数学试题
2019.1
一?填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指
定位置上．1、函数f(x)
sin2x的最小正周期为
2、已知集合A＝｛4，a2
｝，B＝｛－1，16｝，若A∩B，则a＝
3、复数z满足zi
43i（i是虚数单位），则｜z｜＝
4、函数
y1x2
的定义域是
5、从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为
6、一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的
T的值是
7、已知数列｛an｝满足log32an
1
log2an＝1，则
a5aa3
a＝
1
8、若抛物线y
2
2px(p0)的准线与双曲线x2
y2
＝1的一条准线重合，则
p＝
9、如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M为棱AA1的中点，记三棱锥A1－MBC的体积为四棱锥A1－BB1C1C的体积为V2，则
V1V的值是
2
V1，
10、已知函数
f(x)2x
4
4x，若f(a
C1：
2
3)(x
f(a1)，则实数a的取值范围为k)
2
11、在平面直角坐标系C2：x
2
2
xoy中，过圆
(yk4)＝1上任一点P作圆
2
y＝1的一条切线，切点为
Q，则当线段PQ长最小时，k＝
12、已知点P为平行四边形ABCD所在平面上任一点，且满足
＝
uuurPAuuurPBuuur2PDr0，
uuurPAuuurPBuuurPCr
0，则xx
33
13、已知函数f(x)
3x2a,x3x4a,x
aa
，若存在x0＜0，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是
14、在△ABC中，已知sinAsinBsin(C)
＝
sinC，其中tan
2
12
(0
2
)，
1若
tanA1tanB2
为定值，则实数tanC
三、解答题（90分）15、（本题满分
14分）
r已知向量a
r
(sinx,1)，b
1
(,cosx)，其中x(0,)。2
rr
（1）若aPb，求x的值；r
（2）若tanx＝－2，求｜a
r
b｜的值。
16、（本题满分14分）如图，在四棱锥求证：（1）直线PB∥平面OEF；
（2）平面OEF⊥平面ABCD。
P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点
PA⊥AB，PA⊥AD。
O为对角线BD
的中点，点E，F分别为棱PC，PD的中点，已知
17、如图，三个校区分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P（不与点O，Q重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB，已知OA＝2千米，∠AOB＝
3
，记∠APQ＝θrad，地下电缆管线的总长度为y千米。
（1）将y表示成θ的函数，并写出θ的范围；（2）请确定工作坑
P的位置，使地下电缆管线的总长度最小。
18、如图，在平面直角坐标系C上异于左、右顶点的任一点，已知椭圆C的离心率为
xoy中，椭圆C：
xa
22
yb
22
1(ab0)的左顶点为A，点B是椭圆
OP交于点Q，
P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线
12
，点A到右准线的距离为6。
（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点Q的横坐标为
x0，求x0的取值范围。
19、设A，B为函数y＝f（x）图象上相异两点，且点A，B的横坐标互为倒数，过点A，B分别做
函数y＝f（x）的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数（1）若函数
f（x）的“优点”。
f(x)
lnx,0
3
x1
ax,x1
2
不存在“优点，求实数
a的值；
（2）求函数f(x)（3）求证：函数
x的“优点”的横坐标的取值范围；f(x)
lnx的“优点”一定落在第一象限。
20、已知数列｛an｝的前n项和为Sn，2a1a2a3，且对任意的n∈N*，n≥2都有
2nSn
1
(2n5)Sn
0，a2
Sn
1
ra1。
（1）若a13a1，求r的值；
（2）数列｛an｝能否是等比数列？说明理由；（3）当r＝1时，求证：数列｛
an｝是等差数列。
参考答案
1、6、8
2、±47、4
3、58、
4、［－1,1］
5、
15
2
9、
14
510
10、a>-1
11、212、－
34
13、［－1,0）14、
rr1
15、解：（1）因为aPb，所以，sinxcosx＝，即sin2x=1，
2
因为x
(0,)，所以，x
4
；
sinx
（2）因为tanx＝＝－2，所以，sinx＝－2cosx，
cosx
rr1ab(sinx,1cosx)，
2
r|a
rb|
(sinx
12)
2
(1cosx)＝
2
94
sinx2cosx＝
32
16、（1）O为PB中点，F为PD中点，所以，PB∥FO 而PB平面OEF，FO平面OEF，∴
PB∥平面OEF。
（2）连结AC，因为ABCD为平行四边形，
∴AC与BD交于点O，O为AC中点，又E为PC中点，∴∴∴∴
PA∥OE，
PA⊥平面ABCD，OE⊥平面ABCD
平面OEF，平面OEF⊥平面ABCD
PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝
因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，
又OE
17、（1）因为Q为弧AB的中点，由对称性，知又∠APO＝由正弦定理，得：
，∠OAP＝
，
6
，
PAsin
6
6
OA
OP))sin(
6)
sin(2sin(
，又OA＝2，
所以，PA＝
1sin
，OP＝
sin
6，22sin(
)
所以，y＝PA+PB+OP＝2PA+OP＝
sin
6＝
3sin
sin
cos2
，
∠APQ＞∠AOP，所以，所以，
1
，∠OAQ＝∠OQA＝(62
6
)
5
，12
(,)；612
3sin
sin
2
5
（2）令f()
cos2
，
(
612
,
5
)
f'()
f()在
12cossin
35
(,)上递减，在(,)上递增63312
，即OP＝
0，得：
，
所以，当
233
3
时，f()有唯一的极小值，即是最小值：
f()min＝23，
答：当工作坑P与O的距离为
233
，即
时，地下电缆管线的总长度最小。
18、（1）依题意，有：
ca
12
2
c
12
a，
又a
a
2
c
＝6，所以，a
a
＝6，解得：a＝2，c＝1，1a2
b＝
a
2
c＝3，
x
2
2
所以，椭圆C的方程为：
y
2
43
1，
19、
20、（1）令n＝2，得：4S3化简，得：4a3所以，45a1
9S2S1ra1，即：4(a3
a2
a2a1)9(a23a1，
a1)a1ra1，
5a253a1
4a14a1
ra1，因为，2a1a3，a2
ra1，解得：r＝1
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