

xx9、有n个电动势为E的电池，每个的阻为r，将它们以下述方式与已知的外电阻R连接：分成s个并联分支，m是每个分支中串联的数目（如下图）。问m、s的个数分别为多少时才能使R中的有效电功率最大？

m个

电池 R

s组 10、在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线。根据经

验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条三次抛物线。如下图所示，已知飞机的飞行高度为h，飞机的着陆点为原点O，且在整个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u。出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过

g／10，此处g是重力加速度。

（1）若飞机从xx0处开始下降，试确定出飞机的降落曲线； （2）求开始下降点x0所能允许的最小值。

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11、一飞机在离地面2km的高度，以每小时200km的速度飞临某目标之上空，以便进行航空摄影。试求飞机飞至该目标上方时摄像机转动的速度。

12、肺压力的增加可以引起咳嗽，而肺压力的增加伴随着气管半径的缩小。试问：较小半径是促进还是阻碍空气在气管里的流动？

13、如下图所示，在离水面高度为h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸。假定绳长为l米，船位于离岸壁s米处。试问：当收绳速度为v（时，船的速度、加0m/s）速度各是多少？

14、一个企业有x名技术工人和y名非技术工人，每天可生产的产品产量为

f(x,y)x2y（件）

现有16名技术工人和32名非技术工人，而经理计划再雇用1名技术工人。试求经理如何调整非技术工人的人数，可保持产品产量不变？

15、在地面上建有一座圆柱形水塔，水塔部的直径为d，并且在地面处开了一个高为H的小门。现在要对水塔进行维修施工，施工方案要求把一根长度为l（l>d）

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的水管运到水塔部。试问水塔的门高H为多少时，才能成功地把水管搬进水塔？ 16、由实验知，某种细菌繁殖的速度在培养基充足等条件满足时与当时已有的数量A0成正比，即V ＝ k A0（k > 0为比例常数），问经过时间t以后细菌的数量是多少？

已知一种细菌的个数按指数方式增长，下表是收集到的数据。

天 数 细菌个数 5 问：（1）开始时细菌个数是多少？ 936 10 2190 （2）如果继续以现在的速度增长下去，60天后细菌的个数是多少？

17、某杂技团刻意求新，在海滨城市演出时，利用当地靠海的条件，设计了一个惊险节目：在离海边9米的沙滩上，建一个10米高台，高台下5米处放置一个弹性极佳的斜面（如下图），斜面与水平面成450角。演员从高台上团身跳下，经与斜面碰撞后将其弹到海里。不知此方案是否可行。

18、越野赛在湖滨举行，场地情况如下图。出发点在陆地A处，终点在湖心岛B处，A、B南北相距5km，东西相距7km，湖岸位于A点南侧2km，是一条东西走向的笔直长堤。比赛中运动员可自行选择路线，但必须先从A出发跑步到达长堤，再从长堤处下水游泳到达终点B。已知运动员甲跑步到达长堤，再从长堤处下水游泳到达终点B。

已知运动员甲跑步速度为v118km/h，游泳速度为v26km/h。问他应该在长堤的何处下水才能使比赛所用时间最少？

y .

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北 A（0,2） O R（x,0） x B（7,-3） 湖 19、一个工厂生产某种型号的车床，年产量为a台，分若干批进行生产。每批生产准备费为b元。设产品均匀投入市场，且上一批用完后立即生产下一批，即平均库存量为批量的一半。设每年每台库存费为c元。显然，生产批量大则库存费高；生产批量小则批数增多，因此生产准备费高。如何选择批量（经济批量），才能使一年中库存费与生产准备费之和最小？ 当年产量为1100台，每批生产准备费为0.2万元，每年每台库存费为0.1万元时，求出经济批量。

20、海洋公园有一个高为a米的塑像（如下图），其底座高为b米。现有一身高为c米（从眼睛到地面高度）的游人观赏塑像，为了观赏时对塑像成的夹角最大（即看得最清楚），游人应该站在离底座脚多远的地方？

当a＝2.5m，b=3m，c=1.7m时，求最佳观赏位置。

a

b c

x

21、锁具问题 .

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（一）设置目的：

本实验旨在使学生初步尝试把实际问题按给定目的抽象成数学形式，并得出其求解结果，体会建立数学模型过程的各个环节及其相互联系，掌握建立数学模型的基本方法，并认识同一实际问题的数学模型的不唯一性，以认识模型之间的优缺点，从而体会，好的数学模型具有更广泛的适用性。 （二）实验要求：

学生必须对本实验所提问题，至少用两种方法建立不同的数学模型，并上机计算出该总是问题所要求的相应答案。 （三）实验步骤：

1、 理解分析所提问题，并设定相应的数学符号。

2、 分别提出所建模型的假设，并在相应假设下建立模型或作具体计算（含

上机计算及算法分析）。

3、 分析所建模型的简明性和可扩展性。 （四）问题详述：

一批弹子锁具中每把锁均有5个槽，每个必须装且至多可装6个弹子，制锁工艺要求任两邻槽所装的弹子数相差不超过4个，问这批锁具共有多少把互不相同的锁？如果工艺还要求至少存在某邻槽的高度不同，问题的答案是什么？如果在前两项工艺要求下，每把锁均有30个槽，你的模型还适用吗？答案是多少？ （五）实验总结：

进一步强化学生对建立模型一般流程的理解和记忆，强调同一问题数学模型的多样性，并对本问题中同学所建的各种模型的优缺点进行评价。 22、物资配置问题

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（一）设置目的：

本实验旨在训练学生建立较复杂问题的数学模型的能力，并理解最优化方法在解决实际问题中的重要作用。 （二）实验要求：

1、 建立所提问题的数学模型。 2、 使用相关软件对模型求解。

3、 分析所得方案的灵敏度并给出实际含义。 （三）问题详述：

某电子仪器由3个串联的组件( j = 1, 2, 3 )构成, 因而有一个组件失效, 仪器即无法工作。 为提高该仪器可靠性, 每个组件中可增加并联不同的备用元件数. 用Rj代表各组件的可靠性, kj代表第j个组件中并联的元件数, Cj代表并联不同数目的元件时第j个组件的相应费用, 有关数据见表3-11.若限定用于仪器中组件的总费用不超过1000元。 试确定使该仪器可靠性为最高的设计方案。

表3-11 组件 kj 1 2 3 j = 1 R1 0.6 0.8 0.9 j = 2 C1 100 200 300 j = 3 C2 300 500 600 R2 0.7 0.8 0.9 R3 0.5 0.7 0.9 C3 200 400 500 （四）实验总结

本问题建模的重要技巧之一是决策变量的引入，应由此提醒学生在建模中注意变量引入的技巧。另外，实际问题中的有些约束条件是由问题自身的属性所决定的，并不在问题的表达中明显表示出来，但它可能对模型的好坏起着重要作用。这提醒建模者在建模过程中要对问题作深入细致的分析。 23、公路路线设计

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（一）设置目的：

训练学生运用插值方法处理数据并解决实际问题的能力。 （二）实验要求：

1.给出题给数据所表示的地形的拟合曲面。 2.给出满足题目要求的全部结果。 3.将所做工作写成一篇论文。 （三）实验步骤：

1.理解题目，熟悉数据。 2.拟定拟合曲面的运算方案。

3.建立设计公路线路的数学模型并求解。 4.写出论文并分组讨论。 （四）问题详述：

要在一山区修建公路，首先测得一些地点的高程，数据见表2（平面区域粉。数据显示：0x5600, 0y4800，表中数据为坐标点的高程，单位：米）

在y3200处有一东西走向的山峰；从坐标（2400，2400）到（4800，0）有一西北至东南走向的山谷；在（2000，2800）附近有一山口湖，其最高水位略高于1350米，雨季在山谷中形成一溪流。经调查知，雨量最大时溪流水面宽度w与溪流最深处的坐标x的关系可近似表示为

x24004w(x)(2400x4000)  2公路从山脚（0，800）开始，经居民点（4000，2000）至矿区（2000，4000）。已知路段工程成本及路线坡度（上升高度与水平距离之比）的限制如表1。

1）试给出一种线路设计方案，包括原理、方法及比较精确的线路位置（含

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3.

桥梁、隧道），并估计该方案的总成本。

2）如果居民点改为3600x4000, 2000y2400的居民区，公路只须经过居民区即可，那么你的方案有什么改变。 表1

工程种类 工程成本 300 （元/米） 对坡度的限制 0.125 表2

x 0 y 0 400 800 370 510 650 470 620 760 880 980 550 730 880 600 800 970 670 850 690 870 670 850 620 780 580 720 800 450 650 700 500 900 400 500 300 700 850 300 200 500 780 840 870 100 300 550 750 380 900 150 350 480 650 780 930 250 320 350 550 750 950 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000 4400 4800 5200 5600 一般路段 桥梁 隧道 2000 1500（长度300米），3000（长度301米） 0 0.100 1020 1050 1020 830 1200 740 1600 830 2000 880 2400 910 2800 950 1080 1130 1250 1280 1230 1040 900 1180 1320 1450 1420 1400 1300 700 1060 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 1090 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 880 1190 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 900 1000 1050 1100 1050 1150 1200 3200 1430 1450 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 1500 1550 1550 3600 1420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 4000 1380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 4400 1370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 4800 1350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 820 690 780 690 570 850 620 540 430 750 460 380 290 550 370 300 210 500 350 210 150 24、交通控制系统（综合性实验） （一）设置目的：

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训练直接从实际中归纳并建模解决总是的能力。 （二）实验要求：

必须到现场观察并采集数据并进行深入地分析以得到尽可能符合实际的模型和结果，力争使所建模型能方便地推广到该问题的更大围。 （三）实验步骤：

1.实际现场采集问题所需的数据并研究问题的现场特征和发展前景。 2.建模给出可行的控制方案。 3.计算机模拟交通问题。 （四）问题详述：

现场采集某城市两个相邻的交叉路口的车流数据，建立模型为该城市的交通控制系统提供决策支持。 （五）实验总结

学生交流解决该实际问题的体会。

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